Скляр Б. Цифровая связь (2003) (1151859), страница 243
Текст из файла (страница 243)
Амплитудный спектр )Х(с)) — зто четная функ- ция с, а фазовый спектр — нечетная функция у. Во многих случаях функция Х(с) имеет или только действительную часть, или только мнимую, так что для ее описания доста- точно одного графика. ~;(»),-за»»-лв,~» =Ю-Л). (А.32) Выше приведено свойство трансляции часа»ол»ы, которое описывает смещенный спектр, возникающий при умножении сигнала на е™. Используя формулу (А.З2) вместе с формулой (А.9), можно получить выражения для Фурье-образа сигнала, умноженного на косинусоиду.
х(») сох 2яЯр» = ф(х(»)е~"~ + х(»)е ~~»") х(») сох 2яф н.зс(Х(у — Д) + Х(у'+ ур)) (А.ЗЗ) Данное свойство также называется теоремой о модуляции (или смешивании). Умноже- ние произвольного сигнала на синусоиду частоты»р приводит к трансляции исходного спектра сигнала на»р и -»р.
А.4. Полезные функции А.4.1. Дельта-функция Полезной функцией в теории связи является так называемая дельеа-(пункция Дира«а, или единичный импульс, б(»). Импульсную функцию можно получить из любой фундаментальной функции (например, прямоугольного или треугольного импульса). В любом случае импульсная функция определяется в пределе (амплитуда имцульса стремится к бесконечности, длительность импульса — к нулю, а площадь импульса равна единице) (5). Единичная импульсная функция имеет следующие свойства: б(») д» =), (А.34) б(») =О при»иО, (А.35) б(») ие ограничена в точке» = О, Яб(»Н =В '(б(»)) =), (А.36) (А.37) «(»)б(»» ) «й «(»р).
(А.За) (А.39) Формула (А.38) прелставпяет фильтруюя»ее свойство; результат интегрирования произведения функции х(») с дельта-функцией — выборка функции х(») в точке» = »р. В некоторых зрдачах полезными бывают следующие представления дельта- функции в частотной и временнай областях: (АЛО) Ь(Т)= ~е ~сгг. А.4.2. Спектр синусоиды Для нахождения Фурье-образа синусоидального сигнала необходимо предположить, что данный сигнал существует только в интервале (-Тсг2 < с < Тс72).
При таком условии функция будет иметь Фурье-образ, пока Т, будет конечно. В пределе Та предполагается очень большим, но конечным. Спектр сигнала х(г) = А соз 2луаг можно найти, используя формулы (А.9) и (А.26). ( зксглс -зку» -Зися ( )2 )( зкс(У .Га)с „-зксц+А)с) ( 2 3 Как видно из формулы (А.40), данное интегральное выражение можно записать через следующие единичные импульсные функции: Х(() = — (Ь(( — Те) + Ь((+ Те)). А 2 (А.41) Спектр косинусоидального сигнала показан на рис. А.б, а спектр синусоидального сигнала — на рис. А7. Все дельта-функции на этих рисунках изображены как пики с весовыми коэффициентами А/2 или -А)2.
х(о ! о го -га Рис. А.6. Снекнс)с сигнала «(с) = А соз 2лус А.5. Свертка В конце Х1Х века Оливер Хевисайд (О!(тег Неат)зЫе) использовал свертку для вычисления тока на выходе электрической схемы, на вход которой подан сигнал, описываемый сложной функцией напряжения. Использование методов Хевисайда предшествовало применению аналитических методов, разработанных Фурье и Лапласом (хотя публикации Фурье и Лапласа вышли раньше).
гс ° л есн, Нз„ Подобным образом можно показать, что спектр синусоилального сигнала у(г) = А яа 2лулг равен следующему: УЧ)= .(Ь(Т Ха) Ь(У+Ус)). А (А.42) 2) су()) -Я/2 Рис А.7 Спектр совпала у(т) =А я|а 2яует Отклик схемы на входное импульсное возмущение у()) = 8(г) называется импульсной характеристикой и обозначается )т(г), как показано на рис. А.8, т.е. это просто выходное напряжение, полученное прн подаче на вход дельта-функции. Хевисайд аппроксимировал произвольный сигнал, подобный показанному на рис.
А.9, а, набором равноотстоящих импульсов. Подобные импульсы конечной высоты и ненулевой длительности показаны на рис. А.9, б. В пределе при длительности импульса Ат -+ 0 каждый импульс стремится к дельта-функции с весовым коэффициентом, равным площади импульса. Далее будем считать, что данные равноотстоящие импульсы имеют нулевую длительность, хотя строго они являются такими только в пределе. пй) н(т) = Б(г) Вход ЛинейнаЯ Вь,х д сеть о Рис. А.К Импульсттал характеристика линейной системы Поскольку нас интересует как время подачи импульсов на вход, так и время наблюдения реакции на них на выходе, следует весьма аккуратно использовать обозначения различных величии, связанных со временем. Поэтому определим две различные временные последовательности; начнем с использования следующей формы записи.
