Прокис Дж. Цифровая связь (2000) (1151856), страница 61
Текст из файла (страница 61)
Если предположить, что входом цепи ФАП является косинусоида соз(2тф~+ ф), а выходом ГУН является з1п(2зту".1 + ф), где ф представляет оценку ф, то произведение этих двух сигналов 8(т) = соа(2ф т+ф)$1П127тЛт+Ф) = т а1п(Ф вЂ” Ф)+ т яп14тК~+Ф+ф) (6.2.13) Рне, 6.2.3. Базовые элементы замкнутой петли автоподетройкн фазы (ФАП) Петлевой фильтр является низкочастотным фильтром, который пропускает только низкочастотную составляющую, з1п(ф — ф) и устраняет компоненту с удвоенной частотой несущей 2/;.
Этот фильтр обычно выбирается так, чтобы иметь относительно простую передаточную функцию 1+ тра 1+т1а' (6.2. 14) где т, и т, — расчетные параметры (т, » т,), которые управляют полосой петли. Фильтр более высокого порядка, содержащий дополнительные полюсы, можно использовать, если необходимо получить лучшую характеристику петли. Выход петлевого фильтра обеспечивает управляющее напряжение о(т) для ГУН.
ГУН является в принципе генератором гармонического сигнала с мгновенной фазой, определяемой так: 2тф,Г+ Я) = 2тф,(+ К~ о(Г) т1т, Пренебрегая слагаемым с удвоенной частотой, которая получается от умножения входного сигнала с выходом ГУН, можем свести схему ФАП к эквивалентной замкнутой петлевой модели, показанной на рис. 6.2.4. Синусоидальная зависимость от разности фазы 290 где К вЂ” постоянная величина с размерностью радиан/вольт. Следовательно, ф(~) =К~ о(1)ж. (6.2.15) (6.2.16) ф — ф делает эту систему нелинейной и, как следствие, затрудняет анализ ее качества в присутствии шума. Но все же она поддается математическому анализу для некоторых простых петлевых фильтров, гун Рис.
6.2А. Модель замкнутой петли ФАП При нормальной работе, когда петля отслеживает фазу пришедшей несущей, фазовая ошибка ф — ф мала, и, следовательно, з1 (ф — ф) =ф — ф (6.2.17) С этой аппроксимацией схема с ФАП на рис. 6.2.4 получается линейной и характеризуется передаточной функцией для замкнутой петли К6(з)/з Н(з) = К.( у (6.2.18) где множитель ", включен в параметр усиления К. Подставив из (6.2.14) 0(з) в (6.2.18), получим 1+т л 1+ ~т, + 1~К)з+ (т,!К)з' (6.2.19) Следовательно, замкнутая петлевая система для линеаризованной ФАП является системой второго порядка, если 6(з) определяется (6.2.14).
Параметр т, управляет положением нуля, в то время как К и т, используются для управления положением полюсов замкнутой системы. Принято выразить знаменатель Н(л) в стандартной форме ц) з 2, г (6.2. 20) где ~ называют петлевым множителем затухания, а в„является резонансной частотой петли. Через параметры петли в„=,/К7т, и ~=(т,+ДХ)/2в„передаточная функция замкнутой петли выражается следующим образом: Н(з) = зз + 2~в„з+ в~~ (6,2.21) Односторонняя эквивалентная шумовая полоса петли равна Я1у~,'+к!з1 ~~-( а.) » (6.2.22) Амплитудно-частотные характеристики 201офН(в)( как функции нормированной частоты в /в„иллюстрируются рис. 6.2.5 с множителем затухания ~ ~как параметром и при т, »1.
Заметим, что ~ =1 ведет к критическому затуханию характеристики петли. с, < 1 ведет к полдемпинговой характеристике, а Г > 1 ведет к иадлемпинговой характеристике. 19» 291 -г 3 -4 О лл -б -14 -1б -18 -го о.г о,з о,ф о,5 ол г 3 4 5 т 1О 4) о)» О,) Рис. 6.2.5. Амплитудио-частотные характеристики петли второго порядка (РЬаае1оск Тесвгп(1пеа, 2-е излаиие, ЕМ.бап1пег, ((() 1979) На практике выбор полосы для ФАП включает компромисс между скоростью отслеживания и остаточным шумом в оценке фазы, что является темой, рассматриваемой ниже. С одной 'стороны, желательно выбрать полосу петли достаточно широкой, чтобы отслеживать любые изменения во времени фазы принимаемой несущей.
