Прокис Дж. Цифровая связь (2000) (1151856), страница 57
Текст из файла (страница 57)
Они концептуально привлекательны и теперь широко используются, начиная с книги Возенкрафта и Джекобса (1965), Расчет и анализ сигнальных созвездий для каналов с АБГШ привлекали значительное внимание в технической литературе. В частности, исчерпывающим является анализ качества двухмерных (КАМ) сигнальных созвездий, которые рассматривались в публикациях Кана (1960), Ханкока и Лакки (1962), Кампопиано и Глэйзера (1962), Лакки и Ханкока (1962), Сальца и др.
(1971), Саймона и Смита (1973), Томаса и др. (1974), Фошини и др. (1974). Синтез сигналов, основанный на использовании многомерных сигнальных созвездий, был описан и проанализирован в работах Гершо и Лоуренса (1984). Алгоритм Витерби был разработан его автором (1967) для целей декодирования сверточных кодов. Его использование, как оптимального алгоритма для максимальна- правдоподобного последовательного детектирования сигналов с памятью, было описано Форин (1972) и Омура (.1971).
Его использование для обработки сигналов с модуляцией несущей было рассмотрено Унгербоеком (1974) и Мак Кенщни (1979). Он был впоследствии использован для демодуляции МНФ Аулином и Сандбергом (1981) и др. . ЗАДАЧИ 5.1. Согласованный фильтр имеет частотную характеристику 00')=' ', а) Определите импульсную характеристику 1т(1), соответствующую Н(/') . Ь) Определите сигналы, с которыми фильтр согласован. 5.2. Рассмотрите сигнал /(А/т)1соа2п у,1 (0<1~ т), (0 (для других Т).
а) Определите импульсную характеристику фильтра, согласованного с этим сигналом Ь) Определите выход согласованного фильтра при 1 = Т с) Допустим, что сигнал х(1) прошел через автокоррелятор. Определите сигнал иа выходе автокоррелятора при 1 = Т . Сравните ваш результат с результатом (Ь). 5.3. Эта задача касается характеристик сигналов ДФМ. а) Предположим, что мы хотим передать последовательность данных 110100010110 посредством двоичной ДФМ. Пусть я(1)=Асох(2хт,1+О) представляет переданный сигнал на некотором сигнальном интервале длительностью Т. Определите фазу переданного сигнала для последовательности данных. Начните с с) = 0 для передачи фазы первого бита. Ь) Если последовательность данных не коррелироваиа, определите и нарисуйте спектральную плотность мощности переданного сигнала ДФМ.
5.4. Для передачи информации двоичная цифровая система связи использует. сигналы х (1)= 0 0 ~1~ т, г1Я=АОЫ~т. Демодулятор вьщает результат взаимной корреляции принимаемого сигнала г(1) и х, (1) и стробирует выход коррелятора в момент 1 = Т . а) Определите оптимальный детектор для канала с АБГШ и оптимальный порог, предполагая, что сигналы равновероятны. Ь) Определите вероятность ошибки как функцию ОСШ.
Насколько ОСШ надо поднать по сравнению с противоположными сигналами при одинаковой вероятности ошибки. 5.5. Метрики корреляции, даваемые (5.1.44), равны С(гьв)=2~ гп'ви-~~ яю~/п=1,2,...М, где У вЂ” ~ У(1)1 (1)с1 х.„= ~ э„, (1) Т„(1)11. Покажите, что эти корреляционные метрики эквивалентны метрикам С(г,я )=2(2 г(1 )„(1) 2-Ч з(1) 2, гт 56. Рассмотрите эквивалентный низкочастотный сигнал я,(1), 0 <1<Т, с энергией Ж = ~~ ) ~я1Я Ж. Предположите, что этот сигнал искажается в канале с АБГШ, который представлен эквивалентным низкочастотным шумом я(1) . Таким образом, наблюдаемый сигнал ранен 1(1) = х,(1)+.
