Скляр Б. Цифровая связь (2003) (1151859), страница 246
Текст из файла (страница 246)
о.4. Нлотности условных веролтностей олл типичною овоичною провинила Следовательно, для упрошения выражения (Б. И) от его обеих частей можно взять на туральный логарифм, что даст логарифмическое отношение функций правдоподобия. 2 ! х(а, — а,) а, — а,' Р(е!) Цх) ! < !П Н2 (Б.12) Если классы равновероятны, то так что Н, ) а! а2 2 < 2(а, — а,) Н, а, +а! г< — =у о Н2 Для антиноднмх сигналоа е!(г) =-ез(г) и а, =-аь так что можем записать следуюшее: Н, г ~ ~О. Н! (Б.14) Следовательно, правило максимального правдоподобия для равновероятных антиподных сигналов заключается в сравнении принятой выборки с нулевым порогом, что равносиль но выбору г!(г), если выборка положительна, и выбору е,(г) — если она отрицательна В.3.2.
Вероятность битовой ошибки Для двоичного примера, приведенного в разделе Б.3.1, рассчитаем вероятность бито- вой ошибки Р, с помошью правила принятия решений из формулы (Б.13). Вероят- ность ошибки вычисляется путем суммирования вероятностей различных возможно- стей появления ошибки. Ре — — Р(Нз!е!)Р(г!) + Р(Н!!з!)Р(гз) (Б.15) Другими словами, при переданном сигнале г!(г) ошибка произойдет, если будет вы. брана гипотеза Н„или ошибка произойлет, если при переданном сигнале ез(г) булет выбрана гипотеза Нь Для частного случая симметричных функций плотности вероят- ности и для Р(х!) = Р(Н) = 0,5 можем записать следуюШее: Ре Р(Нз!з!) 1 (Н!н2) (Б.16) Вероятность ошибки Р, равна вероятности принятия неверной гипотезы Н, при переданном сигнале зз(г) или принятия неверной гипотезы Нз при переданном сигнале пО). Следовательно, Ре численно равна плошади под хвостом любой функции плотности верояпюсти р(Ф!) или р(4ез).
"заползаюшим" на неверную снюрону порога Таким образом, Р, мы можем вычислить, проинтегрировав р(г)г,) от до у или р(г(г,) от у, до Рв = ~Р(7!хз))те= та =(е аа ))2 = (.~-~-.(-.-:)'); (Б.17) Пусть г — аз и=— оо Тогда (та()и = ((г и (Б.!8) где Д(х), именуемая гаусеовым интегралом ошибок', протабулирована в табл. Б.1. г 1 ( и Таблица Б.З. Гауссов интеграл ошибок Д(х) = ~ — ехр~ — — ~ ((и Д(х) 0,08 0,09 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 Отметим, что гауссов интеграл ошибок определяется по-разному; впрочем, все определения, по сути, эквивалентны. 0,0 0,5000 0,4960 0,1 0,4602 0,4562 0,2 0,4207 0,4!68 0,3 0,3821 0,3783 0,4 0,3446 0,3409 0,5 0,3085 0,3050 0,6 0,2743 0,2709 0,7 0,2420 0,2389 0,8 0,2169 0,2090 0,9 0,1841 О,!814 1,0 О,!587 0,1562 1,! 0,1357 0,1335 1,2 0,115! 0,1131 1,3 0,0968 0,0951 1,4 0,0808 0,0793 1,5 0,0668 0,0655 1,6 0,0548 0,0537 1,7 0,0446 0,0436 1,8 0,0359 0,0351 0,4920 0,4880 0,4522 0,4483 0,4!29 0,4090 0,3745 0,3707 0,3372 0,3336 0,3015 0,2981 0,2676 0,2643 0,2358 0,2327 0,2061 0,2033 О,!788 0,1762 О,!539 0,1515 0,1314 0,1292 0,1112 О,!093 0,0934 0,0918 0,0778 0,0764 0,0643 0,0630 0,0526 0,05!6 0,0427 0,04!8 0,0344 0,0336 0,4840 0,4801 0,4443 0,4404 0,4052 0,4013 0,3669 0,3632 0,3300 0,3264 0,2946 0,2912 0,2611 0,2578 0,2296 0,2266 0,2005 О,!977 0,1736 О,!71! 0,1492 0,1469 0,1271 0,1251 0,1075 0„1056 0,0901 0,0885 0,0749 0,0735 0,0618 0,0606 0,0505 0,0495 0,0409 0,0401 0,0329 0,0322 0,4761 0,4721 0,4364 0,4325 0,3974 0,3936 0,3594 0,3557 0,3228 0,3192 0,2877 0,2843 0,2546 0,25!4 0,2236 0,2206 0,1949 0,1922 0,1685 О,!660 0,1446 О,!423 0,1230 0,1210 0,1038 О,!020 0,0869 0,0853 0,0721 0,0708 0,0594 0,0582 0,0485 0,0475 0,0392 0,0384 0,0314 0,0307 0,4681 0,464! 0,4286 0,4247 0,3897 0,3859 0,3520 0,3483 0,3156 0,3121 0,2810 0,2776 0,2483 0,2451 0,2168 0,2!48 О,!894 0,1867 0,1635 О,!6!! 0,1401 0,1379 0,1190 0,1!70 0,1003 0,0985 0,0838 0,0823 0,0694 0,0681 0,0571 0,0599 0,0465 0,0455 0,0375 0,0367 0,0301 0,0294 Оиолпалие лзабз.
