Прокис Дж. Цифровая связь (2000) (1151856), страница 69
Текст из файла (страница 69)
Но 1п2 — это предельное значение ОСШ на бит, требуемое для надежной передачи, когда скорость передачи равна пропускной способности канала с АБТШ при неограниченной полосе частот, как было показано в разделе (7.1.2). Действительно, если выражения у, =4241 г= Еят142, ТР, (7.1,49) у = — '~= ТС„'1П2=С„1П2 Уо подставить в две верхние границы, даваемые (7.1.4б) и (7.1.47), где С =Р /(У,1П2)— пропускная способность канала с АБГШ при неограниченной полосе частот, получаем результат ззо Э у,= 7214М=,/21 2!пП,М= 12нп2.
(7.1, 2) Определив у„вычислим простые экспоненциальные верхние границы для интегралов в (7.1.40). Для первого интеграла имеем Суп ( Я72 З ~'-(427-уп)7412 212й -" Я = ф/2у — у,), у, ~ 7/2у, <е( "")~, у,~,/2у. Второй интеграл ограничен сверху так: -Уп!г -(У 427) (У М -7/214 22(*" -т(,~с„-Гв 1 (о<Л<".С.), ('„С., <Л<С.,). (7.150) Таким образом, мы выразили границы через С„, и битовую скорость по каналу Л. Первая верхняя граница приемлема для скоростей ниже яС.„в то время как вторая плотнее, чем первая, для скоростей между 4С и С Ясно, что вероятность ошибки можно сделать произвольно малой, взяв Т-+ со (М -+ со для фиксированного Л), в предположении, что Л <С., = Р,„!(Ф,1п2), Более того, мы видели, что ансамбль ортогональных сигналов достигает границ пропускной способности канала, когда М вЂ” + ос, когда скорость Л < С„, .
7.1.4. Функции надежности канала Экспоненциальные границы для вероятности ошибки М-ичной ортогональной системы сигналов в канале с АБГШ и неограниченной полосой, даваемые (7.150), можно выразить так Р <2 2-ткоп (7.1. 51) Показатель экспоненты ~ ) ~зС.-Л (~С„-.Я) (о<Л<'„С.'„) (",С„, ~Л~С.,) (7.1.52) в (7.1.51) назван фуии)лей надежности канала с АБГШ и неограниченной полосой.
График Е(л)1 С„дан иа рис. 7.1.9. Показан также показатель экспоненты для объединенной границы для Р~, даваемый (5.2.27), которую можно выразить так: Р, <~ 2 ~" ), 0<л<зС„. (7.1. 53) Ясно, что показатель экспоненты в (7.1.53) не так плотен, как Е(л) из-за изменения аргумента в объединенной границе в широких пределах. Как показал Галлагер (19б5), границы, даваемые (7.1.51) и (7.1.52), являются экспоненциально плотными. Это подразумевает, что не существует другая функция надежности, скажем Е,(л), удовлетворяющая условию Е,(л) > Е(л) для произвольного Л. Следовательно, вероятность ошибки ограничена сверху и снизу как 2-ге(ю < р < А 2-шло н с в (7.1. 54) 331 где константы имеют только слабую зависимость от Т, т.е. они меняются медленно с изменением Т.
Поскольку ортогональные сигналы обеспечивают по существу то же качество, что и оптимальные симплексные сигналы для больших М, нижняя граница в (7.1.54) приемлема для любого ансамбля сигналов. Следовательно, функция надежности Е(Л), определяемая (7.1.52), определяет экспоненциальные характеристики вероятности ошибки для цифровых сигналов в канале с АБГШ и с неограниченной полосой частот. 1/2 и в хм ь4 Я8 о о Скора ать перанкин и (бит!е) Рис.
7.1.9. Функция надежности канала с АБГШ при неограниченной полосе частот Хотя вероятность ошибки можно сделать как угодно малой увеличивая число ортогональных или биортогональных или симплексных сигналов при Л < С;а, для относительно умеренного числа сигналов, имеется большое расхождение между реальным качеством и лучшим достижимым качеством, даваемой формулой для пропускной способности канала. Для примера, из рис. 5.2.17 мы видим, что ансамбль из М=16 ортогональных сигналов требует для достижения вероятности ошибки Р, = 10 ' ОСШ на бит при когерентном детектировании примерно 7,5 дБ.
В контрасте формула для пропускной способности канала указывает на то, что для С/И~=0,5 надежная передача возможна с ОСШ порядка -0,8дБ. Это представляет большую разницу в 8,3 дБ/бит и является стимулом для поиска более эффективных форм сигналов. В этой главе и главе 8 мы покажем, что кодированные сигналы могут значительно сократить расхождение, Аналогичные расхождения в качестве существуют также в частотно — ограниченной области рис, 5.2.17, где фИ'> 1. Однако, в этой области мы должны быть более искусны для того, чтобы использовать кодирование для улучшения качества, поскольку мы не можем расширить полосу частот, как в области с ограничением мощности сигнала. Польза от техники кодирования для эффективных по полосе частот систем связи также обсуждается в главе 8.
7.2. СЛУЧАЙНЫЙ ВЫБОР КОДОВ Синтез систем кодированной модуляции для эффективной передачи информации можно разделить на два базовых подхода. Один — это алгебраический подход, который первоначально касался синтеза техники кодирования и декодирования для специального класса кодов, такие как циклические блоковые коды и сверточные коды. Второй подход является вероятностным и он касается анализа качества общего класса кодированных сигналов. Этот подход дает границы для вероятности ошибки, которые можно достичь для связи по каналу с некоторыми специфическими характеристиками.
