Скляр Б. Цифровая связь (2003) (1151859), страница 30
Текст из файла (страница 30)
На рис. 3.4 в векторной форме (которая в данном случае является очень удобной) показан процесс детектирования. Векторы аз и а, представляют сигналы-прототипы, или опорные сягнолы, принадлежащие набору из М сигналов, (з(г)). Приемник априори знает местонахождение в пространстве сигналов всех векторов- прототипов, принадлежащих М-мерному множеству. В процессе передачи каждый Сигнал подвергается воздействию шумов, так что в действительности принимается искаженная версия исходного сигнала (например, аз+ и или а,+ и), где и — вектор помех. Будем считать, что помехи являются алдитивными и имеют гауссово распределение; следовательно, результирующее распределение возможных принимаемых сигналов — это кластер или облако точек вокруг и, и зь Кластер сгущается к центру и 140 Глава 3.
Низкочастотная демодуляция/детектирование аа — это коэффициент при уф) разложения сигнала 4(г) по базисным функциям. Вид базиса (у(г)) не задается; эти сигналы выбираются с точки зрения удобства и зависят от формы переданных сигналов. Набор таких сигналов (б(г)) можно рассматривать как набор векторов (а,) = (а,ь ас, ..., аи). Если, например, л(= 3, то мы можем изобразить вектор а, соответствующий сигналу чей) ю(с) вой) Рис. 3.4. Сигтмм и тум в трссвервом векторном вростровстве 3.1.3.1. Энергия сигнала С помошью формул (1.5), (3.10) и (3.8) нормированную энергию Еь связанную с сигналом вс(с) в течение периода передачи символа Т, можно выразить через ортогональные компоненты в(с): т г 2 Е; = ~~з(с) ссс = ~а,"Чс (с) с(с = о о (3.13) ~~ ав.срс(с)ЯасеЧса (с) ссс т о с т ~ ~а)ас„)с(с,(с)Чсе(с) с(с = у е о ~~> асасеКсбт = (3.14) (3.15) (3.16) 3.1.
Сигналы и шум 141 разрежается с увеличением расстояния от прототипа. Стрелочка с пометкой "г" представляет вектор сигнала, который поступает в приемник в течение определенного интервала передачи символа. 3 дача приемника — определить, на какой нз прототипов М-мерного множества сигнал "похож" больше. Мерой "сходства" может быть расстояние. Приемник или детектор должен решить, какой из прототипов сигнального пространства Йвилсе к принятому вектору г. Анализ всех схем демодуляции или детектирования включает использование понятия расстояоие между принятым сигналом и набором возможных переданных сигналов.
Детектор должен следовать одному простому правилу: определять принадлежность г к тому же классу, к которому принадлежит есо ближайший сосед (ближайший вектор-прототип). л =~~! а,К. г=1,...,лг. !=! Уравнение (3.17) — это частный случай теоремы Парсеваля, связывающей интеграл от квадрата сигнала з,(г) с суммой квадратов коэффициентов ортогонального разложения з!(!).
При использовании ортонормированных функций (т,е. при К = 1) нормированная энергия за промежуток времени Т дается следующим выражением: (3.17) Е! = ) а!!. 1=1 (338) Если все сигналы д(!) имеют одинаковую энергию, формулу (3.18) можно записать следующим образом: М Е = ~а; для всех!. %» з (3.19) Пример 3.1. Ортогональное иредставлевие сигиалов На ряс. 3.5 иллюстрируется утверждение, что любой произвольный интегрируемый набор сигналов может представляться как линейная комбинация ортогональных сигналов. На рис. 3.5, а показан набор из трех сигналов, з!(г), за(г) и зз(г).
