Скляр Б. Цифровая связь (2003) (1151859), страница 244
Текст из файла (страница 244)
Понложенне А. Обзор анализа Фурье А.6.2. Свертка по времени Если х)(г) е-+ Х~ ф н хг(г) +-> Хгф, то х (г) * ха(г) = ~х,(т)х~(г - т) дт 3(х,(г)ьхз(г))= ~ ~х,(т)хз(г — т)дге сй Для линейных систем порядок интегрирования можно изменить. Я(х,(г) *ха(г)) = ~х,(т)Ж ~хз(г — т)е сй (А.46) В соответствии со свойсеном сдвиги но времени второе интегральное выражение правой части можно заменить на Хз(7')е Ях,(г): хг(гН = Х,Ч) ~х,(т)г '""дт = = Х,фХгф (А.47) Следовательно, операцию свгргнни во временной области можно заменить умножением в частотной области.
А.В.З. Свертка по частоте Можно показать, что, вследствие симметрии пары преобразований Фурье (формулы (А2б) и (А.27)), умножение во временной области переходит в свертку а частотной области. хгфх,(г) +-э Х,ф * Х,ф (А.48) Данная замена умножения в одной области сверткой а другой весьма удобен, поскольку, как правило, одну из этих операций выполнить значительно проше, чем другую. Например, ранее говорилось, что Хевисайд использовал свертку для определения тока на выходе линейной системы при подаче на вход произвольного переменного напряжения.
Подобные методы часто включают вычисление (иногда трудоемкое) свертки входного сигнала с импульсной характеристикой системы. Поскольку, как вилно из формулы (А47), свертка ао временной области заменяется умножением в частотной, для линейной системы спектр входного сигнала можно просто умножить А.б.
Свеотка Значение интеграла свертки в момент времени г =б получается из формулы (А.44), в которой положено г = гь Это просто плошадь под кривой произведения т(т) на Ь(г, — т), показанного на рис. А.12, г. Подобным образом интеграл свертки. взятый а момент г = г„равен заштрихованной плошади на рис. А.12, д. На рис. А.12, г приведен график отклика на выходе схемы при квадратном импульсе на входе, показанном на рис. А.12, о. Каждое вычисление интеграла свертки для некоторого момента времени б дает одну точку Кг,) графика на рис, А.12, е.
на передаточную функцию системы. Выходной сигнал затем получается путем приме- нения к произведению обратного преобразования Фурье. 1(г)=3 (РАНЯ) (А.49) Вычислить выражение (А.49) часто намного проще, чем (А45). В то же время, при определенных обстоятельствах, операция свертки настолько проста, что ее можно выполнить графически, просто внимательно изучив соответствующий график Предположим, что некоторый произвольный сипел необходимо умножить на косинусоилу фиксированной частоты, например несущую (если речь идет о модуляции).
С помощью формулы (А.48) спектр произвольного сигнала можно свернуть со спектром косинусоиды, 'по, как показывается в следукнцем разделе, выполняется довольно просто. А.5.4. Свертка функции с единичным импульсом При использовании свойства, представленного в формуле (А.47), очевидно, что если х(г) с-+ Х()) б(г) х-ь 1, х(Г) * б(Г) +-э Х(Г). (А50) Также должно быть очевидно, что х(г) * 6(г) = х(г) (А.51) и Х(Г) ь бф = Х(Г). (А.52) Следовательно, можно сделать вывод, что свертка функции с единичным импульсом дает исходную функцию.
Простое развитие формулы (А.52) дает следующее: (А.53) На рис. А13 показано, насколько просто производится свертка спектра произвольного сигнала со спектром косинусоиды. На рис. А. 13, а представлен спектр Хф произвольного узкополосного сигнала. На рис.
А.13, б показан спектр у(7) = б(г" — $) + б0+~~) = в(2 соз 2гу;г). Выход 2(7) = Х(Г) ь у()) на рис. А.13, в получается при свертке спектра сигнала с импульсной функцией У()), согласно формуле(А.53), где импульсы действуют как стробирующие функции. Следовательно, в данном простом примере свертку можно выполнить графически, протягивая сгробирующие импульсы через спектр сигнала Умножение на импульсные функции на каждом шаге протягивания прижяит к повторению спектра сигнала. Результат, показанный на рис. А13, в, — это версия исходного спектра Х(г), смещенная к месторасположению импульсных функций, изображенных на рис.
