Скляр Б. Цифровая связь (2003) (1151859), страница 248
Текст из файла (страница 248)
Мнимая часть Н( ) вз — 0,Бег+ 0,12в — 0,008 вз ч гвг + 1 М „О 5 . (и:.АУ=.З,У ', ( (в + 11(вг+ в + 0,5) (в — 0,1Кв — О 2+ О 21)(в — О 2 — О 20 (в+ 1дв+ 05 — 0 50(в+ 0 Б чол() действительная часть Нуля в толк х в = 0,1, О г - О г, О,г + О гд Полюсывточках в=-1, -0,5-0,51, -0,5+0,5( Рис. Д.2. Нули и нолюса передаточной функции, изображенные в з-области Если цепь имеет более одного полюса, передаточную функцию можно рассматривать как последовательность однополюсных функций Н(з)= =( — асК вЂ” а К вЂ” аг)~ — ~~ ~~ - Ц[21) (з — асКз-а,Кз — аг) Г 1 1Г 1 1Г 1 (з ЬОКз Ь1Кз — Ьг) з-Ьс ~з-Ь1 з-Ьг Д.2. к-преобразование По сути, 2-преобразование — это дискретный эквивалент преобразования Лапласа. Оно делает возможным удобный математический анализ (стационарный анализ и анализ переходных процессов) и манипулирование сигналами и спектрами.
Возмож- Для устойчивости все полюсы должны находиться в левой части комплексной плоскости. Отметим, что для реальных схем с вещественными коэффициентами Лапласа (т.е. в уравнении (Д. 16) А, В, С, 0 и Š— вещественные) полюсы и нули будут вещественными или будут разбиты на пары комплексно-сопряженных величин, как показано на рис. Д.2. Для нашего предыдущего примера лС-цепи передаточная функция в формуле (Д.14) является безусловно устойчивой, поскольку 2кйС вЂ” это всегда положительная величина, что, разумеется, является ожидаемым результатом. Неустойчивость в линейных системах возникает только при наличии в них обратной связи (рекурсии), например, при использовании фильтров с инвертируюшими или неинвертируюшими усилителями.
но, наиболее распространенным современным применением епреобразования является описание дискретных систем и анализ их устойчивости. епреобразование позволяет вычислять свертку входного сигнала и характеристики дискретной линейной системы в математически удобном виде. Кроме того, могут определяться нули и полюса системы, что позволяет извлекать информацию о динамическом поведении и устойчивости дискретной системы, Следует отметить, что нули и полюса епреобразования отличаются от нулей и полюсов преобразования Лапласа. Д.2.1. Вычисление л-преобразования Х(х) = ) х(17)е ь=о (Д.22) Введем параметр г = е'г и заменим дискретное время 1Т номером выборки к. В резуль- тате получаем следующее: Х(г) = ) х((г)г х=о (Д.23) Приведем в качестве примера результат применения епреобразования к единичной ступенчатой функции (Хевисайда).
У(г) = Ям((г)г =1+с +х +г +...=— ь=о -1 х (Д.24) Выше при суммировании геометрической прогрессии было испольювано предполо- жение Д~ < 1 (область сходимости). В табл. Д.З и Д.4 приведены, соответственно, при- меры применения опреобразования к некоторым распространенным функциям и представлены полезные свойства данного преобразования. Таблица Д.З. л-преобразование некоторых функций е преобразование Тнп сигнала Временная функция 6(х) б(х — гл) и(х) Импульс Задержанный импульс Единичная ступенчатая функция (Хевнсайла) Лииейнап функция йи(й) (г — 1) епреобразование можно вывести непосредственно из преобразования Лапласа, определенного в формуле (Д.4), рассмотрев для этого сигнал х(г), выборка которого производится каждые Т секунд. Таким образом, сигнал будет представлен как функция дискретного времени: х(0), х(7), х(27), ...
= (х(Щ). Дискретные данные представляют множеспю взвешенных и смещенных дельта-функций, применение к которым преобразования Лапласа дает следующий результат (использовано свойство сдвига во времени): Окончание табл. Д.З Временная Фувквия 2-вреебрюованве Твв сивила Экспоненциальная функция с'ли()с) Синусоида ейп(ей) и(й) гз!пО) — 22созю+ 1 2 2[г — соз со] Косинусоила соз(егк)и(к) — 22созш+1 г Таблица Д.4.
Свойства л-преобразовании Свойство Лаплас-образ Временная Функция Свертка х(/с) л Ь((с) Х(2)Н(2) Д.2.2. Обратноег-преобразование Переход из ообласти во временную область выполняется посредством обратного г- преобразования [2]. ® т .-'[Х(~)] = — ~Х(~) '-'б 22п с (Д.25) Здесь интегрирование в комплексной области ~ проводится по любому простому контуру в области сходимости Х(2), включающему точку 2 = 0.
Как правило, вычисление обратного 2-преобразования сложнее вычисления прямого. Обычно приходится раскладывать подынтегральное выражение на сумму рациональных дробей, делить полиномы, использовать теорему о вычетах и составлять разностные уравнения. Поэтому большая часть г-преобразований и обратных г-преобразований вычисляется с использованием таблиц интегралов и их свойств, так что явного вычисления выражения (Д.25) обычно удается избежать.
