Скляр Б. Цифровая связь (2003) (1151859), страница 242
Текст из файла (страница 242)
Например, лля вычисления козффициента а, обе части формулы (А.1) можно умножить на соь ЗЛ«(Л, а затем проинтегрировать. 1 г аз = — ~х(Х) созЗХ!О -и Полученный вывод можно обобщить. и 1 г аи = — ~ х(3.) соз л)и !оь -и (А.5) и 1 г Ьи = — ~х(Х) яви)ь~й, (А.б) Коэффициент а, находится из (А.5) при л = О. В результате получаем 1 г — ае = — ~«(3.) и0.. 2л (А.7) Данное выражение — это постоянная составляю!цая, или среднее значение периодиче- ского сигнала.
Уравнение (А.1) можно записать в более компактной форме. «(Л) = зле+ ) (аиссзлХ+Ьияпл)!) и=! (А.8) Существует несколько способов записи пары преобразований (анализа и синтеза) Фурье. Наиболее распространенная форма — это выражение синуса и косинуса в экспоненциальном виде: юЛ -~Л созХ= 2 (А.9) д -л яви= 2! (А.10) х(!) = — ~+- и [(а -!Ь )еляиг" +(а +й! )е ™г~) и=! (А.11) Обозначим через си комплексные коэффициенты, или спектральные компоненты «(0, связанные с коэффициентами аи и Ь„следующим образом: толя А.2. Применение методов Фурье к анализу линейных систем Периодическая функция с периодом Т, секунд имеет следующие частотные компоненты — 4, 24, Зуи, ..., где Ти = ПТв называется собственной нас«наглой.
Иногда частотныь компоненты записывают как гаь 2еги, Зехь ..., где ол! = 2я/Ти именуется собственной угловой частотой; частота Гизмеряется в герцах, частота о! — в радианах в секунду. Заменим п)ь в аргументах гармонических функций в формулах (А.5)-(А.8) на 2ллГиг = 2ллйТь где п — целое. При л = 1, лГи представляет собственную частоту, а при л > 1 — гармоники собственной частоты. Используя формулы (А.8)-(А.10), можно записать х(!) в экспоненциальной форме. (А.12) Теперь формулу (А!1) можно упростить.
х(г)= ) с„е (А.13) Здесь амплитуды экспоненциальных гармоник определяются следующим образом: (А. 14) Для проверки справедливости формулы (А.14) умножим обе части выражения (А.13) на ег""~~гйгТе, проинтегрируем на интервале (-Т,Г2,Т,г2) и используем следующую формулу: (А.15) Здесь б называется дельта-(Ьумкяией лронекера. После выполнения указанных действий получаем тога — ~х(г)е" ~"ггг= ~~) с б =с Т е ООФ е 0 т,п Ю=- (А.1б) лля всех целых лг.
В общем случае коэффициент с„— комплексное число, которое можно записать следующим образом: (А.17) (А.18) где фД+ Ьа (А.19) (А.20) Ье=О и Значение )с„~ — амплитуда и-й гармоники периодического сигнала, так что график зависимости Д от частоты, называемый амплитудным слекягром, дает амплитуду каждой тпвл тга о 2~-(л„- )Ь„) при л > 0 — прил=О. ле 2 -г-(а„+ гЬ„) при л < 0 тмг с„= — аг х(с)е тггг .
1 Г а Г -т,га с„ = !с„!еге", с „ = )с„)е ( Ь„') О„= агсгй — — "), а„) ь- е.: Приложение А. Обзор анализа Фурье из л дискретных гармоник сигнала. Подобным образом график зависимости О„от частоты, именуемой фазовым слскглром, дает фазу каждой гармоники сигнала. Коэффициенты Фурье вещественной периодической по времени функции обладают следующим свойством: с „=с„ (А.21) где с„' — комплексно сопряженное с„. Таким образом, получаем следующее: ~с )=~со) (А.22) Амплитудный спектр является четной функцией частоты.
Подобным образом фазовый спектр ΄— это нечетная функция частоты, поскольку из формулы (А.20) следует, что (А.23) Итак, как отмечалось выше, ряды Фурье особенно полезны при описании произвольных периодических сигналов с конечной энергией каждого периода. Кроме того, они могут использоваться для описания непериодических сигналов, имеющих конечную энергию на конечном интерваяс. Впрочем, для таких сигналов более удобным является представление в виде интеграла Фурье (см. раздел А.2.3). А.2.2.
Спектр последовательности импульсов АТ йп(клТ/То) АТ лТ сп = = — япс —. То коТ/То То То (А.24) ьо(г) -Т/2 Т/2 Рис. А.З. Последовательность имнульсов В данном выражении о)п(яу) мясу = ку Функция о)пс, как показано на рис. А.4, достигает максимума (единицы) при у=О и стремится к нулю при у-ь+, осциллируя с постепенно уменьшающейся амплитулой. Через нуль она проходит в точках у = 21, +2, .... На рис. А.5, а как функция от- А.2.