(1),0 <1< т 'г(г) А1 г,гг) А Рис. Р5.8 Прншпзаемый сипшл можно выразить так; гИ=г;(Г)+г(Г)О~! <ТУ=12, 1де ги — гауссовский процесс с нулевым средним и автокорреляшюнной функцией ф ()=ФЕ1 (г) (+ )]= Ь(). а) Определите переданную энергию посредством г,(г) н гг (г) и коэффициент взаимной корреляции этих сигналов рп . Ь) Предположим, что приемник построен как когерентный детектор с использованием двух согласованных фильтров: один согласован с гз (г), другой — с г, (г).
Нарисуйте эквивалентную низкочастотную импульсную характеристику согласованного фильтра. с) Нарисуйте свободные от шума отклики двух согласованных фильтров, если передается сигнал гг (г). о) Предположим, что приймник состоит нз двух взаимных корреляторов (умножителей, за которыми следуют интеграторы), работающих параллельно. Нарисуйте выход каждого интегратора как функцию времени иа интервале О я г ъ т, когда передаьтся сигнал г (г) .
е) Сравните рисунки, полученные в пп. (с) и (6). Объясните результат. 1) Зшзя характеристики сигналов, дайте выражение для вероятности ошибки для этих двоичных систем связи. 5.9. Допустим, что имеется комплексная гауссовская случайная величина г=х+уу, где (х,у)— статистически независимые величины с нулевыми средними и дисперсией Е х ) = Ез у ) = сз'. Пусть г=г+т, где т=т„+ зт,, и определите г так и=аз- зЬ.
Ясно, что а = х+т, и Ь =у+из, . Определите следующие ФПВ: а) р(а,Ь), Ь) р(и,ф), где и = т(аг '-Ьг, а ф=агсз|(Ь!а), с) р(и). Замечание: в (Ь) удобно определить ф = агой(т;/т,), так что т„= т„+т; солО,т, = т +т; ггиО. г г 2 2 273 18-56 12 Принимаемый сигнал проходит через фильтр, который имеет эквивалентную низкочастотную вмлульсную характеристику Ь, (г) . Определите Ь,(г) так, чтобы фильтр максимизировал ОСШ на своем выходе (в момент г = Т ). 5.7.
Пусть г(г) = х(Г)+ )у(Е) является комплексным белым гауссовским шумовым процессом с нулевым средним и функцией автокорреляции фи(г)=Уоб(г) Пусть У' (г)т=1,2."М, является ансамблем М ортогональных эквивалентных низкочастотных сипшлов, определенных на интервале О я г я Т . Найдите и„, = и[1 *цу„'ги1 =о,,и. а) Определите дисперсию для Ьг „. Ь) Докажите, что Е(У„,Уг„)= О для уг ~т .
5.8. Два эквивалентных низкочастотных сигнала, показанных иа рис. Р5.8, используются для передачи двоичной последовательности по каналу с ззБГШ, э Далее следует использовать соотнопюние — '1 "-!ь') 1ф=?,( )=~ где ? (х) модифицированная функция Бесселя нулевого порядка. 5,10. Троичная система связи передает один из трех сигналов г(г), О или — г(г) каждые Т секунд, принимаемый сигнал равен й(г)=х(г)+г(г), й(г)=г(г) или г,(1)= — г(г)+г(г), где г(г) — белый гауссовский шум с Е1г(г)]= О и ф,„(т)= ьЕ[г (г)г(г+т)1= гТсб(т). Оптимальный приемник вычисляет корреляционные метрики и=я(! ь1'ьм] и сравнивает !? с порогами А и -А. Если !? > А, принимается решение, что передан г(Г).
Если !? < — А, принимается решение в пользу — г(г) . Если -А < У < А, то принимается решение в пользу нуля. а) Определите три условных вероятностях ошибки: Р~ при условии, что передан г(г), Рг при условии, что передан — х(г) и Рз при условии передачи О. Ь) Определите среднюю вероятность ошибки Р, как функцию от порога А, предполагая, что три сигнала априорно равновероятны, с) Определите величину А, которая минимизирует Р, 5.11., Два эквивалентных низкочастотных сигнала, показанных на рис. Р5.11, используются для передачи двоичной информационной последовательности. Передаваемые с одинаковой вероятностью сигналы подвергается воздействию АБГШ с нулевым средним, который имеет эквивалентное низкочастотное представление г(г) с функцией корреляции' ф„(,) =~Е[г'(1),(г+,)~= й,б(,).
