Скляр Б. Цифровая связь (2003) (1151859), страница 247
Текст из файла (страница 247)
Перепишем обратное преобразование Фурье, приведен- ное в формуле (А.27), через угловую частоту со = 2ф', тогда Иозй(Г"= 2л и х(г) = ~Х(оз)е' нв дг» 2л (Д.5) Поскольку з = о+ и», из этого следует, что еЬгдг»= б и мы можем определить обратное преобразование Лапласа следующим образом: х(г) = — зьХ(з)е сЬ. г 2л) (Д.б) Формулы (Д.4) и (Д.б) представляют пару преобразований Лапласа (х(е) с->Х(х)], или, более точно, пару двусторонних преобразований Лап»оса.
Если (разумно) предположить, что до момента г = 0 сигнал не существует (т.е. является причинным), то преобразова- ние можно назвать односторонним, что записывается следующим образом: Х(з) = ~х(г)е '~аг. о (Д.7) Ппиоожоиио Л ч-обо»ать х-область и ииФоовая фильтоация где оз = 2лг". Определим новую функцию е(г), равную х(г), умноженному на е ~', где и — вещественное число, т.е.
е(г) =х(г)е '. Фурье-образ функции е(г) будет выглядеть следующим образом: Обратное одностороннее преобразование Лапласа аналогично преобразованию, приведенному в формуле (Д.б). Таким образом, формулы (Д.б) и (ДЛ) можно называть парой односторонних преобразований Лапласа. Д.1.1. Стандартное преобразование Лапласа В табл. Д.1 приведены некоторые стандартные односторонние преобразования Лапласа. Отметим, что (двустороннее) преобразование Лапласа, приведенное в формуле (Д.4), идентично преобразованию Фурье, приведенному в формуле (А.2б), при л=(ю, где со = ар.
Для получения Лаплас-образа х(г) умножается на "множитель сходимости" е где о — любое вещественное число. Таким образом, при фактическом вычислении значений интегралов преобразование Лапласа может существовать для многих функций, для которых отсутствует соответствующее преобразование Фурье. Одним из ключевых преимуществ преобразования Лапласа является возможность преобразования функций, не являющихся абсолютно интегрируемыми. Таблица Д.1. Преобразования Лапласа Тип сигнала Временная функция Лаплас-образ Импульс б(г) и(г) Единичная ступенчатая функция (Хевисаяда) Линейно растущая функция ги(г) Экспонеициальные фУнкции ир) 1 л-а ге"и(г) 1 (- )з Синусоида нп(ол)и(г) ( з„юз) Косииусоида соз(ох) и(г) (л~ + ге~) Затухающая синусоида в"з! п(оя) и(г) (л-а) +со (л — а) Затухающая косинусоида в соз(ол)и(г) (л — а) +ю Д.1.2.
Свойства преобразования Лапласа Можно показать, что если известна пара преобразований Лапласа у(г) с-+ Г(л), то лля запаздываюшей версии сигнала, которая записывается как у(г — г,), справелливо следующее: 1069 Д.1. Преобразование Лапласа Данное свойство называется свойством смещенкя во времени. Другие свойства преобразования Лапласа приведены в табл. Д.2.
Их справедливость можно проверить путем простой подстановки в интегральное выражение, описывающее соответствующее преобразование. Отметим, что соотношение с = йо между преобразованиями Фурье и Лапласа означает, что существует простой эквивалентный переход между преобразованиями, приведенными в табл. Д.1 и А.1, и свойствами, указаннымк в табл. Д.2 и А.2. Лавлае-обрез Своаегео Произвольная функция Временная фуякцвя Произвольная функция Линейность Сдвиг во времени (т > О) Масштабирование времени Модуляция Дифференцирование е '4с) Х(с — а) еХ(с) — 40) Нх~~) с/с Интегрирование Х(с) ! ~ х(т) аст Свертка Х(с) У(с) х(с) е у(с) Преобразования Лапласа полезны, когда требуется решать дифференциальные (по времени) уравнения или выполнять операцию свертки.
Например, для нахождения тока /(с) простой КС-цепи, показанной на рис. Д.1, отметим, что сумма напряженкй на конденсаторе и сопротивлении равна входному напряженкю. г (с) = /(с)К + — = !(с)К + — )ю(с) с/с С С о Если входное напряжение — это единичная ступенчатая функция, г (с) = и(с), а с/ — за- ряд конденсатора (в кулонах), то, применяя к обеим частям формулы (Д.9) преобразо- вание Лапласа и используя табл. Д.1 и Д.2, получаем следующее; )1„(с) = К!(х) + — откуда следует !(х) = !(с) Ъ'ь(с) 1/К Я.10) сС К+1/(сС) с+ 1/(КС) Плиложаииа П.
