Скляр Б. Цифровая связь (2003) (1151859), страница 32
Текст из файла (страница 32)
Если бы пример был М-мерным, а не бинарным, всего существовало бы М функций правдоподобия, представляющих М классов сигналов, к которым может принадлежать принятый сигнал. Решение по принципу максимального правдоподобия в этом случае представляло бы выбор класса, имеютцего самое большое правдоподобие из М возможных. (Основы теории принятия решений даются в приложении Б.) 3.2.1.1. Вероятность ошибки В процессе принятия бинарного решения, показанном на рис. 3.2, существует две возможности возникновения ошибки.
Ошибка е появится при передаче «,(с), если вследствие шума канала уровень переданного сигнала с(с) упадет ниже у,. Вероятность этого равна следующему: р(в)«г) = р(От!«з) = ~р(с)«з) дс то (3.35) Вероятность ошибки равна сумме вероятностей всех возможностей ее появления. Для бинарного случая вероятность возникновения ошибочного бита можно выразить сле- луюшим образом: (3.3б) о=! 149 3.2. Детектирование двоичных сигналов в гауссовом шуме то р(в)«т) = р(Нг)с!) = ~р(4«!) с(х. (3.34) Эта возможность показана заштрихованной областью слева от Ть (рис.
3.2). Подобнь)тя образом ошибка появляется при передаче «с(с), если вследствие шума канала уровень переданного сигнала з(с) поднимется выше уо. Вероятность этого равна следующему: Объединя» формулы (3.34)-(3.36), получаем Рв = Р(ер))Р(в)) + Р(е~(вг)Р(вг) (3.37,а) или, что равносильно, Рв = Р(Нг!в))Р(в)) + Р(Нг!вг)Р(вг). (3.37,6) Иными словами, при передаче сигнала в)(() ошибка происходит при выборе гипотезы Н„или при передаче сигнала вг(() ошибка происходит при выборе гипотезы Ни Для равных априорных вероятностей (т.е.
Р(в,) = Р(в,) = 1/2) имеем следую)цее: Рв = 22 Р(Н2)в)) + гг. Р(Н))вг) . (338) Используя симметричность плотностей вероятности, получаем следующее: (3.39) Рв = Р(Нг))ад = Р(Н)))вг). Рв 3Р(2)в2) )~2. та =(аг а-а )Гг (3.40) Здесь ур= (а, +аг)(2 — оптимальный порог из уравнения (3.32). Заменяя функцию правдоподобия р(ф,) ее гауссовым эквивалентом из формулы (3.6), имеем (3.41) где о„' — дисперсия шума вне коррелятора. Сделаем замену и = (2- аг)/пр. Тогда орг(и = а(2 и ' ~ — ")"=~-") и = (а, — аг)/геи (3.42) Д(х) называется гаусеооым интегралом он(ибоя и часто используется при описании ве- роятности с гауссовой плотностью распределения. Определяется эта функция сле- дующим образом: Д(х) — 21 ехр~ — — ) а)и . (3.43) Отметим, что гауссов интеграл ошибок может определяться несколькими способами (см. приложение Б); впрочем, все определения одинаково пригодны для описания вероятности ошибки при гауссовом шуме.
Д(х) нельзя вычислить в аналитическом виде. В табл. Б.1 она представлена в форме таблицы. Хорошие аппроксимации функции Вероятность появления ошибочного бита, Р„численно равна плошади под ахвостома любой функции правдоподобия, р(гр)) или р(ф,), азаползаюшима на "неправильную" сторону порога. Таким образом, для вычисления Р, мы можем проинтегрировать Р(ф)) от до Ъ или Р(фг) — от ур до Д(х) более простыми функциями можно найти в работе 15).
Вот одна из таких аппрок- симаций, справедливая для х > 3: 1 ( х 1 О(х) — ехр~- — ~ . х~/2я ~ 2,1 (3.44) Итак, мы оптимизировали (в смысле минимизации Р,) порог у, но не оптимизировали принимающий фильтр в блоке 1 (рис. 3.1). Далее нашей целью является оптимизация этого фильтра путем максимизации аргумента (7(х) в формуле (3.42). 3.2.2. Согласованный фильтр (3.45) Нам нужно найти передаточную функцию фильтра Не(с) с максимальным отношением (5(М)с. Сигнал а(с) на выходе фильтра можно выразить через передаточную функцию фильтра Н()) (до оптимизации) и Фурье-образ сигнала на входе а,(с) = ~Н(ЯБ(~)е ~~ср, (3.46) где Я(с) — Фурье-образ сигнала на входе, с(с). Если двусторонняя спектральная плот- ность мощности шума на входе равна сУС2 Вт/Гц, то с помощью формул (1.
