Прокис Дж. Цифровая связь (2000) (1151856), страница 65
Текст из файла (страница 65)
е Необходимые условия для того, чтобы оценки ф и т были МП оценками, таковы: дЛ,[ф,а[ дЛ [ф,а1 дф ' дт Удобно ввести определение (6.4.5) А(т) + 1В(т) = — ~) [1„'У„(т) + У7„хд(т)~. 1 0 о С этим определением (6.4.3) можно выразить в простой форме А (ф,т) = А(т)созф — В(т)япф, Те ер уа о *(б.а.б)д * о аау~ждуП де~м ид дЛ, ф,а = -А(а) од ф — д(а) аоаф = О, дф дА, ф,т дА(т) дВ(т) .
= — созф — з[пф = О. дт дт дт (6.4.6) (6.4.7) (6.4.8) (6.4.9) Из (6.4.3) получаем ф = -агсгя (6.4.10) Подставляя (6.4,10) в (6.4.9), находим решение для т в виде 312 получен1(ых при совместной оптимизации, меньше или равны дисперсиям оценок параметров, полученных при раздельной оптимизации функций правдоподобия. рассмотрим совместное оценивание фазы несущей и параметра задержки. Логарифм функции правдоподобия для этих двух параметров можно выразить через эквивалентные низкочастотные сигналы так: л,[фа)=в (+[ (а) [а;фа)да), (6.4.1) где з) (д; ф,т) — эквивалентный низкочастотный сигнал, который имеет общую форму; , [а; ф, а) = е " [б, у д(а †«т — а) '- у' д Т.д(а в «т — а)1, (6.4.2) где (д„) и (у„)- две информационные последовательности. Заметим, что для АМ можем считать У„=О для всех и, а последовательность (дд1 вещественная.
Для КАМ и ФМ положим У„= 0 для всех и, а последовательность (1„) комплексная. Для офсетной КФМ обе последовательности (1„) и (У„)- ненулевые, и ну(д) = ф~ — ~ Т). Для МП оценивания ф и т, управляемого решениями, логарифм отношения правдоподобия равен А( ) дА(т)-+ф,) дат т=т~~п (6.4.1 1) Рнс. 6.4.1. Совместнал отслеживвющая петля.
управллемая решенном, длл оцсннвания Фазы несущей и параметра задержки для КАМ и ФМ Офсетная КФМ требует немного более сложную структуру для совместного оценивания ф и т. Структуру легко получить из (6.4.6) и (6.4.11). Кроме совместного оценивания, управляемого решениями, также возможно получить совместные оценки для фазы несущей и параметра задержки без управления решениями. хотя мы не будем обсуждать этот подход.
Мы хотим также напомнить, что возможно совместить проблему оценки параметров с демодуляцией информационной последовательности (1„) . Это значит, что можно рассматривать совместно максимально правдоподобное оценивание (1л), фазы несушей ф и параметра задержки т, Результаты по вопросам совместного оценивания появились в технической литературе, например у Кобаяси (1971), Фальконера (1976) и Фальконера и Сальца (1977). Отслеживающая петля с прямым решением для КАМ (или ФМ), полученная из этого уравнения, иллюстрируется на рис. 6.4.1 6.5. ХАРАКТЕРИСТИКИ КАЧЕСТВА МП ОЦЕНИВАТЕЛЕЙ Качество оценки параметра сигнала обычно измеряется ее смещением и дисперсией Чтобы определить эти характеристики, предположим, что мы имеем последовательность наблюдений (>гг х„х, ...х„] = х с ФПВ р(х(ф), из которых извлекаем оценку параметра ф, Смещение оценки ф(х) определяется так: смещение = Чф(х)) — ф, (6.5,1) ггде ф — истинное значение параметра. Если Чф(х)) = ф, мы говорим, что оценка ггециеп)елпеи, Дисперсия оценки ф(х) определяется так: ",, = Е((ф( г') -(Ег(фг4 (6.5.2) В общем о„, трудно вычислить.
Однако хорошо известным результатом в теории оценивания параметра (см. Хелстром, 1968) является нижняя граница Крамера-Рао для среднеквадратической ошибки: Е((ф(*г — ф) ) )[~Е(фЬ51] ггг ([~3»1 (~~1ф) 1. Гб5 51 Заметим, что если оценка несмещенная, то числитель в (6.5.3) равен единице, и граница (6.5.3) приводит к нижней границе для дисперсии о„, оценки ф(х), т.е. .;;, 1Ф([б",51 е(*(ф)]] гб 5 пг Поскольку 1и р(х [ф) отличается от логарифма отношения правдоподобия постоянным множителем, не зависящим от ф, то получим Е([бф 1пп(х(ф)] ] = Е([бпгпЛ(ф)] ] =-Е)-~1 Л(ф)(.
