Скляр Б. Цифровая связь (2003) (1151859), страница 249
Текст из файла (страница 249)
Я.5. Потоковый граф филыяра с одной обратили связью: а) во временной области; 6) в г-области У(г) 1 Н(г) = — = Х(г) 1-Ь -' -Ь' (Д.З1) Д.З.З. Устойчивость произвольного фильтра При изучении факторизованной передаточной функции, приведенной в форму- ле (Д.28), поточный граф, представленный на рис. Д.4 для временной области, можно преобразовать в поточный граф в ообласти (рис.
Д.б). Последний граф — это,-факти- чески, графическое представление формулы (Д.2б), переписанной в следующем вице: Н(г)ыаь(1-и,г ') (1 — азг ') (1 — азг ')" ~-',.-Ь-'.Л-'..-1 (Д.З2) Используя формулу (Д.31), получаем потоковый граф в ообласти (рис. Д.5, б), соответствующий потоковому графу во временной области, изображенному на рис. Д.5, а. Элемент задержки (который на рис. Д.5, а обозначен через Ь) теперь представляется как г ', а вход и выход заданы как ообразы Х(г) и У(г). Отметим, впрочем, что общая топология двух графов одинакова.
(Это частично объясняет то, что потоковые графы цифровых фильтров часто изображаются с использованием обозначений временной области и ообласти.) Критерий устойчивости ()Ь| < 1) можно сформулировать следующим образом: система устойчива, если полюсы )или корни полинама знаменателя) передаточной функции цифрового фильтра меньше единицы. ! 1 1 1 Ргг 1 1 Ргг г 1 Раг 1 1-азг -1 1-а1г 1 1-агг-1 Рис. Д.б. Цифровой филыяр как последовательность каскадов нрямои и обратной связи первого порядка Д.З.4. Диаграмма полюсов-нулей и единичная окрузкность Если комплексные нули и полюса фильтра или линейной системы изобразить на плоскости с действительной и мнимой осями, данную плоскость можно будет назвать оплоскостью (или комплексной плоскостью).
Система является устойчивой, если все ее полюса находятся внутри единичной окружности. На рнс. Д.7 показан вид Оплоскости для следуюшей передаточной функции. Мнимая част~ я Полюсы Е::Л о Нули Действительная часть Рис. Я.у. гусенки и нули, иобраясенные но г-плоскости В данном выражении (и на рисунке) обособлены все блоки первого порядка, описываемые нулями и полюсами фильтра. Чтобы фильтр был устойчивым, модули всех полюсов фь )3з, )31) каскада должны быть меньше 1. Если хотя бы один блок первого порядка неустойчив (или расходится), неустойчивым является и весь каскад. Как отмечалось для преобразования Лапласа, полюса (и нули) ообласти могут быль комплексными, поэтому в качестве критерия устойчивости используется их абсолютная величина, а не амплитуда. (Стоит сказать, что реализация поточного графа, представленная на рис.
Д.б, — это всего лишь иллюстрация принципов анализа; реальный цифровой фильтр никогда не реапизуется в подобной факторизованной форме, поскольку в этом случае некоторые множители могут быть комплексными, а это может повлечь за собой ненужное усложнение вычислительных требований фильтров.) 1-2г ~+За ~ Н(х) = г 1- — - +-г 3' 3 (1 — (1+/ъГ2)х !)(1-(1-/ъГ2)х ~) Я.ЗЗ) (1- (1/3+ /зГ2/З)г )(1- (1/3 — /тГ2/3)г ) (1-а,х ')(1-атх ') ')( -)3 ') Д.З.б. Дискретное преобразование Фурье импульсной характеристики цифрового фильтра Частотная характеристика цифрового фильтра вычисляется из дискретного преобразо- вания Фурье (д!зсгеге Еоипег !гапз(опп — (ЗЕТ, ДПФ) импульсной характеристики фильтра. Напомним вид преобразования Фурье, приведенного в формуле (А.26). Х(/) = ~х(/)е 'Лй (Д.34) Данную формулу можно использовать для вычисления Фурье-образа импульсной ха- рактеристики фильтра.
Ее можно упростить, полагая, что используется дискретная версия сигнала х(г), причем выборка сигнала производится каждые Т, = 1(Т, секунд. Х(/)= ~х(/гТ,)е ~л~г/(/гТ,)= ~~ х(/гТ,)е ™ = 2 х(/гТ,)е !~~лил (Д.35) Разумеется, импульсная характеристика цифрового фильтра является причинной, и первая выборка импульсной характеристики производится в момент Х= О, а последняя — в момент Х=М вЂ” 1, что в сумме дает /т' выборок на одно преобразование. Таким образом, дяя данного конечного числа выборок можно переписать формулу (Д.25), использовав не явное время ХТ„а число выборок Е Х(г)= / х(й)е ' (Д.36) Отметим, что значение выражения (Д.36) вычисляется для непрерывной частотной переменной /. В действительности же нам требуется знать это значение для некоторых определенных частот — нулевой частоты (постоянной составляюшей) и гармоник "собственной" частоты; всего г/ дискретных частот: О, /ь 2/, и так до /„ где Хе = !//ЧТ,.
