Поваляев А.А. Спутниковые радионавигационные системы (2008) (1151867), страница 29
Текст из файла (страница 29)
5.6, значительно усложняется. Эллиптические цилиндры при этом уже не будут совпадать с многогранными, а основания многогранных цилиндров являются шестиугольниками 137, 38). Изобразить изометрическую проекцию столь сложной картины трудно. Поэтому на рис. 5.7 показаны более простые сечения тех многогранных цилиндров, на осях которых может располагаться заданное значение оценки О. Сечение осуществляется 2-плоскостью, построенной следующим образом.
Вдоль базисных векторов осей эллиптических цилиндров откладывается заданное значение оценки 0 . В результате на осях получаем точки, для обозначения которых ранее использовали символ 9,. Поскольку начала !ят Сизеиииииаые радиоиаеисачиоииые сиссиаиы базисных векторов всех осей расположены в плоскости 7 = О, точки О,. будут одинаково удалены от этой плоскости. Секущая 2-плоскость проводится через точки О, .параллельно плоскости 7 = О. На рис.
5.7 1слу- чай 1) показаны примеры двух сечений для разных значений оценки О. На рис. 5.7, а представлено сечение, соответствующее значению оценки тчт О, при котором все точки пространства измерений р =(7 ар ~ , порождающие эту оценку, лежат внутри единственного многогранного цилиндра. Более сложным является случай 2 1рис.
5.7), где показано сечение, соответствующее оценке О, которая может порождаться точками Гт тзт пространства измерений р=р и ~, лежащими в разных многогранных цилиндрах. Случай 2 является предельным в том смысле, что оценка О порождается точками пространства измерений, лежащими в четырех разных многогранных цилиндрах.
Области Чт; (0) пространства тчт измерений р =~у~ ар~ ), порождающие заданное значение оценки О, в случае щ = 1, р = 1, с) = 2 будут лежать в 2-плоскостях, Ъ-ортогональных к осям эллиптических цилиндров. Проекции этих обпастей на плоскости сечений на рис. 5.7 заштрихованы. граница ироекцни иорожлаюжей области ал чай 2 Рис. 5.7. Сечения многогранных цилиндров Выявленные в рассмотренных примерах способы построения областей че, (О), могут использоваться и в случае произвольных значений т, р, ц.
Заданное значение оценки О откладывается вдоль базисных векторов осей эллиптических цилиндров. Базисные векторы каждой такой осн образуются вектор-столбцами матрицы Н с началами, помс- 148 Глава 5 Го1 щенным в точку ~ ~, где К вЂ” целочисленный п-вектор, определяющий ~-К~' ось.
Поскольку начало базисных векторов разных осей гзадаваемых разными К) смещены друг относительно друга, получим множество точек О;, лежащих на разных осях, соответствующих заданной оценке 9 . Координаты этих точек в пространстве измерений р могут быть вычислеГо1 ны по формуле В, = Н 9-~ . Поскольку целочисленный вектор К мо- ~К~ жет быть произвольным, то число точек О, будет бесконечным. Через точки О, проводим (р+Ч-ш)-плоскости, Ь-ортогональные осям эллиптических цилиндров. Множество точек каждой такой (р+Ч-ш)-плоскости ограничим областями такими, что, с одной стороны, их точки принадлежат только тому многогранному цилиндру, ось которого получена путем расширения оси соответствующего эллиптического цилиндра, а с другой, — последние Ч-координат точек рассматриваемых областей удовлетворяют ограничению 15.26).
Эти области образу1от ранее введенные в частных примерах области ж,(О) такие, что принадлежащие им точки пространства измерений р порождают заданное значение Го1 оценки 0. При этом сами точки В, = Н 9-~ ~, определяющие (р+Ч-ш)- ~К~ плоскости, в которых лежат области у1(0), не обязательно принадлежат этим областям (в качестве примера см.
точку 01 на рис. 5.6). Использование рассмотренных выше ограничений приводит к тому, что число областей Ч1;(О) становится конечным. Далее будем использовать для обозначения числа областей Ч1; (9) символ 1Ч(9) . Из рис. 5.6 и 5.7 следует, что значение Х(В) может лежать в пределах от 1 до 2'. Любая точка пространства измерений )з, лежащая в одной из областей 1к;(0) 1=1, х(В) будет порождать заданное значение оценки О и она же будет удовлетворять системе неравенств 15.29) для целочисленного вектора К, .(9), определяющего ту ось многогранного цилиндра, в котором лежит рассматриваемая точка. 149 Спутниковые радиоиавигт1ионные системы Если спроектировать ортогонально все точки областей Че;(9) 1= 1, М(0), лежащих в (р+о-щ)-плоскостях, на о-плоскостно задаваемую т' ' вектор-столбцами матрицы Лт(ЛЛт), то точки проекции е) будут удовлетворять системе неравенств (5.39) для тех же целочисленных векторов й;(В).
Будем далее обозначать области, получаемые путем ортогонального проектирования областей у;(0) на о-плоскость столбцов матрицы Л (ЛЛ ) как ье;(В) . Примеры проекций ье,(9) были показаны на рис. 5.6. Очевидно, что число проекций й; (9) будет совпадать с числом областей у;(0). Из рис. 5.6 и 5.7 видим, что все множество областей ие;(9), соот- ветствуюших оценке 9, получаются своеобразным «расщеплением» одной области че;(9), которую далее будем называть лорождаюигей. Порождающая область у (9) лежит в одной из (р«е)-щ)-плоскостей, В такой, что последние и-координат точки В, = Н 0- - е..