Гб 555 Следовательно, нижняя граница для дисперсии равна Г -г>1 1гЕ[ ~1~51 Л(ф)) (= — гг Ег '>1 Л(ф)). 1б5бг Эта нижняя граница — очень полезный результат. Она дает оценку близости прп сравнении дисперсии практической оценки относительно нижней границы. Несмещенная оценка, дисперсия которой достигает нижней границы, называется эфгрекпгггвггогг. В общем эффективные оценки являются редкими. Если они существуют, то являются оценками максимального правдоподобия. Хорошо известный результат из теории оценивания параметра — это то, что МП оценка параметра асимптотически (прп произвольно большом числе наблюдений) не смещена и эффективна.
В значительной степени эти желательные свойства определяют важность МП оценки параметра. Также известно, что МП оценка имеет асимптотически гауссовское распределение (со средним ф и дисперсией, равной нижней границе, определяемой (6.5.6)1. В случае МП оценок, описанных в этой главе для двух сигнальных параметров, дисперсии в общем обратно пропорциональны отношению сигнал-шум или, что эквивалентно, обратно пропорциональны мощности сигнала, умноженной на интервал наблюдения 7„'. Далее, дисперсии оценок, управляемых решениями, при малых вероятностях ошибки в целом ниже„чем дисперсии оценок, не управляемых решениями. 3(4 Фактичесееи качество МП оценок, управляемых решениями, для ф и т достигает нижней границы. Следующие примеры относятся к расчету нижней границы Крамера-Рао для МП оценки фазы несущей. Пример 6.5.1.
МП оценка фазы немодулированной несущей, как было показано в (6.2.11), удовлетворяет условию ~ г(е)з1п(2к/,е+ф „)е/е = О, (6.5.7) где г(е) =з(е;ф)+ее(е) = Асса(2к/е+ф)+п(е). (6.5.8) Условие (6.5,7) получено при взятии производной логарифма функции правдоподобия Л,(ф) = ) г(Е)з(Е;ф)е/Е. (6.5.9) Дисперсия ф имеет нижнюю границу ( 1 -1 ~(~ 1 е~~0~]со~12~Г!~ф)м~ =~ 1 й1 У Ил/2Т Ф В (6.5.10) А'Т, 2А' гА" Множитель 1/2Т,— это эквивалентная (односторонняя) шумовая полоса идеального интегратора. Из этого примера мы видим, что дисперсия МП оценки фазы имеет нижнюю границу 1 -'~7' (6.5.1 !) где 7, = А'-/2Ф,В.„.— петлевое ОСШ. Это также дисперсия, получаемая при оценке фазы несущей посредством ФЗП с оценкой, управляемой решениями.
Как мы уже видели, оценки, не управляемые решениями, нельзя выполнить так хорошо из-за потерь в нелинейностях, требуемых для снятия модуляции, например потерь из-за квадратировання нли возведения в М-ю степень. Похожие результаты можно получить для качества оценок параметра задержки. рассмотренных выше.
В дополнение к их зависимости от ОСШ качество оценки параметра задержки является функцией от огибающей сигнального импульса. Например, на практике обычно используется импульс, имеющий спектр в виде приподнятого косинуса (см. разд. 9.2). Для такого импульса среднеквадратическая ошибка (о,) оценивания параметра задержки как функция от ОСШ показана на рис, 6.5.1 для оценок, управляемых и не управляемых решениями. Отметим значительное улучшение качества оценки, управляемой решениями, по сравнению с оценкой, не управляемой решениями.
Теперь, если меняется полоса частот импульса т, меняется огибающая импульса и, следовательно, среднеквадратическая ошибка оценки параметра задержки также меняется. Например, если меняется полоса частот импульса, который имеет спектр в форме приподнятого косинуса, среднеквадратическая ошибка меняется так, как показано на рис. 6.5.2. Заметим, что ошибка уменьшается по мере увеличения полосы частот импульса. В заключение мы представили метод МП оценки сигнальных параметров и применили его для оценки фазы несущей и параметра задержки символов. Мы также описали их характеристики качества. 315 0,50 3 0,21! и 0,20 х ОН! в~ о ~ ь и х ов 005 о о 'и о о,ог .'а 0 Га я й г о ь ОД5 и яв о о и.
и х и го и * ж о 0,02 О,1 0,2 0,3 0,4 0,5 Коаффиииси г ааииса ии иоиосс иасгог 0 )лсиоса [!*РУЗГ) 15 20 25 Зс Осш О!Б! 10 Рис. 6.5.2. Качество оценки гираметра задержки для фиксированного ОСШ н фиксировапнои петлевой полосы 11..ргап)гз, Яупсйгопьта Ьоп ЯиЬзуиеик Апа1угйз афпг) )3ез18п, 1983) Рис. 6.5.1. Качество оценки параметра задержки для фиксированного сигналаи фиксированной петлевой полосы 11,.рип)сз, Яупсйгоп)га!1оп ЯиЬауз!еик А1101узгз апг) 130518п, 1983) 6.6. БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЕ ЗАМЕЧАНИЯ И ССЫЛКИ Восстановление несущей и фазовая синхронизация являются двумя темами, которые постоянно прорабатывались за последние три десятилетия, Петля Костаса была изобретена в 1956 г., а методы оценивания фазы, управляемого решениями, были описаны Прокисом и др.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