А13, б. А.5.5. Применение свертки при демодуляции В разделе А.5.4 рассматривался сигнал, умноженный на 2 соз 2к(ог. Было показано, как в частотной области выглядит свертка спектра сигнала со спектром косинусоиды. В паннам разделе рассматривается обратный процесс. Необходимо демодулнровать сигнал, умноженный на 2соз2лг;г (сигнал нужно восстановить в его изначальном диапазоне частот). пп па ю иа ь гтлплп яилпиал Фнпр чола о у(л / /о / /о б) в) Рис. А.13, сеертко спектра сигнала со спектром косинусонды / О /о а) -/о О /и б) х(л = е(0 * у(/) / 2/о -2/о в) Рис. А. 14. Применение демодуллцни Использование формул (А.52) и (А.53) позволяет записать слелуюшее: (А.54) г((У 1о) и б(У-1/) = ХЧ Уо 1/) ои / На рис.
А.)4, а представлен спектр, Щ, сигнала, смешенного вверх по частоте. Можно демодулировать данный смещенный сигнал и восстановить исходный сигнал, умножив данный сигнал на 2 соз 2куо/. Вместо этого мы можем проиллюстрировать процесс детектирования в частотной области, свернув Щ со спектром несущей, У(/) = Ь(('-Я+ Ь(1+ ~~), показанным на рис. А)4, б. Р(Х-Хо) + 2(Х+Хо)) * (б(Х-Хо) + б(Х+Хо)) = = Ю-Хо) о б(Х- Хо)+ 2(Х-Хо) * б(Х+Хо) + + 2(Х+Хо) * б(Х-Хо) + 2(Х+ Хо) " б(Х+ Хо) = = 27()) + 2(Х- 2Хо) + 7(Х+ 2Хо) (А.55) Отметим, что результат — это спектр в исходной полосе сигнала плюс высокочастот- ные составляющие„связанные с высокочастотными компонентами. Данный результат типичен для процесса детектирования; высокочастотные составляющие отфильтровы- ваются и отбрасываются, оставляя спектр демодулированного исходного сигнала.
А.6. Таблицы фурье-образов и свойств преобразования Фурье В табл. А.! и А.2 приведены Фурье-образы наиболее часто встречающихся функций и некоторые свойства преобразования Фурье. таблица А.1. Фурье-образы х(О Х(Х) !. б(г) 2. 1 б(Х) 1 — (б(Х вЂ” Хо) + б(Х+ Хо)) 2 3. соз 2кХог 1 — (б(Х - Х,) - б(Х+ Х,)) 4. зш 2кХог 5. б(г- г,) (2о8Дс) 7.
е( "8!), а > 0 8. 8[- ( — ) ,(2хО88) б(Х-Хо) 2а а +(2кХ) Т ох р(-к(ХТ)8) 1 при) >0 9. и(г) = 0 при(«0 1 1 — б(Х)+— 2 2к)Х 1 а+ 2к(Х !О. ехр( — аг) и((), а > О П оиложенне А. Обзоо анализа Фурье о лал Следовательно, результат демодуляции Х(г) = 2Щ о У(Х) получаем в результате применения формулы (А.54).
получающийся спектр сигнала — это спектр в исходной полосе плюс компоненты, центрированные на частотах ~2Хо, как показано на рис. А.14, в. Как и в предыдущем разделе, свертку можно выполнить графически. На рис. А.14, в отображены следующие результирующие составляющие: Окончание табл. А.1 х(г) ! 1. Г ЕХр(-аГ) и(Г), а н О 12. гесс( — ) (гЛ 13. сов 2кТвг гесг~ — ~ 14. Игз1пс Игг (а+ 2к(Т) Т з1псТ Т Т вЂ” (з1пс(Т" — Те)Т+ з(пс(Т + Тв)Т) 2 гесг ( — ) !г! 15 Т 1- — при 11!< Т О при11)> Т Т51пс з" Т 1б. '5 б(г —.Т,) Таблица А.2. Свойства преобразования Фурье Действие х(Л вЂ” Х( — ) 1 (а~ а х(аг) 1, Изменение масштаба Х( г)езк~рч ху'-А) х( -ге) х(г)е 2.