С другой стороны, широкополосная ФАП позволяет шуму в большей степени попасть в петлю, что ухудшает оценку фазы. Ниже мы оценим влияние шума на качество оценки фазы. 6.2.3. Влияние аддитивиого шума на оценку фазы Чтобы рассчитать влияние шума на оценку фазы несущей, предположим. что шум на входе ФАП узкополосный. Для этого анализа мы предположим, что ФАП отслеживает синусоидальный сигнал вида з(г) = А, соз(2тф;1+ ф(1)), (6.2.23) который.
искажается узкополосным аддитивным шумом пЯ = хЯ соз2тф,г — у(1) 8)п2)г~',1. (6.2.24) Синфазная и квадратурная компоненты шума предполагаются статистически независимыми стационарными гауссовскими процессами с (двухсторонней) спектральной плотностью мощности г Л'о Втй ц. Используя простые тригонометрические соотношения, шум (6.2.24) можно выразить так «(б)=«.(б)б б(2».ббф(б)1-»(б)б)«12лсб«ф(б)1, (б225) п.(1) = х(1) созфЯ+ уЯ 81пфЯ, п,(1) = — х(г) 81пф(г)+у(г) соаф(г) . (6.2.26) где Заметим, что п.(1)+~п,(1) =(х(г)+ 1у(1)1е 'ф('), так что квадратурные компоненты и,(/) и и,(/) имеют точно такие же статистические характеристики, как х(/) и у(/), Если л(т) +и(т) умножается на выход ГУН, а слагаемым с удвоенной частотой несущей можно пренебречь, на вход петлевого фильтра действует зашумленный сигнал е(т) = А, зш Лф+и.(т) з1п Ьф — л,(/) сок Лф = А, з1л Лф + л (г), (6.2,27) где, по определению, Ьф = ф — ф — фазовая ошибка.
Таким образом, мы имеем эквивалентную модель для ФАП с аддитивным шумом, как показано иа рис, 6.2.6. и,р) ГУН Рис. 6.2.6. Эквивалентная модель замкнутой петли ФАП с адднтивным шумом Если мощность Р, = зз. А,' приходящего сигнала намного больше, чем мощность шума, мы можем линеаризовать ФАП и, таким образом, легко определить влияние аддитивного шума на качество оценки ф .
При этих условиях модель линеаризованной ФАП с аддитивным шумом иллюстрируется рис. 6.2.7. гун Рнс. 6.2.7. Линеаризованная модель замкнутой петли ФАП с адаптивным шумом Заметим, что параметр усиления А, можно нормировать к 1, выполнив умножение шумовых слагаемых на 1/ А.; тогда шумовая компонента становится равной л,Я = 8)пуф- созсЪф, и (~) . и и(г) А А (6,2.28) Поскольку шум и,(г) иа входе петли является аддитивным, дисперсия фазовой ошибки Лф, которая является также дисперсией фазы выхода ГУН, равна 293 1 ст = — ~-,' (6.2.29) а где В,„,— односторонняя эквивалентная шумовая полоса петли, определяемая (6.2.22).
Заметим, что о'-просто отношение суммарной мощности шума в полосе ФАП к А, Следовательно, (6.2.3 1) порядка. Из выражения для р~Лф) можно получить величину дисперсии для фазовой ошибки для петли первого порядка. График дан на рис 6.2.8 как функция от 1/у . Для сравнения показан результат, полученный для линеаризованной модели ФАП. Заметим, что дисперсия для линейной модели тесно примыкает к точной дисперсии для у, > 3. Следовательно, линейная модель подходит для практических целей.
1,6 1,4 Ъ х ~ 1,0 й 0,8 й 0,6 о 6 0,4 ад 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 ФОл, /Аг Рис. 6.2.8. Сравнение дисперсии фазы на выходе ГУН при точной и приближанной (линеаризованной) модели ФАП 1 порядка. (АДж.Внтербн, Принципы котерентной связи; еа 1966 Мсбтаю-Н111 Воок Сопгрмгу) и'=1/у (6.2.30) где у определено как отношение сигнал/шум ~г ОСШ=-у г " 'аВ*В Выражение для дисперсии От' ошибки фазы на входе ГУН относится к случаю, когда ОСШ достаточно велико, так что приемлема линейная модель ФАП. Точный анализ нелинейной модели ФАП поддается математической обработке, когда 6(з) =1, что относится к петле первого порядка.