19) и (1.53) мощность шума на выходе можно записать следующим образом: ос = — е ()~Н(1)'Гс)7" . (3.47) Объединяя формулы (3.45) и (3.47), получаем выражение для (5Ссу)с.' 2 ) Н(Х)5(У)е' еФ В!2 1/ О~с) с е (3.48) 3.2. Детектирование двоичных сигналов в гауссовом шуме 151 Согласованный фильтр (тате)сес( бс!гег) — это линейное устройство, спроектированное, чтобы давать на выходе максимально возможное для данного передаваемого сигнала отношение сигнал/шум. Предположим, что на вход линейного, инвариантного во времени (принимающего) фильтра, за которым следует устройство дискретизации (рнс. 3.1)„подается известный сигнал с(с) плюс шум А%ОХ л(с). В момент времени с= Т сигнал на выходе устройства дискретизации с(7) состоит из компонента сигссала а, и компонента шума а,. Дисперсия шума на выходе (срелняя мощность шума) записывается как се'. Отношение мгновенной мощности шума к средней мощности шума, (бусч)с, в момент с = Т вне устройства дискретизации на этапе 1 равно следующему: Найдем теперь значение Н(1) = НЯ, при котором (Ллц)г достигает максимума.
Для этого нам понадобится неравгмояво Шварца, одна из форм записи которого представлена ниже. ~Ях)Т2(х) ах ь )~Д~(х)~ г(х ~~~2(х)~зг(х (3.49) 2 ~н(г)5(1)е етй( ь ~~~нЦ)Ггу ~~Б(()~~ц(. (3.50) Подстановка в выражение (3.48) дает (Л3 Н Р((~" ~ (3.51) или (3.52) где энергия Е входного сигнала х(г) равна Е= уу(Т)~~г(Г". (3.53) Следовательно, максимальный выход (5/М)г зависит от энергии входного сигнала и спектральной плотности мощности шума, ио не от хонкрел2лой формы сигнала. Равенство в выражении (3.52) получается только при использовании передаточной функции оптимального фильтра не(г): (3,54) или ь(Г) еь-2(ь5 ( г)гзкгт» (3.55) Поскольку г(г) — вещественный сигнал, с помощью формул (А.29) и (А.З1) можно за- писать следующее: ЫТ вЂ” г) 0<2< Т л(г) = 0 длл остальных г (3.5б) Итак, импульсная характеристика фильтра, обеспечивающего максимальное отношение сигнал/шум на выходе, является зеркальным отображением сигнала сообщения 152 Глава 3. Низкочастотная демодуляция(детектирование Равенство достигается при Ях) = )Т (х), где х — произвольная константа, а знак "е" обозначает комплексно сопряженное значение.
Если отождествить Н(Г) с );(х) и Яфе' 2г с Т2(х), можем записать следующее: 3.2.3. Реализация корреляции в согласованном фильтре В формуле (3.5б) и на рис. 3.7, а отражено основное свойство согласованного фильтра; импульсная характеристика такого фильтра — зта зеркальное анюбражение Татнаситееьна аси )= 0) сигнала с некоторой задерзккой. Следовательно, если сигнал равен г(г), его зеркальное отображение равно г(-г), а зеркальное отображение, зацаздываюц)ее на Т секунд, — это к(Т- г).
Выход г(г) причинного фильтра во временной области можно описать как свертку принятого входного сигнала г(г) с импульсной характеристикой фильтра (см. раздел А5): г(г) = г(г) *)г(г) = )г(т))г(г — т)г(т. о (3.57) г Импульсная характеристика ссглассааннсгс фильтра -г Зеркальное отображение сигнала Т Сигнал а) ксд коррелятора код ссглассааннсгс пыра б) Рис. 37. лсррелиигр и глгклгсескный фильтр: а) тарактеристика ссглагалалного фильтра; б) сраенеиие выхсг)се ксрреанпара и стгласоеииюю филыпра Подставляя )г(г) из формулы (3.5б) в )г(г — г) в формуле (3.57) и выбирая произвольную константу к равной единице, получаем следуюпгее: г(т) = ~г(т)г(Т вЂ” (т — т))ггт = о = ))г(т)з(Т вЂ” с+ с)г(т. о (3.58) 3.2. Летвктноование лвончнык сигналов в гачссовом шуме з(г), заназдывающии на время передачи символа Т.
Отметим, что задержка в Т секунд делает уравнение (3.56) причинным, т.е. запаздывание на Т секунд делает )г(г) функцией положительного времени в промежутке 0 < г< Т. Без задержки в Т секунд отклик з(-г) нереализуем, поскольку в этом случае он является функцией отрицательного времени. Для момента времени г = Т формулу (3.58) можно переписать следующим образом: г(Т) = ~г(т)л(т)с(т . о (3.59) Из последнего выражения видно, что интеграл от произведения принятого сигнала Кг) на копию переданного сигнала г(() на интервале передачи символа представляет собой корреляиию Кг) с л(г).
Предположим, что принятый сигнал Кг) коррелирует со всеми сигналами- прототипами л,(г) () = 1, ..., М) и для этого используется набор из М корреляторов. Сигнал е(г), корреляция которого (или интеграл от произведения) с Кг) дает максимальное значение д(Т), — и есп сигнал, который согласуется с Кг) лучше остальных. Далее это свойство корреляции мы будем использовать для оптимального детектирования сигналов. 3.2.3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
