Поваляев А.А. Спутниковые радионавигационные системы (2008) (1151867), страница 31
Текст из файла (страница 31)
Предположим, что имеется два грубых однозначных ~9,~ 158 Глана 5 измерения у= (р=2) и два точных неоднозначных У~" ~9Л1 ~уз ~~Р, (0 =2), которые, связаны с вектором 0 уравнениями (5.2), поскольку рассматривается задача линейного оценивания. В скалярном виде уравнения (5.2) для случая р = 2, ш = 2 принимают вид у, =Луп 0,+ЛУ„0,+«у„ Уз =Луп 0~+Луж Оз+«Ум (Р3 + )г1 л(рп 0$ + ЬР32 02 + ЕЯ3 р,+Л,=Лрц 0,+Лр„0,~«р,, где Лун, Лун, Лу„, Лум — элементы (2х2)-матрицы Н„ранга 2; Ьрн, Ьрц, Ьрц, Л<рм — элементы (2х2)-матрицы Н„ранга 2; )г,, 1с, — элементы целочисленного вектоРа й; «У,, «Уз,«~Р,, «<Рз — элементы вектора Е ошибок однозначных у и неоднозначных <Р измерений. Первые два уравнения в (5.60) могут быль геометрически интерпретированы в плоской системе координат 0,, О, в виде двух полос, ширина которых определяется величиной ошибок «у,, «у,.
Поскольку ранг матрицы Н„равен 2, полосы пересекаются, образуя в общем случае ромб. В связи с тем, что однозначные измерения у,, у, полагаются грубыми, их ошибки «у,, «уз велики, Поэтому полосы, соответствующие первым двум уравнениям (5.60), будут широкими и образуемый их пересечением ромб имеет большую площадь. Поскольку измерения <р,, <р, являются неоднозначными, третье и четвертое уравнения в (5.60) могут быть геометрически интерпретированы в виде двух совокупностей бесконечного числа параллельных полос, ширина которых определяется величиной ошибок «у,, «уз. Поскольку ранг матрицы Н равен 2, две совокупности параллельных полос будут пересекаться. В связи с тем, что неоднозначные измерения у,, у, полагаются точными, их ошибки «~р,, фр, малы и поэтому полосы, соответствующие третьему и четвертому уравнениям (5.60), будут узкими.
На рис. 5.8 показана решетка, образуемая двумя совокупностями параллельных полос, соответствующих третьему и четвертому уравнениям в (5.60). Для удобства полосы на рисунке пронумерованы. Каждое пересечение этих полос, которые далее будем называть узлами, обозначено двумя цифрами. Цифры соответствуют тем полосам, на которых располагаются узлы. Для исключения путаницы в дальнейших рассмотрениях каждый пронумерованный узел отмечен светлым пятном. Ре- 159 Снуитниовые радионавигационные системы щетка на рис. 5.8 ограничена областью, лежащей внутри широких полос, определяемых грубыми однозначными измерениями 7,, 7, . В центре этой области крестом показана оценка вектора О, которая может быть сделана на основе использования только грубых однозначных измерений 7,, уз . Привлечение в обработку двух точных, но неоднозначных измерений ез,, <р,, приводит к положению, когда примерно с равной степенью правдоподобия в качестве оценки вектора О могут быть использованы координаты точек, лежащих вблизи узлов, показанных на рис.
5.8. Таким образом, рис.5.8 демонстрирует ситуацию, в которой оценка максимального правдоподобия вектора О будет обладать очень низкой надежностью. Рис. 5.8. Решетка, соответствующая двум неоднозначным измерениям Рассмотрим, как будет изменяться ситуация в случае добавления в обработку еще одного неоднозначного измерения <рз. В этом случае в области, ограничиваемой грубыми однозначными измерениями у,, у,, будут пересекаться уже три совокупности параллельных полос, показанных на рис. 5.9, Полосы, соответствующие третьему неоднозначному измерению Рз на рис. 5.9 показаны более светлыми.
Видно, что наиболее правдоподобными будут точки плоскости О,, О„лежащие в районе расположения узлов с номерами 1,3; 4,4; 9,4; 7,!. Несколько меньшей степенью правдоподобия будут обладать точки, лежащие рядом с узла- Глава 5 О, 0 аспоми, имеющими но р ме а5,5;7,5; 5,2; 6,3. Точки плоскости 0„1, р исключить из даль- ьных узлов, следует ис ложен нные вблизи всех остал е стане того, что они о бладают низкой стененшего Рассмотрения вследств ия.
Число точек плоскости пенью правдоподобия. ав оподобия, при добавлении т ретьего неодновышенной степенью правдоподо едствие, надежность значного измерени <рз р г я езко г уменьшается и, как сл п иэтомзначите льно возрастает. максимально прав авдоподобнои оценки р 95 нозначным измерениям етка,соответствующая трем неоднозн Рнс. 5.9. Решетка, соот о означное измерение имеющихся четвертое неоднозн Добавим к числу имеющ й быми однозначными из- с ае в области„ограничнваемои тру 494 В этОм случае 1 е совокупности параллель- и,, будут пересекаться чезыре совоку х полос, показанные н р на ис. 5.10. Полосы, соответ более светлыми.
