Скляр Б. Цифровая связь (2003) (1151859), страница 33
Текст из файла (страница 33)
ь. Сравнение свертки и корреляции Работа согласованного фильтра описывается математической операцией свертки; сигнал сворачивается с импульсной характеристикой фильтра. Работа коррелятора описывается математической операцией корреляции; сигнаа коррелирует с копией самого себя. Довольно часто термин "согласованный фильтр" используется как синоним термина "коррелятор". Как такое возможно, если математические операции различны? Напомним, что процесс свертки двух сигналов использует один из сигныюв, обращенный во времени.
Кроме того, импульсная характеристика согласованного фильтра определяется именно через сигнал, обращенный во времени. Следовательно, свертка в согласованном фильтре с обращенной во времени функцией дает еше одно обращение во времени, подавая на выход (в конце интервала передачи символа) то, что является корреляцией сигнала с собственной копией. Значит, принимающий фильтр, изображенный на рис. 3.1, можно реализовать либо как согласованный фильтр, либо как коррелятор. Важно отметить, что выходы коррелятора и согласованного фильтра одинаковы только в момент времени г= Т.
Для синусоидального входа выход коррелятора, г(с), на интервале О < г < Т приблизительно описывается линейной функцией. В то же время выход согласованного фильтра приблизьпельно описывается синусоидой, амплитуда которой в том же промежутке времени модулирована линейной функцией (см. рис. 3.7, б). Поскольку при соизмеримых входах выходы согласованного фильтра и коррелятора ьшентичны в момент взятия выборки г= Т, функции согласованного фильтра и коррелятора, изображенные на рис. 3.8, часто используются как взаимозаме)гяемые. г(г) = в()) ь лйз н(г — )) г(Л Соглаоовывавтояо я1(г) - вг(ь) а) Г 81(г): в~(() КС = еЛГ)+ л(б рис.
З.д Эквивалентность согласованныо Фильтра и коррелятора: а) согласованный Фильтр; й) коррелятор 3.2.3,2. Дилемма в представлении упорядочвниьсх во времени событий При представлении упорядоченных во времени собьпий существует серьезная дилемма. Возникает частая ошибка в области электротехники — путаница между самым старшим битом и самым младшим. На рис. 3.9, а показано, как обычно изображается функция времени; самое раннее событие представлено слева, а наиболее позднее— справа.
Людям, привыкшим читать слева направо, такое изображение кажется единственно правильным. Рассмотрим рис. 3.9, б, где показано, как импульсы поступают в сеть (или канал) и покидают ее. Здесь самое раннее событие изображено справа, а наиболее позднее — слева. Изучение этого рисунка позволяет понять, что при записи упорядоченных событий возможна путаница между двумя возможными форматами записи. Чтобы избежать затруднений, зачастую необходимо дать некоторые пояснения (например, указать, что крайний справа бит — это первый бит), со сс сг а) сг ос со сг сс со б) Рис. З.й Дилелииа в представлении унорядо- ченныл во времени событий Математические соотношения часто имеют "встроенные" особенности, гарантирующие соответствующее упорядочение событий.
Например, в разделе 3.2.3 согласованный фильтр определялся как имеющий импульсную характеристику )с(с) — запаздывающую версию обращенной во времени копии сигнала. Иными словами, )с(с) = л(Т- с). Запаздывание на один интервал передачи символа Т необходимо для того, чтобы фильтр был причинным (выход должен быль функцией положительного времени). Обрасцение во времени можно рассматривать как "предварительную коррекцию", где крайняя правая часть временного графика теперь соответствует наиболее раннему событию.
Поскольку свертка навязывает другое обращение во времени, поступающий сигнал и импульсный отклик фильтра будут "идти в ногу" (ранний с ранним, поздний с поздним). 3.2.4. Оптимизация вероятности ошибки Для оптимизации (минимизации) Р, в среде канала и приемника с шумом А%ОХ, показанных на рис. 3.1, нужно выбрать оптимальный принимающий фильтр на этапе 1 и оптимальный порог принятия решения на этапе 2.
Для двоичного случая оптимальный порог принятия решения уже выбран и дается формулой (3.32), а в формуле (3.42) показано, что вероятность ошибки при таком пороге равна Рв= (2((ас — аг)с2сго]. Для минимального Рл в общем случае необходимо выбрать фильтр (согласованный) с максимальным аргументом ФУнкшси м(х). Следовательно, нУжно опРеделить максимальное (ас-аг)с2сгсо что Равносильно максимальному 3.2.
