Скляр Б. Цифровая связь (2003) (1151859), страница 34
Текст из файла (страница 34)
Такие сигналы, показанные на рис. 3.10, б, именуются ортогональлымя (квадратурными). Чтобы два сигнала были ортогональными, они не должны коррелировать в течение времени передачи символа, т.е. должно выполняться следующее условие: вг о Иь чяй а) б1 Рис. ЗЛО. Векторы двоичных сигналов: о) онтинодиые; б) ортогонолвные Вопрос ортогональности рассматривался ранее, в разделе 3.1.3. При детектировании антиподных сигналов (т.е. при р=-1) с помощью согласованного фильтра, уравнение (3.68) можно записать следующим образом; (3.70) Точно так же при детектировании ортогональных сигналов (т.е. при р = О) с помощью согласованного фильтра, формулу (3.68) можно записать следующим образом: (3.71) На рис.
3.10, где амплитуды сигналов выбраны равными,) Еь, показано, что вероятность ошибки, описываемая уравнениями (3.70) и (3.71), является функцией расстояния между в, и аг (чем больше расстояние, тем меньше Рв). Если взять антиподные сигналы (рис. 3.10, а), расстояние между ними будет равно 2,('Еь, а энергия Ее, связанная с расстоянием, будет опредачлться как квадрат расстояния, или 4Ег. При подстановке Е, = 4Ее в уравнение(3.63) получаем уравнение(3.70). Если взять ортогональные сигналы (рис.
3.10, б), расстояние между ними будет равно (2Е„; следовательно, Ее= 2Ег. При подстановке Ее— - 2Е, в уравнение (3.63) получим уравнение (3.71). Пример 3.2. Детектирование анппюдных сигналов с помощью согласованного фильтра Рассмотрим бинарную систему связи, принимающую равновероатиые сигналы з1(г) и хз(г) плюс шум АтчСхХ (рис. 331). Предположим, что в качестве принимающего фильтра используется согласованный фильтр, а спектральная плотность мощности шума № равна 10" Вт/Гц. С помощью значения напряжения и времени принятого сигнала, показанных ка рис. 3Л1, вычислите вероятность появления ошибочного бита. Гоняя я низкочастотная авмолчляция/детектирование о1(О (милливольт) оз(г) (миллиаольт) г(мкс) г(мкс) Рис.
3.11. Низкочастотные антинодныо сигналы Решение Мы можем графически определить отношение принятой энергии на бит сигнала, ис- пользуя для этого один из двух графиков, либо г,(г), либо зг(г), представленных на рис. 3.11. Энергия — это площадь под графиком импульса, которая находится пугем интегрирования: Еь — — ~г (г) г(г = (1(ГзВ)г х (1Оо с) + (2 х 10 'В)з х (!О'с) .К10 'В)з х (1О'с) = б х 1О "Дж. о Поскольку сигналы, изображенные на рис. 3.11, являются антиподными и детектируются с помощью согласованного фильтра, используем формулу (3.70) для вычисления вероятности появления ошибочного бита: ы ы(г(ч1! 2 ~Д(3,46) . !О Из табл. Б.! находим, что Ро = 3 х 10 4. Кроме того, поскольку аргумент м(к) больше 3, можно также использовать приближенное соотношение, приведенное в формуле (ЗА4), которое дает вероятность Ро = 2,9 х 1О-'.
Поскольку принятые сигналы являются антиподными и принимаются согласованным фильтром, весьма вероятно, что формула (3.70) дает верное выражение для нахождения вероятности возникновения ошибочного бита. Сигналы з,(г) и зз(г) могут выглядеть гораздо более странно, но до тех пор, пока они являются антиподными и детектируются с помощью согласованного фильтра, их внешний вид не влияет на вычисление Рг. Формы сигналов, разумеется, имеют значение, но только когда дело доходит до определения импульсного отклика согласованного фильтра, необходимого для детектирования этих сигналов.
3.2.6. Вероятность возникновения ошибки при двоичной передаче сигналов 0<г<Т для двоичной 1 0 < г < Т для двоичного 0 з,(г) =А з,(г) = 0 (3.72) 3.2. Детектирование двоичных сигналов в гауссовом шуме 3.2.5.1. Униполярная передача сигналов На рис.