а) Покажите, что данные сигналы ве взаимно ортогональны. б) На рис. 3.5, б показаны два сигнала Ч!!(г) и !у,(!). Докюхите, что зти сигналы сртогональны. в) Покажите, как несртсгональные сигналы яз и. а можно выразить как линейную комбинацию ортогональных сигналов яз и. б. г) На рис. 3.5, в показаны другие два сигнала !)!!'(!) и !у!'(!). Покажите, как неортогональные сигналы, показанные на рис. 3.5, а, выражаются через линейную комбинацию сигналов, изображенных на рис. 3.5, в. 142 Глава 3. Низкочастотная демодуляция/детектирование 3.1.3.2. Обобщенное преобразование Фурье Преобразование, описанное формулами (3.8), (3.10) и (ЗЛ1), называется обсбягениым лреобразоваииен Фурье. При обычном преобразовании Фурье множество (!у!(!)) включает синусоиды и косинусоиды, а в случае обобщенного преобразования оно не ограничено какой-либо конкретной формой; это множество должно лишь удовлепюрять условию ортогональности, записанному в форме уравнения (3.8).
Обобщенное преобразование Фурье позволяет представить любой произвольный интегрируемый набор сигналов (или шумов) в виде линейной комбинации оргогональных сигналов 13]. Следовательно, в подобном ортогональном пространстве в качестве критерия принятия решения лля детектирования любого набора сигналов при шуме А%ОХ вполне оправдано использование расстояния (Евклидового расстояния). Вообще, важнейшее применение этого ортогонального преобразования связано с действительной передачей и приемом сигналов.
Передача неортогонального набора сигналов в общем случае осуществляется посредством подходящего взвешивания гхпогональных компонентов несущих. в!(с) -1 -2 -з ч1(б вг(с! 1/2 1 1 о 1 с ) в/)ц(с)асяс одяя св/ вз(О 2 1 о -1 -2 -з 1/2 1 чс(с)чь(с) ас=) о Г (Тяня С=Н о ос=~( (Тдня ) К е "с(бч "(" (О дня других), к б) в) Рис. 3.5. Пример выралсенил произвольного набора сигналов через ортогональный на- бор! а) произвольный набор сигналов," б) набор ортогональных базисных фуикцийс в) другой набор ортогонольных базисных функций Регаеиие а) Сигналы з,(г), з,(с) и з,(с), очевидно, не являются взаимно ортогональными, поскольку не удовлетворяют требованиям, укаэанным в формуле (3.8), т.е. интегрирование по времени (по длительности передачи символа) произведения любых двух из трех сигналов не равно нулю.
Покажем зто для сигналов з|(с) и зс(с) тст з!(с)зз(с)с/с ы ~з!(с)зз(с)с/с+ ~з((с)зз(с)бс = тсз тсз = ~(-с)(2)с(с = ~(-3)(О)с/с = — т. Подобным образом интегрирование по интервалу времени Т кюкаого из скалярных произведений з~(с)зз(с) и зз(с)зз(с) дает ненулевой результат. Следовательно, множество сигналов (з(г)) (с'= 1, 2, 3) на рис. 3.5, а не является ортогональным. б) Используя формулу (3.8), докажем, что су!(с) и гус(с) ортогональны: 3.1. Сигналы и шум 143 гсз г алчу!(с) !уз(с)с( = ~(1)(1)с(с+ ~(-1)(1)сс = О.
е тсз в) С использованием формульс(3.!!) при К,=т, неортогональное множество сигналов (з,(г)) (с = 1, 2, 3) можно выразить через линейную комбинацию ортогональных базисных сигналов ( з(с,(с) ) (С = 1, 2); зс(с) =сусЯ вЂ” 2с)сзЯ зз(г) = !ус(с) + пуз(с) ззЯ = 2Чсс(с) — Чсз(с) г) Подобно тому, как было сделано в п в, неортогональное мнохсество (с,(с)) (с = 1, 2, 3) можно выразить через орюгональный набор базисных функций (с(с,'(с)) (с = 1, 2), изображенный на рнс. 3.5, в: зс(с) = !ус'(с) — Ззуз'(с) зз(с) = 2зрс'(с) зз(с) = !ус'(с) — Ззуз'(с) Эти июпюшения показывают, как произвольный набор сигналов (з(с)) выражается через линейную комбинацию сигналов ортогонального набора (су(с)), как описывается формулами (3 !0) и (3.! !) Какое практическое значение имеет возможность представления сигналов з(с), зс(с) и зз(с) через сигналы су1(с), зу,(с) и соопетспзуюшие коэффициенты? Если мы хотим, чтобы система передаяапа сигналы з,(с), зз(с) и зз(с), достаточно, чтобы передатчик и приемник реализовывались только с использованием двух базисных функций ч~,(с) и зу,(с) вместо трех исходных сигналов Получить ортогонапьный набор базисных функций (с)к,(с)) дпя любого данного набора сигналов (з(с)) позволяет лролвсс ортоюнализалии Грамма-шмидта.