Нули данной функции — г = ! + /тГ2 и г = ! — (тГ2, полюсы — г = 1/3 + /тГ2 / 3 и т = 1/3— 6Г2/3. Поскольку все полюсы лежат внутри единичной окружности, данный фильтр является устойчивым. и-! Х( — ')= Ъ х(й)е 1~""~'"знг' длянотОдоМ-1 М 1=о Я.37) Выражение выше можно упростить, использовав только временной индекс й и частот- ный индекс н. В результате получаем дискретное преобразование Фурье (дьсгеге гоппег 1гапз(опп — (усТ, ДПФ). и -! Х(н)= 2»х(1)е !зх' "згн дтянотОдоУ вЂ” 1 ь=о (Д.38) Поскольку частота дискретизации сигнала х(й) равна 7", выборок/с, сигнал включает воображаемые (или вымышленные) компоненты на частотах свыше Л(2.
Следовательно, при вычислении значения выражения (Д.38) достаточно ограничиться частотами до у(2. Отметим, что формула Я.38) аналогична формуле (Д.23), если положить 2= еа"""" для последовательности выборок длиной Н. Д.4. Фильтры с конечным импульсным откликом На настоящий момент наиболее распространенный тнп цифровых фильтров — это фильтры с конечной импульсной характеристикой (КИХ), имеющие, как понятно нз названия, импульсный отклик конечной длительности. Данные фильтры не имеют весовых коэффициентов обратной связи (см.
рис. Д.4); следовательно, можно сделать вывод о их безусловной устойчивости. Выход фильтра с КИХ, приведенного на рис. Д.З, описывается следующим выражением: х(н — 1) х(х — 2! х(!»- М ч 1) Рис. 2(.8. Цифровой филиор с конечной имнульсной характеристикой ч=о Таким образом, передаточная функция фильтра имеет только нули и не имеет полюсов. Н(г)=аь ьа»г '+изх г ьазх + ...
+ан !г. (Д.40) = ао(1 — а»г ')(1 — ааг ')(1 — азг ')...(1 — анх ) По сути„работа фильтра с КИХ вЂ” зто вычисление текущего среднего, когда выход— зто взвешенное среднее Н последних входных выборок. Таким образом, фильтры данного типа часто называипся фильтрами скользящего среднего (шоип8 атегайе 6!гег). Кроме того, их еще называют линшили задержки с отводами (гарред де!ау Впе) и трансверсальнмми фильтрами (1гапзчегза! Й11ег). у(й) = аьт((г) + а»х(!г — 1) + азх((г — 2) + азх((г — 3) + ... + ан !х(1 — М+ 1) = ~ а„х(к — и) .(Д 39) Д.4. з.
Структура фильтра с конечной импульсной характеристикой В настоящее время цифровые фильтры с КИХ разрабатываются с использованием современного программного обеспечения, такого как Зузгеп у)е)и [Ц. При этом в основе разработки лежит график амплитудной характеристики, на котором указываются допустимые отклонения и пользовательские требования (рис. Д.9). Затем используются классические методы разработки фильтров, такие как метод Паркса-Мак-Леллана (Райх, Мс1.е11ап), замена Ремеза (Кешех Ехс))апде), окно Кайзера и др. [4], в результате чего создается фильтр с подходяшей частотной характеристикой, имеющей минимальное число весовых коэффициентов.
Если не оговорено противное, большинство фильтров с КИХ разрабатывается в расчете на линейное изменение фазы нли постоянную групповую задержку (что соответствует симметричной импульсной характеристике). Ширина полосы Уонлвннв(дв) сть и ннл Рис.Дй 7)тинная амплитудная хороктериопика 4ияыпра низкних чаонот. Чем строже требования к затуханию в атосе возрождения и полосе перехода и нем ниже допустимая неравномерности в аиасе пропускания, тем бояыие требуется весовых коз4фициентов На рис. Д.10 показаны импульсная и частотная характеристики цифрового фильтра со следующими параметрами: частота среза= 1000 Гц, затухание в полосе заграждения= 20 дБ, неравномерность в полосе пропускания = 3 дБ, полоса перехода = 500 Гц, частота дискретизации, Г, = 10000 Гц.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