я-область т-область и цифоовая сбильтоация сото Таблица Д.2. Свойства преобразования Лапласа 4/) у(с) ах(с) + Ьу(с) х(с — т) х!а/) Д.1.3. Использование преобразования Лапласа Х(х) у(с) аХ(с) + ЬУ(с) е "Х(с) О) а) О, 1 Ззьв Ззлв 1 0)зла 1 00)злв 1 ООО)за !ОлГц) в] Рис. Д 1. ))слользование преобразования )(амоса: а) ЛС- контур; б) представление с ломая)ио ореобразовтзия Палласа) в) аинлитудная характеристика (Для единичной ступенчатой функции )з (з) = 1бь) Затем, возвращаясь во временную область (н снова нспользуя таблицы свойств преобразования Лапласа), получаем следующее: з(з) = — е -и яс )1 (Д,11) Д.1.4.
Передаточная функция С помощью преобразования Лапласа можно определить (через переменную з) переда- точную функцию линейной системы. Из уравнения (Д.10) прн нулевом сопротнвле- нин л = 0 нмпеданс конденсатора можно вычнслнть следующим образом: )с, (з) 1 1(л) зС (Д.12) Входное н выходное напряжения (в з.областн) можно записать следующим образом: Ъм(з) =1(з)й+ — н у~,(з) = —, 1(л) 1(з) (Д.13) Таким образом, (в з.областн) передаточную функцию можно определить следующим образом: Д.14) 1 О71 Д.1. ПРеобразование Лапласа лз) о — ))М вЂ” ь -~ — о чн(0 С в (О о ~а -1О -20 -зо сь Щ о во 1(в) Π— )МЬ вЂ” ь — ~ — О и,(в) Д.1.5. Фильтрация нижних частота ВС-цепи Пусть на вход ЯС-цепи подается комплексная синусоида ч (г) = е' .
Используя сказанное выше, можем перейти к преобразованию Фурье, положив з = /оз, где аз = 2я6 Таким обра- зом, из передаточной функции можно получить частотную характеристику цепи. ои (./) 1 1 1 -Лагсфсз/ясп ч. о кс+» ззс+~,Я~~Г,,' (Д.15) Д.1.6. Полюсы и нули Линейные системы, а следовательно и (линейные) аналоговые фильтры, можно пред- ставить дифференциальными уравнениями во временной области. Рассмотрим, на- пример, следующее уравнение второго порядка. у(с)=А — + — +Сх(г)+О, +Š—.
В х(/) /х(г) В~у(/) Ву(/) ,//2 а В/" 'В/ (Ддб) Реализация дифференцирования и/или интегрирования различных порядков происходит с использованием емкостей и индуктивностей вместе с усилителями с обратной связью, имеющими нужный порядок [2). Применяя преобразование Лапласа к обеим частям уравнения (Д.16), получаем более удобное (с точки зрения математики и формы записи) уравнение Лапласа. у(з) = Аз~Х(з) + ВзХ(з) + СХ(з) + Рз~у(з) + Ез у(з) Передаточная функция записывается в следующем виде: (Д.17) Н(з) = у(з) Аз~ + Вз+ С А(з- ас)(з - а, ) =Х(.)- и, В„~--В(з-'ЬсХз-Ь) (Д.18) Корни числителя (аь а,) называются иуляии, а корни знаменателя (Ь,, Ь,) — полюсами. Отметим, что если А, В и С вЂ” вещественны, нули (аь а,) являются комплексно- сопряженными.
Д.1.7. Устойчивость линейных систем Рассмотрим однополюсное уравнение, соответствующее некоторой линейной системе. 1 Н(з) =— з — с (Д.19) Импульсную характеристику данной системы можно (используя табл. Д.1) найти как обратное преобразование Лапласа выражения (Д.19); если с=р+/Ч, то импульсная характеристика выглядит следующим образом: Приложение Д. в-область. х-область и ииаооаая езильтояпия 1072 Для малых значений / )Н(/)) = 1; а для больших значений у )Н(/)! О.
Если /=уз= 1/(2кЯС), то )НЯ = 1/з/2 . Отметим, что 20 18(1/з/2) = — 3 дБ; следовательно, /з — зто частота по уровню -3 дБ,' когда выходная мощность вдвое меньше входной. Следовательно, формула(Д.15) задает тот же фильтр нижних частот, что и формула (1.63). Низкие частоты проходят через фильтр, а высокие — подавяякпся; данная ситуация показана на рис. Д.1, в. Ь(Г) = е = ео ег". (Д.20) Видим, что Ве[о) = р; если р > О, импульсная характеристика расходится с увеличением г (времени). В то же время, если р < О, импульсная характеристика сходится с увеличением г.
член еьз — это комплексная (осциллируюшая) синусоида (см. раздел А.2.1). Используя формулировку, несколько отличающуюся от применяемых ранее, можно сказать, что система устойчива, если нее лолюеа е з-области имеют отрицательную действительную часть. Таким образом, если изобразить полюса на комплексной з-плоскости, все они должны располагаться в ее левой части. На рис. Д.2 показана область устойчивости и приведен пример устойчивой передаточной функции третьего порядка, все полюса которой попадают в левую часть комплексной з-плоскости, т.е. имеют отрицательную действительную часть. Отметим, что нули функции могут быть в левой или правой части з-плоскости, и это не влияет на устойчивость.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