. через которую проходит эта (р+о-щ)-плоскость, удовлетворяют ограничению (5.26), или, иными словами, все элементы о-вектора Н„О-К (9) удовлетворяют ограничению (5.26). Примеры порождающих областей были показаны на рис. 5.6 и 5.7. Целочисленный вектор йж„( 9), определяющий порождающую область, может быть вычислен по формуле йм„(9) = КО1Л 1О(Н„В), (5.41) где КО()ХО(х) — операция округления до ближайшего целого; все остальные векторы й;(9), 1= 1, Х(9) находятся среди множества векторов к „(О)+з, в — произвольный о-вектор, компоненты которого могут принимать значения О, 1, -1. 150 Глава 5 Область у,(9), которая является частью порождающей области, далее будем называть основной обласвпью, а ее ортогональную проект' цню на плоскость столбцов матрицы Л (ЛЛ ) — называть осповноц проекцией.
На рис. 5.6 основной является область у,(9), а основной проекцией — ьв,(9). Если и-последние координаты всех точек порождающей области будут удовлетворять ограничению 15.26), то эта область не «расщепляется», число областей у,(9) будет равно 1 1 Х(9) = 1) н основная область будет совпадать с порождающей. В противном случае происходит «расщепление» порождающей области на множество областей у; (9) 1см. примеры на рис. 5.7). Все проекции ьв;(9) 1=1, 1Ч(9) лежат внутри разных многогранных цилиндров, каждый из которых определяется своим целочисленным ц-вектором К;(9) . Это означает, что каждому значению 9 можно поставить в соответствие 1»(9) проекций й; (9) и соответствующих им целочисленных векторов к;(9) 1=1, 1»(9) .
Согласно своему исходному положению, вектор р распределен нормально, имеет нулевое математическое ожидание и ковариационную матрицу В„'. Рассмотрим следующее линейное преобразование (р+ц)- вектора р Линейность преобразования 15.42) позволяет утверждать, что составной ~т1 (т+й)-вектор ~ ~ так же распределен нормально с нулевым математи- ~31 ческим ожиданием. В Приложении Е показано, что ковариационная матрица этого вектора имеет вид (н'в„н) 9 15.43) 151 Саутррерковые радиооаеигациоршые пмтеты Таким образом, векторы ц и ц статистически независимы, имеют нулевые математические ожидания и ковариационные матрицы (Н В„Н) и В„'.
Очевидно, что плотность вероятности произвольной оценки 0 может быть вычислена путем интегрирования плотностей вероятностей тех точек пространства измерений р, из которых возможно образование этой оценки. Как видно из предыдущего рассмотрения, такие точки образуют области е(р,.(0), соответствующие оценке 9. Нетрудно видеть, т; = 9-С «, (9), 1=1, (в((9), (5.44) где «; (9) — целочисленные г(-вектора, значения которых определяются в зависимости от того, в какую область й;(0) попадает г(-вектор г), или, иными словами, в какой многогранный цилиндр попадает (р+г()- вектор измерений р.
Отсюда получаем, что плотность вероятности произвольной оценки 6 может быть вычислена как сумма произведений плотностей вероятностей всех )в((9) векторов т, .(5.44) на вероятносп попадания г(-вектора ц в соответствующую обласп й; (0) г = 1, (Ч(6) . При этом закон распределения % (0) оценки 0 может быль записан следующим образом: н(в)=г р,(е) ( ".".") р( -(в-с в(в)) н'нн (в-се.,(е))), (5.45) где г";(9) — вероятности попадания г)-вектора ц в области й,(6) 1= 1, )е)(9), определяемые ц-кратными интегралами 152 что щ-векторы ц,, порождаемые точками пространства р, лежащими в областях Чр,(9), остаются постоянными. В соответствии с (5.40), каж- дый из этих постоянных щ-векторов может быть вычислен по формуле Глава 5 Г(п)=( ) (- ( и( — и п,п(пп, ~-1, п(п1.
~5пб) пп пап ап п,(в) Сложность областей й, (9) приводит к тому, что закон распределения %(9) 15.45) в общем случае практически является малоценным. Однако, учитывая обычно выполняющиеся на практике ограничения на среднеквадратические ошибки неоднозначных измерений 1 о = —,1=1,о, (6...8) 15.47) выражение (5.45) можно значительно упросппь. Закон распределения 9, получаемый в результате такого упрощения, обозначим как %'(9) . Введем в рассмотрение в пространстве переменных з) расширенную основную проекцию, все точки которой удовлетворяют системе неравенств (з~л-йж„(9)) 0 (ъ)~-йя,„(В))<(ц+й) Впл(ц+й).
(5.48) твз Расширенная проекция всегда включает в себя основную и может быть получена ортогональным проектированием порождающей облает~-! ти пРж„(9) на о-плоскость столбцов матрицы Л (ЛЛ~) . Если все точки пространства р, соответствующие расширенной проекции, удовлетворяют ограничениям (5.26), то эта проекция будет совпадать с основной, и основная проекция в этом случае будет единственной, т.е. (п((В)=1.
Дополнительные проекции й,(9) появляются тогда, когда не все точки р, соответствующие расширенной проекции, удовлетворяют ограничениям (5.26). При этом, согласно 15.47), все дополнительные проекции й;(В) образуются точками с очень низкой плотностью вероятности. Это позволяет пренебречь всеми членами, входящими в (5.45), за исключением члена, соответствующего основной проекции, и, кроме того, заменить в этом члене интегрирование по основной проекции интегрированием по соответствующей расширенной проекции. С учетом сказанного, закон распределения %'(9) может быть записан следующим образом: Спутниковые увадввоввавиговгввоввввые енетеиы и(в)-с.,(в) ( "..
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