Добавнеоднозначному измерению ~р4, и змерения приводит к тому, в ого неоднозначного измерен ление в обработку чегверт ой быми однознач чными измеРениЯми уь в области, ограничиваемо тру в оподобня, располачто в ленный максимум функции правдоп 7,, остается единсгвенныи мак н ежность максимально лизи а с номером 7,1. При этом надежи правдоподобной оценки становится л Из рассмотренна'х вь'ше примеров види ний, вовлекаемых в обра отку, то, что однозначных измерений, надежности макснмальн р ьно п авдоподо ион о б " ценки, несмотря на то, 161 ш нрппьм сиспзснм Скупи икопые раднопаеига ! ые необходимо оценивать, р ь, п и этом также число о переменных, которые нео йство оценок, получаемых н на основе обработки в р озрастает. Такое свойство оце епий, является следствием целочисленпости пере- неоднозначных измерений, л неоднозначных нзмереых астет с ростом числа л ет отметить, что р енных, число которых ра ост надежности максиий.
При этом, однако, следу числа неоднозначных Р и д ьно зависит от свойств,цкш -мат и ы Н таковы, что вновь добавляемы что свойства матрицы так и о иой из совокупно- являются параллельными одиои из 5.10 совокупности полос являю чае рост надежности ис. 5.8. Ясно, что в этом случа отей показанных на рис. .. сз обной оценки, при пер реходе от рис. 5.8 к аксимально правдоподо начительно медленнее. мак ис. 5.10, будет происходить зна рис. 5.9 и далее к рис. араллельностн полос формуНа ~"ебр~~~~~~~ яз Р Р ыке т ебованне непарал ! я как требование того, что все (с1кш)-матрицы Н должны иметь в юшая четырем неоднозначным измерениям Рнс.
5.10. Решетка, соответствующая четыр пе еменных в системах линейных вободными членами уравнений с н неоднозначными св е ч око применяется способ ейных уравнении широ В теории систем лине таби ования и последуюшс- еменных путем масшта иров ~ исключения части пере 162 Глана 5 го вычитания одних уравнений системы из других. Например, решение систем линейных уравнений с помощью известного метода Гаусса основано на способе исключения переменных (41]. Преобразованная путем исключения переменных система уравнений эквивалентна исходной системе в том смысле, что решение преобразованной системы совпадает с частью решения исходной системы. Однако в случае систем линейных уравнений с неоднозначными свободными членами преобразованная система в общем случае не является эквивалентной исходной системе.
Для доказательства этого утверждения приведем три примера. В первом примере рассмотрим оценку полезной переменной х в системе линейных уравнений к+У=У» У=Ум хну=%~+!с~ У=Уз»!гг (5.61) где у,, у, — однозначные измерения; у,,у, — неоднозначные измерения; М, и Ы, — неопределенные целые. Предполагается, что переменная у в (5.61) не представляет интереса, т.е.
является «мешающей», и поэтому ее желательно исключить. Указанной цели можно достичь двумя способами: 1) оценить с помощью (5.61) обе переменных х и у, а затем использовать только переменную х; 2) применив метод Гаусса, можно получить новую систему, не содержащую мешающую переменную у. Новую систему можно получить, вычитая в (5.6! ) второе уравнение из первого, и четвертое уравнение из третьего: (5.62) х = у, -у,, х = ~р, — ~р, + |п1, здесь пз! = Е, — Ыз — новое неопределенное целое. Для простоты и без потери общности в (5.61) и (5.62) можно полагать истинные значения переменных х и у равными нулю. В этом случае значения у,, у,, щ, <р, можно рассматривать как ошибки измерений и пола- гать, что аномальная ошибка в (5.61) наступает тогда, когда оценка 1с, «О либо оценка 1с, «О, а для (5.62) оценка ш! «О.
В предположении, что ошибки измерений у,, у„~р,, ~р, независимы, путем моделирования была проведена оценка вероятности аномальных ошибок при обработке систем (5.61) и (5.62) с помощью оптимального алгоритма (см. п. 5.4). При моделировании проводилось !0000 испытаний. Для средне- квадратических ошибок п,=О,!5 и и =0,03 оценки вероятностей аномальных ошибок для систем (5.6!) и (5.62) получились соответственно р1=0,0022 и р2=0,0213. Проведение повторного вычислительного эксперимента с п„=0,2 и и =0,05 дало следующий результат: р! =0,0334 и р2=0,0882. 183 Спутниковые радиооавигалиоипые ситпеиы Во втором примере рассматривается несколько более сложная задача оценивания полезной переменной х в системе линейных уравнений х + у = У и х + — = У,, х + у = ср, + !сс, х + — = ср, + 1с, .
У У 2 2 (5.63) где ш2 = 21сз — 1с, — новое неопрсделенное целое. Оценки вероятностей аномальных ошибок для систем (5.63) н (5.64), полученные тем жс способом, что и в первом примере, для и, =О,!5 и о =0,03 равны соответственно р1=0,0019 и р2=0,1435.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