В этом разделе мы ознакомимся с вероятностным подходом к кодированной модуляции. Алгебраический подход, базирующийся на блоковых и сверхточных кодах, рассматривается в главе 8. 332 С,. =~с» с,, с„,~, 1=1,2,...,М, (7.2. 1) где с„=О или 1. Каждый символ кодового слова отображается двоичным ФМ сигналом, так что сигналы, соответствующие кодовому слову С,. можно выразить так. и ь;(!) = > л;,~;(!), ! =1,2,,М, (7.2.2) ич где („к, если с, =1, если с;, =О (7.2.3) и в — энергия на кодовый символ. Таким образом, сигналы .>;.(!) эквивалентны и-мерным векторам з,. =~ь'„ь;, з,„~, 1=1,2,...,М, (7.2.4) которые соответствуют вершинам гиперкуба в и-мерном пространстве. Теперь предположим, что информационная скорость на входе кодера равна Л бит/с и мы кодируем блоки из Ф бит на определенном временном интервале Т посредством одного изМ сигналов.
Следовательно, А = 1П' и требуется М = 2' =2"" сигналов. Удобно определить параметр В следующим образом: и 77 = — измер.!с Т 17.2. 5) Таким образом, и = 13Т- это размерность пространства сигналов. Гиперкуб имеет 2" = 2 вершин, из которых М = 2"' могут быть использованы для передачи информации. Если мы навяжем условие Й> Л, то часть вершин, которые мы используем как сигнальные точки, равна е ят сг г' г (7.2.
6) 2л 2сг Ясно, если В > Л, имеем г -+ О, когда Т вЂ” э сс Вопрос, который мы хотим ставить, следующий. Можно ли выбрать подмножество М = 2Я' вершин из 2" = 2сг имеющихся в распоряжении вершин так, чтобы вероятность ошибки Р-+О при Т-+со илн, что эквивалентно, когда и — +сс7 Поскольку часть !. используемых вершин приближается к нулю, когда Т-+ ас, возможно выбрать М' сигналов, имеющих минимальное расстояние, которое увеличивается, когда Т вЂ” +со гь следовательно, Р. -+ О. Вместо того, чтобы пытаться найти простой ансамбль из М кодовых сигналов, для которых мы рассчитаем вероятность ошибки, рассмотрим ансамбль из (2") различных путей, по которым мы можем выбрать М вершин из 2" имеющихся в распоряжении вершин гиперкуба.
С каждым из 2 выборов мы можем связать систему связи, иИ содержащей модулятор, канал и демодулятор, которые оптимальны для выбранного 7.2.1. ~лучайное кодирование, основанное на использовании ансамбля из М двоичных кодовых слов Рассмотрим ансамбль из М кодовых слов, образованных из и-мерных двоичных кодовых слов вида набора нз М сигналов. Таким образом, имеется 2 систем связи, одна для каждого выбора М кодовых сигналов, как показано на рис.
7.2.1. Каждая система связи характеризуется своей вероятностью ошибки. л(7) Вводная наслало баталина от Рис. 7,2.1. Ансамбль 2н'систем связи. Каждая система выбирает одну из 2™ возможных последовательностей из Л т сиснадов Предположим, что наш выбор М кодовых сигналов основан на случайном выборе из множества 2~' возможных ансамблей кодов. Таким образом, случайный выбор т-го кода. обозначенного (з,.1, происходит с вероятностью '. Ю' Р((а) )= г-'"', (7.2.7) и соответствующую условную вероятность ошибки для этого выбора кодовых сигналов б Р((а,) ).Т*д ср*д * р тдос тошиб с у б ру д Р. =2;Р((д) )Р((*а) )=2 2.Р((д) ), б7237 где верхняя черта над Р, означает усреднение по ансамблю кодов. Ясно, что некоторые выборы кодов приведут к большим вероятностям ошибки.
Например, код, который сопоставит все М уб-битовых последовательностей одну и ту же вершину гиперкуба приведет к очень большой вероятности ошибки. В таком случае Р,(Я ) > Р, . Однако, будут так же выборы кодов, для которых Р(Ц ) с 1; . Следовательно, если мы получим верхнюю границу для Р„эта граница будет так же С ра Сд а д тм Юдсд дд р * Р((а)а) Р.. Да~а, Р.-аа р Р— ° Р(~/) =— (7.2.16) Таким образом, математическое ожидание Р,„(а„з,) по ансамблю кодов можно выразить так: Р(в„и„)=~РУБЕЦ ~ = „~~ /Я( ~ ).
(7217) Результат (7.2.17) можно упростить, если воспользоваться верхней границей для Д- функции 2ЫВ Таким образом, Р (з„з~) <2 "~ е ~а~~' <2 "11 1-е а~"') < ~ф+е "~"')], (7 2.18) и=о Мы видим, что правая часть (7.2.18) не зависит от индексов / и Л. Следовательно, если мы подставим границу (7.2.18) в (7,2.12), то получим Р (Х~) <,~ Р (з„з~) = (М- 1)[Я1+ е а~"')] < Лф(1+ е "~~')] .
Г=! Иаконец, безусловную среднюю вероятность ошибки Р~ получим усреднением Р,~Х ) по всем А -битовым информационным последовательностям, Таким образом, Р, =~' Р,(Х,)Р(Х,) <Лф(1+е в/~')],~>,Р(Х,) = Лф(1+е ~/~')] (7219) Этот результат можно выразить в более удобной форме, прежде всего определив параметр Я„который называется предельной скоростью и имеет размерность бит/измерение 2 В, =1од, „„=1-1од,(1+е "'"'). (7.2.20) Тогда (7.2.19) можно записать в виде Р <М2- ~, 2кт2-ю, с Поскольку л' = ВТ, то (7.2.21) можно выразить так Р 2 Зависимость параметра Я, как функции от Ф, / Л/, показана на рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