3.12, а приведен пример низкочастотной ортогональной передачи сигналов, называемой уннполярной. Здесь А > Π— амплитуда сигнала я,(г). Определение ортогональной передачи сигналов дается выражением (3.69), требующим, чтобы я,(т) и я,(т) имели нулевую корреляцию в течение периода передачи символа. я1)) 0 т ат зт лт вт а) Опорный сигнал в1О) -вг(0 =А гр) вйг) е) Рис.
3 12 Детектирование при упипалярной низкочастотной передаче сигналов: а) пример унилолярпой передачи сигначов; д) детектирование с лаиощио коррелятора Поскольку в формуле (3.72) ят(г) равно нулю в течение периода передачи символа, множество униполярных импульсов полностью удовлетворяет условию, приведенному в уравнении (3.69), а следовательно, они формируют ортогональное множество сигналов.
Рассмотрим униполярную передачу сигналов (рис. 3.12, а) и коррелятор (рис. 3.12„6), который может использоваться для детектирования подобных импульсов. Коррелятор перемножает входной сигнал г(г) и разность сигналов-прототипов, (л((т) — яг(г)] =А, после чего результат интегрируется. По окончании периода передачи символа Т устройство дискретизации (включающееся в момент, определенный как верхний предел интегрирования) дает тестовую статистику т(7), которая затем сравнивается с порогом 7,. В случае приема л,(т) и шума А))()чл)ч) (т.е. когда г(т) = л,(т)+ л(г)) сигнальный компонент т(7) находится с помощью уравнения (3.69): т ,(п-я(пп(,(п) е )А +и(чг) А г. о Здесь Е(г(7)(л((г)) — математическое покидание того, что при принятой выборке г(7) был передан сигнал л,(т).
Далее использовано равенство Е(п(г)) = О. Подобным образом при г(г) = е,(г)+ л(т), аг(Т) =О. Таким образом, в рассматриваемом случае оптимальный порог принятия решения (см. уравнение (3.32)) равен уо= (а,+аз)!2= 1/2 А'Т. Если тестовая статистика г(7) больше 7,, сигнал считается равным л((т)( в противном случае принимается решение, что был передан сигнал лт(г). Из уравнения (3.62) получаем, что энергетический разностный сигнал равен ЕлтАгТ.
Тогда из формулы (3.63) получаем вероятность появления на выходе ошибочного бита: (3.73) ГДЕ ПРИ РаВНОВСРОЯтНОй ПЕРЕДаЧЕ СИГНаЛОВ СРЕдНЯЯ ЭНЕРГИЯ На бнт РаВНа Еь= АгТ)7 Уравнение (3.73) совпадает с уравнением (3.71), полученным с помощью общих рассуждений для ортогональной передачи сигналов. Отметим, что вне блока перемножения, подобного показанному на рис. 3,12, б, единицей измерения сигнала является вольт. Следовательно, для сигналов напряжения на каждом из двух входов передаточная функция блока перемножения должна иметь размерность 1/вольт, а функция г(г) а(г) вне блока перемножения — вольт/вольт в квадрате.
Подобным образом вне блока интегрирования также используется единица измерения вольт. Следовательно, для сигнала напряжения в блоке интегрирования передаточная функция интегратора должна иметь размерность 1/секунду, а значит, общая передаточная функция блока перемножения-интегрирования должна иметь размерность 1/вольт-секунда. Итак, для сигнала, поступающего на интегратор и имеющего размерность энергии (вольт в квадрате-секунда), получаем с выхода сигнал, пропорциональный энергии принятого сигнала (вольт/джоуль).
3.2.6.2. Биполярная передача сигналов На рис. 313, о приведен пример низкочастотной антиподной передачи сигналов„ называемой биполярной, где О < г < Т для двоичной 1 я,(г) =+А (3.74) О < г < Т для двоичного О яг(г) = -А яд г) в) Опорныяоигнвп вг(О=А й(г) г(г) б) Рис. 3 )3 Детектировоггие при биполярной иизкочостотной передоче сигналов о) прииер биполярной передачи сигннмю, б) детектнровоное с помощью коррелятора ((ак определялось ранее, термин "антиподный" относится к двоичным сигналам, котоРые ЯвлЯютсЯ зеРкальными отобРаженнлми дРУг дРУга, т.е. Я,(г)= — Яг(г). ПРиемник- коррелятор таких антиподных сигналов может иметь схему, подобную представленной на рис. ЗЛЗ, б.