Применение методов Фурье к анализу линейных систем вони В цифровой связи весьма важным сигналом является идеальная периодическая последовательность прямоугольных импульсов, показанная на рис. А.З. Для коэффициентов ряда Фурье последовательности импульсов хв(г) с периодом Т, (кахщый импульс имеет амплитуду А и длительность Т) справедливо следующее выражение (провернть спра. ведливость можно с помощью формул (А.14) и (А.10)): ношения иТТь показан амплитудный спектр последовательности импульсов Д„а на рис. А.5, б изображен фазовый спектр 9„.
Следует отметить, что положительные и отрицательные частоты двустороннего спектра — это весьма полезный способ математического выражения спектра; очевидно, что в лабораторных условиях воспроизвести можно только положительные частоты. в|осу Рис. А.4. Функция ьас !о! а/Та -зтт -г(т -пт о ! ~ 1тт г!т з!т ~ ~-1гть а) е„ нlто е~ Рис. А.5. Спектр носледовательности имнульсов: а5 амплитудный; й) ьаазовмй ПОиложЕниЕ А. Обзор анализа Фурье Синтез выполняется посредством подстановки коэффициентов из формулы (А.24) в формулу (А.13).
Получаемый ряд представляет исходную последовательность импульсов хе(г), синтезированную из составных элементов. дт г.», лт зе,„~ х (г) = — ~ япс — е т ~ т о„о (А.25) А.2.3. Интеграл Фурье В системах связи часто встречаются непериодические сигналы, имеющие конечную энергию в конечном интервале и нулевую энергию за пределами этого интервала. Подобные сигналы удобно описывать, используя представление в виде интеграла Фурье, или просто Фурье-образ. Непериодический сигнал можно описать как периодический в предельном смысле.
Рассмотрим, например, последовательность импульсов, показанную на рис. А.3. Если Т, стремится к бесконечности, последовательность импульсов превращается в отдельный импульс х(г), число спектральных линий стремится к бесконечности, а график спектра превращается в гладкий спектр частот Х(г). Для данного предельного случая можно определить пару интегральных преобразований Фурье Х(т) = ~х(~)е ~~я~~(г (А.26) х(г) = ~Х(у)е~'М(Т, (А.27) где 7' — частота, измеряемая в герцах. Данную пару преобразований можно использовать при описании частотно-временных соотношений непериодических сигналов.
С этого момента применение прямого преобразования Фурье (А.26) будем обозначать Я ), а обратного преобразования (А.27) — б '( ). Связь частотной и временной областей будем указывать с использованием знака "с-ь": х(г) ь+ Х()). Данная запись означает„что Х()) получается в результате применения прямого преобразования Фурье к х(г), а х(г) — в результате применения обратного преобразования Фурье к Х()). В контексте систем связи х(г) — вещественная функция, а Х(г) — комплексная функция, имеющая действительный и мнимый компоненты; в полярной форме спектр Х(г) можно задать через его амплитудную и фазовую характеристики.
Идеальная периодическая последовательность импульсов включает все гармоники, кратные собственной частоте. В системах связи часто предполагается, что значительная часть мощности или энергии узкополосного сигнала приходится на частоты от нуля до первого нуля амплитудного спектра (рис. А.5, а). Таким образом, в качестве меры ширины полосы последовательности импульсов часто используется величина Ут (где Т вЂ” длительность импульса). Отметим, что ширина полосы обратно пропорциональна длительности импульса; чем короче импульсы, тем более широкая полоса с ними связана.
Отметим также, что расстояние между спектральными линиями Лт= 1/То обратно пропорционально периоду импульсов; при увеличении периода линии располагаются ближе друг к другу. Х(С) =)Х(С))е (А.28) Свойства Х(с), спектра непериодического сигнала, подобны свойствам периодического сигнала, представленным в формулах (А.17)-(А.23); т.е, если х(с) принимает вещест- венные значения, то х(-Л = х'Ж = (А.29) =)Х(с))е ' сл, (А.ЗО) А.З. Свойства преобразования Фурье Существует множество хороших справочников, в которых подробно рассмотрены преобразования Фурье и их свойства (1 Ц).
В данном приложении внимание акцентируется на свойствах, представляющих интерес в теории связи. Некоторыми ключевыми особенностями передач в системах связи являются временная задержка, сдвиг фазы, перемножение с другими сигналами, трансляция частоты, свертка сигнала и свертка спектра. Остановимся подробнее на свойствах преобразования Фурье (сдвиг и свертка), необходимых для описания данных особенностей. А~3.1. Сдвиг во времени ЕСли х(с) +ЧУ, то Ях(с - сс) ) = ) х(с - са)е '"Нс .
(А.31) Пусть р=с — со, тогда й(х(с — се)) = ) х(р)е '"«'""о4с = = х(с)е 'ла Если сигнал запаздывает во времени, амплитуда его частотного спектра не меняется, а фазовый спектр сдвигается по фазе. Сдвиг на время се во временной области эквивалентен умножению на е ~~до (сдвигу фазы на -2лд) в частотной области. А.Д.2. Сдвиг по частоте Если х(с) ++ Х(Д, то г (хяеь™) = ~х(с)е~ с"е 2™с(с = где Х вЂ” комплексно сопряженное Х.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
