Скляр Б. Цифровая связь (2003) (1151859), страница 31
Текст из файла (страница 31)
В целях упрощения выражений, встречающихся в книге, для представления скорости передачи битов вместо записи Ео будем писать просто Е. С учетом сказанного перепишем, выражение (3.29) так, чтобы было явно видно, что отношение Ег/Л/о представляет собой отношение 5//У, нормированное на ширину полосы и скорость передачи битов: (3.30) Одной из важнейших метрик качества в системах цифровой связи является график зависимости вероятности появления ошибочного бита Р, от Ей/Уо. На рис.
З.б показан "водопадоподобный*' вид большинства подобных кРивых. ПРи Ег//Уо > «„Р, < Р,. Безразмерное отношение Ео/Л/о — зто стандартная качественная мера производительности систем цифровой связи, Следовательно, необходимое отношение Ег//оо можно рассматривать как метрику, позволяющую сравнивать качество различных систем; чем меньше требуемое отношение Ег/б/о, тем эффективнее процесс детектирования при данной вероятности ошибки. Рв /Но с«о, Рве/Ъ Ро со/Но «о Рис.
З.б. Общий вид зависимости Рв от Е~!/Ео 3.1.5. Почему отношение Е,/И, — ато естественный критерий качества У неспециалистов в области цифровой связи может возникнуть вопрос о полезности параметра Е///,. Отношение 5//у — это удобный критерий качества для аналоговых систем связи: числитель представляет меру мощности сигнала, которую желательно сохранить, а знаменатель — ухудшение вследствие электрических помех. Более того, отношение 5//У интуитивно воспринимается как мера качества. Итак, почему в цифровых системах связи мы не можем продолжать использовать отношение 5//У как критерий качества? Зачем для цифровых систем нужна другая метрика — отношение энергии бита к спектральной плотности мощности шума? Объяснению этого вопроса и посвящен данный раздел.
В разделе 1.2.4 мощностной сигнал определялся как сигнал с конечной средней мощностью и бесконечной энергией. Энергетический сигнал определялся как сигнал с нулевой средней мощностью и конечной энергией. Такая классификация полезна при сравнении аналоговых и цифровых сигналов. Аналоговый сигнал мы относим к мощностным сигналам.
Почему это имеет смысл? Об аналоговом сигнале можно думать как о сигнале, имеющем бесконечную длительность, который не требуется разграничивать во времени. Неограниченно длительный аналоговый сигнал содержит бесконечную энергию; следовательно, использование энергии — это не самый удобный способ описания характеристик такого сигнала. Значительно более удобным параметром для аналоговых волн является мощность (или скорость доставки энергии). В то же время в системах цифровой связи мы передаем (и принимаем) символы путем передачи некоторого сигнала в течение конечного промежутка времени, времени передачи символа Т,.
Сконцентрировав внимание на одном символе, видим, что мощность (усредненная по времени) стремится к нулю. Значит, для описания характеристик цифрового сигнала мощность не подходит. Для подобного сигнала нам нужна метрика, "достаточно хорошая" в пределах конечного промежутка времени.
Другими словами, энергия символа (мощность, проинтегрированная по Т) — это гораздо более удобный параметр описания цифровых сигналов. То, что цифровой сигнал лучше всего характеризует полученная им энерпи, еше не дает ответа на вопрос, почему Е~И, — это естественная метрика для цифровых систем, так что продолжим. Цифровой сигнал — это транспортное средство, представляющее цифровое сообгцение. Сообщение может содержать один бит (двоичное сообщение), два (четаеричное), ..., 10 бит (1024-ричное).
В аналоговых системах нет ничего подобного такой дискретной структуре сообщения. Аналоговый информационный источник — это бесконечно квантованная непрерывная волна. Для цифровых систем критерий качества должен позволять сравнивать одну систему с другой на битовом уровне. Следовательно, описывать цифровые сигналы в терминах 5/л/ практически бесполезно, поскольку сигнал может иметь однобитовое, 2-битовое или 10-битовое значение. Предположим, что для данной вероятности возникновения ошибки в цифровом двоичном сигнале требуемое отношение 5//Ч равно 20.