Один коррелятор перемножает входной сигнал г(г) и сигнал-прототип л(г), после чего интегрирует результат; второй выполняет те же действия с сигналом гт(г). На рис. 3.13, б изображена сама суть основной функции цифрового приемника. Иными словами, в течение периода передачи символа входной зашумленный сигнал пускается по множественным различным "проходам" для проверки его корреляции со всеми возможными прототипами. После этого приемник опрелеляет наибольшее выходное напряжение (наилучшее соответствие) и принимает соответствуюшее решение относительио значения переданного символа.
В бинарном случае имеем два возможных прототипа. В квалратичном случае могут сушествовать 4 возможности и т.д. На рис. 3.13, б выходы коррелятора обозначены как й(Т) (1 = 1, 2). Тестовая статистика, сформированная из разности выхолов коррелятора, выглядит следуюшим образом: (3.75) г(7) = г,(7) — гг(Т). Решение принимается с использованием порога, указанного в формуле (3.32). Для антиподных сигналов а, = -а„' следовательно, узчО. Значит, если тестовая статистика г(Т) положительна, считается, что передан сигвал г,(7); если же тестовая статистика отрицательна, считается, что передан сигнал гз(7). Из уравнения (3.62) энергетический разностный сигнал равен Еа-— (2А)'Т.
Следовательно, можем использовать уравнение (3.63) лля вычисления вероятности появления ошибочного бита: Ел 2А Т 2Еь (3.76) Здесь средняя энергия на бит равна Еь = А'Т. Уравнение (3.76) совпадает с уравнением (3.70), полученным с помошью обших рассуждений для антиподной передачи сигналов 3.2.б.3. Использование базисиыкфункций для описания передачи сигналов В корреляторе, приведенном на рис. 3.13, б, в качестве опорных могут использоваться не только сигналы б(г); с этой же целью могут применяться базисные Функции, описанные в разделе 3,1.3. Проиллюстрируем этот подход на бинарной передаче сигналов с помошью униполярных или биполярных импульсов, поскольку в этом случае все сигнальное пространство можно охарактеризовать одной базисной функцией.
Если нормировать пространство, т.е. в уравнении (3.76) положить К,=1, то базисная функция ~у,(г) будет равна 4И Т . Для униполярной передачи импульсов можем записать следуюшее: Г1 г(г)=а у(г)=АЧТ х ( — ~ =А '~Т) ( Г~ гз(г) гамчг,(г) =Ох ~ — ~ =О. 1~~ Т) Злесь коэффициенты аи и ам равны, соответственно, АчТ и О. Для биполярной передачи импульсов можем записать Г~ В(г) = а1у,(г) = А Гтх ( — ! = А )((т! (Гй зз(г) =аз,хг,(г) = — А ГТх ~ — ~ = — А, ~1 т~ где коэффициенты ан и ав равны, соответственно, А ГТ и — А ГТ. При использовании антиподных импульсов можно считать, что приемник-коррелятор имеет вид, показанный на рис.
3.12, б, с опорным сигналом, равным чИТ. Итак, при передаче з,(г) =А, можем записать следующее: т а,(Т)=Е(г(Т)(з,(г))=Е ~ — + — Ыг = А ГТ. г А н(г) ~~ Гт Гт Поскольку Е(а(г)) =О, а значит для антиподной передачи сигналов Е,= А'Т, то а,(Т) =,~Ез . Аналогично при приеме сигнала г(г) = з,(г) + н(г) получаем аз(Т) =-,(Еь . Если опорные сигналы рассматривать именно таким образом, то математическое ожидание г(7) равно,/Еь (измеряется в нормированных вольтах, пропорциональных принятой энергии).
Приведенный подход к описанию коррелятора дает удобное выражение г(7), имеющее те же единицы измерения (вольт), что используются вне блоков перемножения и интегрирования. Еше раз повторим важный момент: на выводе устройства дискретизации (в додетекторной точке) тестовая статистика -(Т) — это сигнал напряжения, пропорциональный энергии принятого сигнала. На рис. 3.!4 показана зависимость Р, от Е~й, для биполярной и униполярной передачи сигналов. Существует только два точных способа сравнения этих кривых.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