Детектирование двоичных сигналов в гауссовом шуме (л( - ~~) (3.6()) гте 2 5~ (а, — аз) 2Е„ Н= ~ г по 'уо 2 (3.61) где )Уе(2 — двусторонняя спектральная плотность мощности шума на входе фильтра и Еа = ~(й(г) — зз(г))~й о (3.62) является энергией разностного сигнала на входе фильтра. Отметим, что уравнение (3.61) не представляет отношения сигнал/шум для какой-то отдельной передачи, з,(г) или гз(г). Это отношение дает метрику разности сигналов на выходе фильтра. Максимизируя выходное отношение сигнал/шум, как показано в уравнении (3.61), согласованный фильтр обеспечивает максимальное расстояние (нормированное на шум) между двумя возможными выходами — сигналами а, и аь Далее„объединяя уравнения (3.42) и (3.61), получаем следующее: 'в 0 (3.63) Для согласованного фильтра уравнение (3.63) является важным промежуточным результатом, включающим энергию разностного сигнала на входе фильтра.
Из этого уравнения можно вывести более общее соотношение для энергии принятого бита. Для начала определим временной коэффициент взаимной корреляции р, который будем использовать в качестве меры подобия двух сигналов з,(г) и з,(г). Имеем 1 Г Р = 3 й(г)зз(г) ~(г Еь о (3.64,а) (3.64,6) р=созб, где (а,-а,) — разность желательных компонентов сигнала на выходе линейного фильтра в момент г= Т, а квадрат этого разностного сигнала представляет его мгновенную мощность. В разделе 3.2.2 описывался согласованный фильтр с максимальным отношением сигнал/шум для данного известного сигнала. Здесь мы решаем вопрос двоичной передачи сигналов и ищем оптимальный фильтр с максимальной разностью двух возможных выходных сигналов.
В выводе, приведенном в уравнениях (3.45)— (3.52), было показано, что согласованный фильтр дает на выходе максимально возможное отношение сигнал/шум, равное 2ЕIФм Допустим, что фильтр согласовывает входной разностный сигнал (з,(г) — г,(г)). Следовательно, для момента г = Т можем записать отношение сигнал/шум на выходе: где -1 < р < 1. Формула (3.64,а) — это классический математический способ выражения корреляции. Впрочем, если рассматривать з,(с) и з,(г) как векторы сигналов а, и э,, то более удобным представлением р является формула (3.64,б).
Векторное представление позволяет получать удобные графические изображения. Векторы э, и аз разделены углом 0; при малом угле векторы достаточно подобны (сильно коррелируют), а при больших углах они отличаются. Косинус угла 0 дает ту же нормированную метрику корреляции, что и формула (3.64,а). Расписывая выражение (3.62), получаем следующее: т т т Ех = ~й (г) ь(г+ ~з~з(г) ь(г — 2 ~00)зз(г) Ег . (3.65) о о Напомним, что два первых слагаемых формулы (3,65) представляют энергию, связан- ную с битом„Еь.
Еь = ~яь (!) ь(г = ~зз(г) Й . (3.66) о о Подставляя уравнения (3.64,а) и (3.66) в формулу (3.65), получаем следукицее: Еь= Еь+ Еь 2рЕь= 2Еь(1 р). Подставляя уравнение (3.67) в (3.63), получаем следующее: (3.67) Е, (1 — р) (3.68) 0(г)тз(г) ь(г = О. о (3.69) 8.2. Детектирование двоичных сигналов в гауссовом шуме 167 Рассмотрим случай р=1, соответствующий наилучшей корреляции сигналов з,(г) и зз(г) в течение времени передачи символа (если сигналы изобразить как векторы, угол между ними будет равен нулю). Возможно ли, чтобы подобные сигналы использовались кем-то в реальной системе? Разумеется, нет, поскольку сигналы связи (элементы алфавита) должны быль максимально несопоставимы, чтобы их можно бьио легко различать (детектировать). В данный момент мы просто рассматриваем возможные значения р. Следующий частный случай р =-1 соответствует "антикорреляции" з,(г) и з,(г) й течение времени передачи символа Другими словами, угол между векторами сигналов составляет 180'.
В этом случае, когда векторы являются зеркальными отображениями друг друга, как показано на рис. 3.10, а, сигналы называются аильилодныжи (лрольивофазными). Рассмотрим также случай р = О, соответствующий нулевой корреляции между т,(г) и зз(г) (угол между векторами равен 90').
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