1. Время на входе будем обозначать через т, так что входные импульсы напряжения будут записываться как у(т,), у(т,), ..., у(тн). 2. Время на выходе будем обозначать через г, так что выходные функции тока будут записываться как (((1), (()т),, ((гн). Хевисайд нашел отклик схемы (или ток на выходе) для каждого входного импульса; после этого он сложил эти токи и получил общий ток на выходе. Весовой коэффициент прямоугсльного импульса, поданного в момент ть — это произведение у(т,) Ат. Если устремить Ат к нулю, последовательность импульсов будет аппроксимировать произвольное входное напряжение настолько точно, насколько это нужно. Снова отметим, что момент полачи импульса на вход — это тп а момент определения реакции системы — гп где т— переменная входного времени, а г — переменная выходного времени, (= 1, ..., Ат.
А.б. Свертка Время а) Ф 3 н а и Время ас б) и сг Рис. А.й Аппроксимация произвольного входного сигнала: а) входной сигнал; б) аппроксимация входного сигнала На рис. А.10 показана выходная реакция С(с) =А,)с(с — т,) на импульс с весовым коэффициентом «(т,).
Поскольку входной импульс в момент т, нв является вдиничным, он умножается на весовой козффициент — интенсивность (или плошадь) А,=«(т,)С)т. В некоторый момент времени сь где с, > тн выходная реакция на импульс «(т,), как показано на рис. А.10, выражается следующим образом. с(с,) = Ас)с(с, - т,) при с, > т, )=с(рд Асп(сс -с1) и с, Время Рис. А.И Реакция на импульс вмамвигн т, При наличии нескольких входных импульсов общий выходной отклик линейной сис- темы — зто просто сумма отдельных откликов. На рис.
А.11 показан отклик сети на два единичных импульса. При йС импульсах на входе ток на выходе, измеренный в момент времени сн можно записать следующим образом: Приложение А. Обзор анализа Фурье 1042 Й $ 1 е к и е О. с и и ч ее и время Рае. А.П. Реакции на два имнульеа 1(1,) = А, Ь(с1 - т,) + Ага(б — тг) + ... + Ак)с(1, — тн), 1(С) = А,Ь(1 — т~) + АЯС вЂ” тг) + ... + Анй(1- тн).
или, поскольку весовой коэффициент импульса в момент времени тг равен «(т), 1(с) = ~~> «(ту)Ьт)с(1 — т1) . (А.43) 1=1 Когда Ьт стремится к нулю, сумма входных импульсов приближается к действитель- ному приложенному напряжению «(т), Ьт можно заменить с(т, при этом сумма заменя- ется интегралом свертки: 1(с) = ~ «(т))с(с - т) с(т (А.44,а) или 1(1)= ~«(е-т)Ь(т)с(т. (А.44,б) В сокращенной записи 1(1) = «(с) в )с(с) (А.45) Итак, 1(с), функция времени на выходе, — это сумма реакций на отдельные импульсные возмущения, произведенные в некоторый входной момент т, причем каждый импульс умножается на весовой коэффициент — интенсивность. А.б.
Свеотка где импульсы подаются в моменты ть т,, ..., т„и где с, > тл,. Все импульсы, поданные на вход после момента с„не учитываются, поскольку они не дают вклада в 1(с,). Это согласуется с требованием причинности физически реализуемых систем — отклик системы должен быть нулевым до применения возмущения. Итак, можно записать ток на выходе в любой момент времени с следующим образом: А.5.1.
Графическая иллюстрация свертки Рассмотрим квадратный импульс «((), подаваемый на вход линейной сети, импульсная характеристика которой равна )г(г) (рис. А.12, а). Отклик на выходе описывается ин- тегралом свертки, представленным в формуле (А44). ьп) ч(о о з -( о а) ь(-.) «(ч) -(о ( -з о б) о(г, -ч) «(ч) -( о -з ог1 в) «(ч)ййе — ч) бч л) «(чУХ(1 -ч] бч г) ((г) = «(г) '6(г) ( — 1 О ( 2 3 4 г, а) Рис. А.
12. Графическая ияяюстраиия свертки Независимой переменной в интеграле свертки является т. На рис. А.12, б показаны функции «(т) и )г(-т). Отметим, что 6(-т) получается отображением Ь(т) относительно оси т = О. Выражение Цг — т) представляет функцию Ь( — т), смешенную на г секунл вдоль положительного направления оси т. На рис. А.12, в показана функция 6((1 — т).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