Б.1 Д(х) х 0,00 0,01 0,02 0,03 0 04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 Еше одной часто используемой формой гауссова интеграла ошибок является следующая: ег(с(х) = — 3! ехр(-и ) с(и . г г ,Г;1 (Б.19) Функции Д(х) и ег(с(х) связаны следующим образом: ег(с(х) = 2Д(х Г2), (Б.20) 1 (х( д(х) = — ег(с~ — ~ . (Б.21) Литература 1. Чап Тиез Н 1.
Везесяол, сззблабол, алс( Мобибзиол 77иозу. Рап 1, тобп !тнеу ет зопз. Мс., !Чеза тоги, 1968. 2. Рароа!Н А. РгобаЬГ!угу, лале(от РалаЫез, алс( Бзосйазззс Рзосеззез. Мсотал-НИ Воок Согорапу, Мел тоги, 1965. 1,9 0,0287 0,0281 2,0 0,0228 0,0222 2,1 0,0179 0,0174 2,2 0,0139 0,0136 2,3 0,0107 0,0104 2,4 0,0082 0,0080 2,5 0,0062 0,0060 2,6 0,0047 0,0045 2,7 0,0035 0,0034 2,8 0,0026 0,0025 2,9 0,0019 0,0018 3,0 0,0013 0,0013 3,1 0,0010 0,0009 3,2 0,0007 0,0007 3,3 0,0005 0,0005 3,4 0,0003 0,0003 0,0274 0,0268 0,0217 0,0212 0,0170 0,0166 0,0132 0,0129 0,0102 0,0099 0,0078 0,0075 0,0059 0,0057 0,0044 0,0043 0,0033 0,0032 0,0024 0,0023 0,0018 0,0017 0,0013 0,0012 0,0009 0,0008 0,0006 0,0006 0,0005 0,0004 0,0003 0,0003 0,0262 0,0256 0,0207 0,0202 0,0162 0,0158 0,0125 0,0122 0,0096 0,0094 0,0073 0,0071 0,0055 0,0054 0,0041 0,0040 0,0031 0,0030 0,0023 0,0022 0,0016 0,0016 0,0012 0,0011 0,0008 0,0008 0,0006 0,0006 0,0004 0,0004 0,0003 0,0003 0,0250 0,0244 0,0197 0,0192 0,154 0,0150 0,01 19 0,01!6 0,0091 0,0089 0,0069 0,0068 0,0052 0,0051 0,0039 0,0038 0,0029 0,0028 0,0021 0,0021 0,0015 0,0015 0,0011 0,0011 О,ООО8 О,ООО8 0,0006 0,0005 0,0004 0,0004 0,0003 0,0003 0,0239 0,0233 0,0188 0,0183 0,0146 0,0143 0,0113 0,0110 0,0087 0,0084 0,0066 0,0064 0,0049 0,0048 0,0037 0,0036 0,0027 0,0026 0,0020 0,0019 0,0014 0,0014 0,0010 0,0010 0,0007 0,0007 0,0005 0,0005 0,0004 0,0003 0,0003 0,0002 Поскольку л(г) — это процесс с нулевым средним, Е(и(г)» =О.
Отсюда следует (В.б) (В.7) и2--Е(л»=0. Автокорреляционная функция процесса л(Г) Равна слелуюшемУ: (В.8) Я„(П з) = Е(и(Г)л(з)». Если шум и(Г) предполагать стационарным, то Я„(Ь з) зависит только от разности вре- мен т = 2- з. Из уравнения (В.5) получаем следующее: тт о г кот(л»= ~~Я„(т)8Г (г)ц (з)йзйз. (В.9) оо Для стационарного случайного процесса спектральная плотность мощности С„(Г) и ав- токорреляционная функция К„(т) являются Фурье-образами друг друга.