(Подробно этот процесс описан в приложении 4А работы (4).) 3.1.3.3. Представление белого шума через ортогональные сигналы Адднтнвный белый гауссов шум (ас(б!г!ие Мс!ге йзацзз!ап по!зе — А%сйзХ), как и любой другой сигнал, можно выразить как линейную комбинацию ортогональных сигналов. Для последуюшего рассмотрения процесса детектирования сигналов шум удобно разложить на два компонента: л(с) = л(с) + б(с), (3.20) где й(с) = ~~~ л зу Я с=! (3.21) л(с) = л(с) — й(с) (3.22) есть шумом вне пространства сигналов.
Другими словами, б(с) можно рассматривать как шум, эффективно отсеиваемый детектором, а й(г) — как шум, который будет "вмешиваться" в процесс детектирования. Итак, шум л(с) можно выразить следуюшим образом: является шумом в пространстве сигналов или проекцией компонентов шума на коор- динаты сигнала с(с,(с), ..., зуп(с), а я(г)=~~) я,цгу(г)+й(г), (3.23) где т г и, = — ~я(г)цг,(г) й для всех7' зо (3.24) т й(г)у,(г) й =О для всех~. о (3.25) Компонент й(г) шума, выраженный формулой (3.21), следовательно, можно считать просто равным «(г).
Выразить шум я(г) можно через вектор его коэффициентов, подобно тому, как это делалось для сигналов в формуле (3.12). Имеем (3.2б) и = (ли л,, ..., ли), где и — случайный вектор с нулевым средним и гауссовым распределением, а компо- ненты шума и, (1 = 1, ..., И) являются независимыми. 3.1.3.4. Дисперсия белого шума Белый шум — это идеализирооаиный процесс с двусторонней спектральной плотностью мощности, равной постоянной величине Ио/2 для всех частот от до + . Следовательно, дисперсия шума (средняя мощность шума, поскольку шум имеет нулевое среднее) равна следующему: о = таг1л(г)1 = ~ ( — ) Ф = 3 г~ Ио з(,г) (3.27) с т 3 ~л(г)у,(г) й о о =тати =Е г (3.28) Доказательство фоРмулы (3.28) приводится в приложении В. С этого момента будем считать, что интересуюший нас шум процесса детектирования является шумом на выходе коррелятора или согласованного фильтра с дисперсией от = Ио(2, как указано в формуле (3.28).
143 3.1. Сигналы и шум Хотя дисперсия А%О)ч равна бесконечности, дисперсия фильтрованного шума А%0)К конечна. Например, если А%ьгХ коррелирует с одной из набора ортонормнрованных функций Чг,(г), дисперсия на выходе коррелятора описывается слелуюшим выражением: 3.1.4. Важнейший параметр систем цифровой связи — отношение сигнал/шум Любой, кто изучал аналоговую связь, знаком с критерием качества, именуемым отноисением средней мощности сигнала к средней мощности шума (Б/Х или ЯЧК). В цифровой связи в качестве критерия качества чаще используется нормированная версия БХВ, Ег/М~ Ео — зто энергия бита, и ее можно описать как мощность сигнала 5, умноженную на время передачи бита уь /Ео — зто спектРальнаЯ плотность мощности шУма, и ее можно выРазить как мощность шума /(/, деленную на ширину полосы $К Поскольку время передачи бита и скорость передачи битов Ео взаимно обратны, Т, можно заменить на (Ио; Еь 3Ть 5Щ (3.29) с/о Еще одним параметром, часто используемым в цифровой связи, является скорость передачи данных в битах в секунду.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