В этом случае можно получить ФПВ для фазовой ошибки (см. Витерби, 1966), и она имеет вид ,1 1==("-='-"). (6.2.32) где у — ОСШ, даваемое (6.2.31) с В„„которая является соответствующей шумовой полосой петли первого порядка, а У,() -модифицированная функция Бесселя нулевого Приближенный анализ статистических характеристик фазовой ошибки для нелинейной ФАП также проведен. Особую важность имеет переходный процесс ФАП на начальной стадии. Другая важная проблема — поведение петли при низких ОСШ.
Известно, например, что, когда ОСШ на входе ФАП понижается ниже определенной величины, наблюдается быстрое .ухудшение качества ФАП. Начинаются срывы синхронизма, приводящие к импульсному шуму, проявляющемуся как щелчки, который приводит к потере качества ФАП. Результаты по этим вопросам можно найти в книге Витерби (1966)„Линдсея (1972), Линдсея н Саймона (1979), Гарднера (1979) и в некоторых статьях Гупта (1975), Линдсея и Чай (1981). До сих пор мы рассматривали оценку фазы несущей, когда несущая не модулирована, Ниже мы рассмотрим восстановление фазы несущей, когда несущая несет информацию 6.2.4, Петли, управляемые решениями Когда сигнал з(т;ф) несет на себе информационную последовательность (1„), встает проблема максимизации (6,2.9) или (6,2,10).
В этом случае мы можем принять один из двух подходов: или мы предположим, что (1„) известно на приеме, или мы будем трактовать (1„) как случайную последовательность и выполним усреднение по ее статистике. Рнс. б.2.9, Восстановление несущей в системе ФАП о обратной связью по решению При оценивании параметра в условиях управления решениями мы считаем, что информационная последовательность (1„) на интервале наблюдения оценена и в отсутствие ошибок демодуляции 1„= 1„, где 1„означает продетектированное информационное значение одного символа 1„В этом случае з11;ф) в целом известна, за исключением фазы несущей. Оценивание фазы, управляемое решениями (об информационных символах), было впервые описано Прокисом и др.
(1964). Для конкретности, рассмотрим оценивание фазы, управляемое решениями (ОУР, И)Е), при линейной модуляции, когда принимаемый низкочастотный эквивалентный сигнал можно выразить так; г(г) = е '~'~',1 у(у — пТ) +я(т) = л (г)е '~ + яЯ, (б 2 33) и 295 Рис, 6.2.10. Восстановление несущей в М-позиционной системе ФМ с использованием обратной связи по решеищо в системе ФАП Л)ф) = С~р~ Н — ) ~д~ЯРд~~, А,)ф) = йе() — ) .Ящ)й~е" ~. О (6.2.34) (6.2.35) Подставив выражение для з,(1) в (6.2.35) и предположив, что интервал наблюдения Т, = КТ, где К вЂ” положительное целое, получим (6.2. 37) к-1 4„,1)т к-1 л (ф)=к ') "~ у' ц ~Иу(Г-~тЫ~ =а 1 ~, ~ху~, (б23б) О и=в =о где, по определению, У„=~ тЯК ~1-пТ)й, 296 где з,(г)- известный сигнал, если последовательность (1„) считать известной.
Функция правдоподобия и соответствующий логарифм функции правдоподобия равны г~г) соз(2п1 г+ф) япО = т~АсозО +п (г))з1пО соз(ф — ф)— — ЯАз1пО +п,(г))з1пО„,з1п(ф — ф)+ (6.2.41) + слагаемое с двойной частотой; г(1)з1п(2х1'.~+ф)созО = — ~~Асоз8 +п(1)|созО з1п(ф — ф)— — ",(Аз1пО +п(г))созО соз(ф — ф)+ + слагаемое с двойной частотой. Два сигнал складываются, чтобы генерировать сигнал ошибки е(1) =-;Азщ(ф-Ф)+тп,(г)з1п(ф-ф-О„)+',п(г)соз(ф-ф-О„,)+ + слагаемое с двойной частотой. (6.2.42) Этот сигнал ошибки является входом петлевого фильтра, который обеспечивает сигнал управления для блока ГУН. Мы видим, что две квадратурные шумовые компоненты в (6.2.42) возникают как аддитивные слагаемые. Здесь нет слагаемых, определяемых произведением двух шумовых компонент, как в устройстве с нелинейной характеристикой М-й степени, описанном в следующем разделе. Следовательно, здесь нет дополнительной потери мощности, которая связана с ФАП и ОСР.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