Таким обра- зом, можем записать следующее: Н„(т) = »б„(Г)е ми ~ф'. (В.10) й (т)= 21 — е П4Г= — б(т), Г ~0 зм 1уо ) г 2 (В.11) где б(е) — единичная импульсная функция, определенная в разделе А.4.1. Подставляя выражение (В 11) в (В.9), получаем следующее: т т о у = — » ) б(Г - з)2у)(г)Чу 1(з) й Гв = 2 )Чо Г (В.12) о о т = — 21чс (Г)й= — 7'=1, ...,М. )Уо Г 2 )Уо 2 2 2 о (В.13) Здесь было использовано филыируюл(ее свойство единичной импульсной функции (см. раздел А4.1) и то, что функции (у(2)», /= 1, ..., о(, составляют ортонормированное множество. Таким образом, для белого гауссова шума с двусторонней спектральной плотностью мощности )УОГ2 Вт/Гц, мощность шУма на выходе каждого из М коРРелаторов равна МОГ2 Вт.
Поскольку и(2) — это белый шум, его спектральная плотность мощности О„(Г) равна )УОП для всех Г, и предыдущее выражение можно переписать следующим образом: ПРИЛОЖЕНИЕ Г соз х соз у = г соз (х+ у) + 2 сов (х — у) яп х яп у = — — сов (х + у) + — соз (х — у) ! 1 з!и х соз у = -'яп (х + у) + 2г яп (х — у) соз х яп у = г! з!и (х + у) - г! яп (х — у) яп (х+ у) = яп х соз у х соз х яп у соз(х+ у) =созхсоз уТяпхяп у соз х —.! (14-0052х) (г.ц (г.2) (Г.З) (г.а) (Г.5) (Г.б) (Г.7) 5!п х = -(1 — с052х) г (г.з) 51П Х С05 Х = — 51П 2Х ! г яп х+в(п у=2 яп ! (х+у) сов 1(х — у) яп к — яп у = 2 соз г (х + у) яп гс(х — у) соз х+ соз у = 2 сов г(х + у) соз -(х — у) сов х — соз у = — 2 51 и -'.
(х + у) яп гг (х — у) (Г.9) (Г.10) (Г.11) (Г.12) (Г.13) е -е'" япх= 2! (Г.14) е +е С05 Х = 2 (Г.15) Р.е-~,() ' - = — - 1' ' 1=г (Г.16) Полезные соотношения Доказаглельство l =3. л! (и — 1) 1 ~л — 1 =л =л ,О,З(л — !)! (У вЂ” 1)!(и — Я1 (1 — 1)1((и — 1) — Π— 1))1 О— и г (л — й и Гл — 11 Ра=р~~. )Г)(1-р)" ' =Г~~. ) ' (1-р)М 1-1 1-1 у=г )=г Замена 1= (у- 1) Таким образом (у = 2) переходит в (1 = 1), а ((' = л) — в (1 = и — 1). ь-1 Ги — 1) ° = 2.~,)р'" ю' г=! О =И1-(1-Р)" '= =)г Ф1 Г) Ппило~~~миа Г Пипл идно лллтнлшлниа толи ПРИЛОЖЕНИЕ Д ю-область, 2-область и цифровая фильтрация Роберт Стюарт (Вобегг )К Бгеггагг) Отдел электроники и электротехники Университет Стратклайда, Глазго„Шотландия, Великобритания В формулах (А.26) и (А.27) приложения А были определены прямое и обратное преобразования Фурье.
Хотя преобразования Фурье и полезны для стационарного частотного анализа системы, они не всегда подходят для анализа переходных процессов. Для некоторых функций не существует интеграла Фурье, тогда как существует Лаплас-образ, рассматриваемый в данном приложении. Следовательно, для более глубокого анализа линейной системы часто выбирается именно преобразование Лапласа.
Используя определения преобразований Фурье и Лапласа, легко показать, что последнее является расширением первого. Если анализируемая система — это система дискретного, а не непрерывного времени, можно использовать более простое (с точки зрения записи) х-преобразование (дискретное преобразование Лапласа), выводимое непосредственно из преобразования Лапласа.
Еще одной причиной применения преобразования Лапласа (для анализа систем непрерывного времени) и г-преобразования (для анализа систем дискретного времени) является то, что операции, громоздкие во временной области (напрнмер, свертка), могут легче выполняться в з- нли г-области. Таким образом, в данном приложении рассматривается преобразование Лапласа, дискретное преобразование Лапласа и дискретное частотное преобразование, после чего описываются распространенные цифровые фильтры и представляется литература по названным преобразованиям. Д.1. Преобразование Лапласа Напомним преобразование Фурье, приведенное в формуле (А.26) приложения А.
Х(Г)= ~х(г)е "Рй или Х(с»)= ~х(г)е ' "дг, (Д.1) р(оэ) = )е(г)е '~аз = ~х(г)е ~е '~аг = ~х(г)е ~~ ' зсег, (Д.2) Таким образом, можно переписать формулу (Д.1). Х(о-ь)г») = ~х(г)е щ"""дг Пусть з — комплексная частота, в= о+ )г», тогда Фурье-образ временного сигнала х(г) можно определить следующим образом: Х(х) = ~х(г)е исае, (Д.4) где з — переменная Лапласа.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