Будем считать, что понятия сигнала и его значения взаимозаменяемы. Поскольку двоичный сигнал имеет однобитовое значение, требуемое отношение 5//у на бит равно 20 единицам. Предположим, что наш сигнал является 1024-ричным, с теми же 20 единицами требуемого отношения 5//у. Теперь, поскольку сигнал имеет 10-битовое значение, требуемое отношение 5//у на один бит равно всего 2. Возникает вопрос: почему мы должны выполнять такую цепочку вычислений, чтобы найти метрику, представпяюцгую критерий качества? Почему бы сразу не выразить метрику через то, что нам действительно надо, — параметр, связанный с энергией на битовом уровне, Е~уе? 3.1.
Сигналы и шум 147 В заключение отметим, что поскольку отношение Я/У является безразмерным, таким же является и отношение Едйь Для проверки можно вычислить единицы измерения: Еь Джоуль Ватт-секунда Ме Ватт на герц Ватт-секунда 3.2. Детектирование двоичных сигналов в гауссовом шуме 3.2.1. Критерий максимального правдоподобия приема сигналов Критерий принятия решения, используемый в этапе 2 (рис. 3.1), описывался форму- лой (3.7) следующим образом: Н, г(Т) ~~ у.
Н, Популярный критерий выбора порога у для принятия двоичного решения в выражении (3.7) основан на минимизации вероятности ошибки. Вычисление этого мииимальиого значения ошибки у= т> начинается с записи связи отношения плотностей условных вероятностей и отношения априорных вероятносгей появления сигнала. Поскольку плотность условной вероятности Р(4гд также называется функцией лравдоподобия з„формулировка Н, РЯ г,) > Р(гг) Р(г 1 з2) „Р(з,) (3.31) г(г) (~ г Н, (3.32) где а, — сигнальный компонент гЩ при передаче з,(г), а а, — сигнальный компонент г(7) при передаче зг(г).
Порог уш представленный выражением (а, + аз)й, — это олшимальиый порог лля минимизации вероятности принятия неверного решения в этом важном частном случае. Описанный подход называется кршяерием минимальной ошибки. Для равновероятных сигналов оптимальный порог уш как показано на рис. 3.2, проходит через пересечение функций правдоподобия. Следовательно, нз формулы (3.32), видим, что этап принятия решения заключается в эффективном выборе ги- есть критериаи отношения функций правдоподобия (см. приложение Б). В этом неравенстве Р(п) и Р(п) являются априорными вероятностями передачи сигналов а(г) и п(г), а Н, и Н, — две возможные гипотезы. Правило минимизации вероятности ошибки (формула (3.31)) гласит, что если отношение функций правдоподобия больше отношения априорных вероятностей, то следует выбирать гипотезу Нь В разделе Б.3.1 показано, что при Р(гч) = Р(з,) и симметричных функциях правдоподобия р(г ~ а) (1 =1, 2) подстановка формул (3.5) и (3.6) в формулу (3.31) дает потезы, соответствующей сигналу с максимальным лравдолодобивм.
Пусть, например, значение выборки принятого сигнала равно с„(Т), а значения функций правдоподобия того, что с.(?) принадлежит к одному из двух классов «!(с) или «,(с), отличны от нуля. В этом случае критерий принятия решения можно рассматривать как сравнение функций правдоподобия р(с )«,) и р(с )«!). Более вероятное значение переданного сигнала соответствует наибольшей плотности вероятности. Другими словами, детектор выбирает «о(с), если (3.33) р(Ф ) >р(с.!«).
В противном случае детектор выбирает «с(с). Детектор, минимизирующий вероятность ошибки (для классов равновероятных сигналов), называется два!ели!ором максимальиого правдоподобия. Из рнс. 3.2 можно видеть, что выражение (3.33) — это "метод здравого смысла" принятия решения при наличии статистических знаний о классах. Имея на выходе детектора значение г,(Т), видим (рис. 3.2), что с„(Т) пересекается с графиком функции правдоподобия «,(с) в точке С! и с графиком функции правдоподобия «с(с) в точке С!. Какое наиболее разумное решение должен принять детектор? В описанном случае наиболее здравым является выбор класса «,В), имеющего большее правдоподобие.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