При современном анализе цифровых сигналов и систем используются программные пакеты, подобные ЗузтешЧ1еш [П, а епреобразование большей частью представляет собой просто аналитическую форму записи, удобную для 'определения устойчивости дискретных сигналов и систем. Произвольная функция Произвольная функция Линейность Сдвиг во времени Модуляция Экспоненциальноемасштабирование Линейное масштабирование х(г) у(г) ах(г) + Ьу(г) л(гс — ш) е 'х(й) а'х(/с) Ах(/с) Х(г) 1'(2) аХ(г) + Ь1'(2) г Х(2) Х(е'"2) Х(На) — г — Х(г) С(2 Д.З. Цифровая фильтрация хрй хц) выборка, Н / /-, выборка, /с, о( ; о Аналоговый сигнал Цифровой сигнал Аналоговый сигнал Рис.
Д 3 Уравнения цифрового фильтра реализуются на устройстве цифровой об- работки сигналов, нреобраловывающем входной дискретный информационный сиг- нал в выходной дискретный информационный сигнал х(н — 1) х(н - 2) х(н - 3) О Рис. Д.4. Общая схема цифрового фильтра С помощью подходящих аналоговых и цифровых компонентов цифровой фильтр можно настроить на выполнение селекции желаемой частоты нли модификации фазы. На рис.
Д.З показаны компоненты, необходимые для создания цифрового фильтра, дающего выходную последовательность у(й) при входной последовательности х(/с) [2). Выходной сигнал фильтра у(/с) создается из взвешенной суммы предыдущих входных сигналов х(/с) и предьщущих выходных сигналов у(й — н), где н > О. На рис. Д.4 показан поточный граф сигнала (состоит только из сумматоров, умножителей н схем задержки выборки) для цифрового фильтра с четырьмя весовыми коэффициентами прямой связи и тремя весовыми коэффициентами обратной связи. (Задержка, длительность которой равна длительности одной выборки, обозначена символом Л.
Довольно часто подобные графы изображаются с использованием обозначений временной области и 2-области, где для представления задержки применяется запись 2 '; несмотря на широкое распространение такой формы записи, она не является строгой.) Выход данного фильтра описывается следующим выражением: у()с) = арх(/с) ч- а,х(|с — 1) + азх(сс — 2) + азх(1 — 3) + +ь,у(1- П+ь, (1-2)+ь,з(ь-з)= э 3 =~а„х(1 — и)+ )' Ь у(3с-|п). (Д.26) о=о Применение г-преобразования к формуле Я.26) дает следуюший результат: У(г)=аоХ(г)+аХ(г)г '+азХ(г)г +аэХ(г)го+ + Ь! У(г)г ' + Ьэ У(г)г ' + Ь|У(г)г '. Я.27) Д.3.1. Передаточная функция цифрового фильтра Передаточная функция цифрового фильтра, изображенного на рис. Д.4, получается после преобразования выражения Я.27) и выглядит следуюшим образом: О у(г) ио + а|г + агг + азг О(г) = Х(г) 1- Ь! г ' + Ьзг +Ьзг аой-п,г ')(1-пгг ')(1-пзг ') (1 Р| )(1 Ргг )(1 Рзг ) с'о(г сг|)(г пг)(г-аз) А(г) (г-Р|)(г-Рг)(г-Рз) й(г) Здесь через а обозначены нули, а через Р— полюса г-области, которые находятся как корни полинома числителя А(г) и полинома знаменателя В(г).
Для цифрового фильтра, подобного изображенному на рис. Д.4, но имеюшего |У весовых коэффициентов прямой связи и М-! коэффициентов обратной связи, полиномы числителя и знаменателя в передаточной функции, приведенной в формуле (Д.28), будут иметь, соответственно, порядок ЗУ и М Д.3.2. Устойчивость однополюсного фильтра Вследствие наличия в потоковом графе численных обратных связей, цифровой фильтр может быть (численно) неустойчивым. Рассмотрим, например, фильтр с одним весо- вым коэффициентом обратной связи, изображенный на рис. Д.5.
у(/с) = х(сс) + Ьу(/с — 1) Я.29) Ь(х) = Ь~. Я.ЗО) Если /Ь|<1, импульсная характеристика фильтра сходится (устойчива); если (Ь|>1, импульсная характеристика фильтра расходится (неустойчива). На рис. Д.5 показана сходяшаяся импульсная характеристика с ~Ь~ < 1; более точно, — 1 < Ь < 1. Применение г-преобразования к выражению (Д.29) дает следуюшее; Импульсиая характеристика данного фильтра (т.е. подача на вход единичного импуль- са Б(сс) плюс применение принципов свертки, описанных в разделе А.5) имеет сле- дуюший вил: Единичный импальо а)н) =к(н) +ьа)к-)) в) л(к) )ь! <т Импульсный отклик ао) х(п Г-'ьгт б) Рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