а) Какова энергия передаваемого сигнала? Ь) Какова вероятность ошибки на бит, если в приемнике используется когерентное детектирование? с) Какова вероятность ошибки на бит, если в приемнике используется некогерентное детектирование? 5.12. В разд. 4.3.1 было показано, по минимальный разнос частот для ортогонализации двоичных сигналов ЧМ с когерентным детектированием равен и| = И 2Т . Рис. Р5.11 Однако еще меньшие значения вероязности ошибки возможны при когерентном детектировании ЧМ, если ЬТ больше, чем 1|2Т, Покажите, что оптимальное значение бТ равно 0,715/Ти определите вероятность ошибки для этой величины Ь Р . 5.13. Эквивалентные низкочастотные сигналы для трех ансамблей сигналов показаны на рис.
Р5.13. Каждый ансамбль можно использовать для передачи одного из четырех равиовероятных сообщений через канал с АБГШ. Эквивалентный низкочастотный шум г(г) имеет нулевое среднее и функцию корреляции ф„(т) = Мсб(т). а) Классифицируйте сигналы в ансамблях 1, 11 и 11!.
Другимн словами, установите класс, к которому относится каждый сигнальный ансамбль. Ь) Какова средняя передаваемая энергия для каждого сигнального ансамбля? 274 а2Р) ЗА ль1 А о А о -А -А -ЗА -ЗА "з(~) и (г)~ А о о ль П А о А о ль 1П /гг А о 4/2 А о 4/2 А о /иг А о — /1/2 А ~/1/2 А -4/г А — 4/г А Рис. Р5.13 (а) Рис. Р5.15 18" с) Для сигналов ансамбля 1 определите среднюю вероятность ошибки, если сигналы детектируются когерентно. й) Для сигналов ансамбля П дайте объединйнную границу для вероятности ошибки на символ, если детектирование выполняется когерентно (1) и некогерентно (й).
е) Возможно ли некогерентное детектирование для сигналов ансамбля П1, Объясните. 1) Какой сигнальный ансамбль или сигнальные ансамбли вы выберете, если желаете достичь отношения битовой скорости к полосе частот Я/И' не менее 2. Краиисо объясните ваш ответ. 5.14. Рассмотрите четырехпозицнонную (М = 4 ) систему связи, которая передает каждые Т секунд один из четырех равновероягных сигналов я,(г),— т,(фт(г),— хз(г). Сигналы г,(г) и тт(г) ортогональны и с ра~ной зиергвей.
Алдитнвньй шум гауссовский белый с нулевым средним и автокорреляциониой функцией ф (т)=абеб(т). Демодулятор состоит из двух фильтров, согласованных с я,(г) и ья(г), и их выходы в отсчбтных точках равны (/~ и Ут, Детектор основывает свое решение на правиле (/, >~(/,)~т,(г), (/, <-)(/,)~-.;(г), У2 )~(/1~~52(г) (/2 < )(/3) ь Я2И ь Поскольку сигнальный ансамбль биортогонален, вероятность ошибки равна (1- Р,)), где Р, определяется 15.2.34).
Выразите эту вероятность ошибки через одномерный интеграл и затем покажите, что вероятность ошибки на символ для биортогонального сигнального ансамбля из М = 4 сигналов идентична той, которая определяет четырехфазную ФМ. Подсказка; замена переменных ?/, и ?/з на И', =?/, +П и И' =?/, — ?/ упрощает задачу. 5.15. На вход полосового фильтра поступает сигнал з(?): з(?) =??е[ьв(? """[ где я„(/) — прямоугольный импульс, показанный на рис. Р5.15 1а). а) Определите выход у(// полосового фильтра для всех ? > О, если импульсная характеристика этого фильтра 8(г~ — йе[28(? ~~'"Р ~ г де А(?) — экспонента, показанная парис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