Сдвиг во времени 3. Сдвиг по частоте Н"х г(г" (2к()) чХ()) 4. Дифференпирование по времени 5. Дифференпирование по частоте (-2к(г)"х(г) ~х(т)М вЂ” ХЦ) + — Х(0)Ь(Т) 1 1 2к(Т 2 6. Интегрирование по времени 7. Сверпга по времени 8. Свертка по частоте Х!(~)Хз(') Х~()) е Хз(1) х,(г) * хз(г) х,(т)хз(г) .ч пас Лримечание: гесг ())2И) = 1 для -Иг< Т< И'и опля у) > И', з(ос х = (з(п кх)lкх. ПРИЛОЖЕНИЕ Б Основы теории принятия статистических решений Б.1. Теорема Байеса Математические основы проверки гипотез базируются на теореме Байеса, которая следует из определения отношения между условной вероятностью и совместной веро- ятностью случайных переменных А и В. Р(А[В)Р(В) = Р(В[А)Р(А) = Р(А, В) Теорема формулируется следуюшим образом: (Б.1) Р(В[ А) Р(А) Р(В) (Б.2) Теорема Байеса позволяет выводить условную вероятносп Р(А[В) из условной вероят- ности Р(В)А).
Основными элементами задачи статистического принятия решений являются (1) набор гипотез, описывающих возможные истинные состояния природы, (2) тест, дающий данные, из которых мы можем сделать логический вывод, (3) правило принятия решения, применяемое к данным и определяющее, какая гипотеза наилучшим образом описывает состояние природы, и (4) критерий оптимальности. Все они рассматриваются ниже. Кригаерий олтимальвосяи для правила принятия решения выбирается так, чтобы минимизировать вероятность принятия ошибочного решения, хотя возможны и другие критерии [Ц. Предмет теории принятия статистических решений и проверки гипотез основывается на математической дисциплине теория вероятностей и случайных переиеявмх.
Предполагается, что читатель знаком с этим; в противном случае рекомендуется работа [2). Б.1.1. Дискретная форма теоремы Байеса Теорему Байсса можно записать в дискретной форме следующим образом: Р(х ~!л,) Р(г,) Р(л,а ) = ! = 1, ..., М Р(х> ) (Б.З) где Р(х ) =~ Р(зу)л;)Р(ц) . Пример Б.1. Использование (дискретной формы) теоремы Байеса Имеется два ящика деталей. Ящик ! содержит !000 деталей, 10% из которых неисправны, а ящик 2 — 2000 деталей, из которых неисправными являются 5%. Если в результате случайного выбора ящика и детали из нею деталь оказывается исправной, то чему равна вероятность того, что данная деталь взята из ящика 1? Решемие Р(ИД~ ящик 1) Р(ящик 1) Р(ящик 1)ИД) = Р(ИД) где ИД означает "исправная деталь'*.
Р(ИД) = Р(ИД!ящик 1)Р(ящик 1) + Р(ИД!ящик 2)Р(ящик 2) = = (0,90)(0,5) + (0,95)(0,5) = = 0,450+ 0,475 = 0,925 Р(ящик 1) ИД) = ' = 0,486 0,450 0,925 До эксперимента априорные вероятности выбора ящика 1 или 2 равны. После получения исправной детали вычисления, проведенные согласно теореме Байеса, могут рассматриваться как способ "точной подстройки" нашего представления о том, что Р(ящик 1) = 0,5, в результате которой возникает апостериорная вероятность 0,486.
Теорема Байеса — это просто формализапия злравого смысла. Если была получена исправная деталь, то не кажется ли вам В приложениях связи с — это !'-й класс сигнала из набора М классов, а й — р'-я выборка принятого сигнала, Уравнение (Б,З) можно рассматривать как описание эксперимента, в котором задействована принятая выборка и некоторые статистические знания о классах сигнала, к которым может принадлежать эта принятая выборка.
До эксперимента вероятность появления 1-го класса сигнала Р(л,) называется априормвй. В результате изучения конкретной принятой выборки х, из плотности условной вероятности Р(г!й) можно найти статистическую меру правдоподобия принадлежности х~ к классу з,. После эксперимента можно вычислить апосщериормую вероящмосгвь Р(ф,), которую можно рассматривать как "уточнение" наших априорных знаний.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
