Прокис Дж. Цифровая связь (2000) (1151856), страница 55
Текст из файла (страница 55)
5.4.4. Здесы имеются 2М корреляторов: два для каждой из возможных к передаче частот. Минимальный разнос между соседними частотами для обеспечения ортогональности равен Л у =1/Т, (5.4.32) где гм = Д созф, +и„, (5.4.33) гм =,ф', з1п ф, + и„, (5.4.34) Компоненты аддитивного шума (и,) и (и,) — взаимно статистически независимые гауссовские величины с нулевым средним и одинаковой дисперсией гт~ = ",У,. Таким образом, ФПВ для случайных величин на входе детектора равны (5'.4. 3 5) (5.4.3б) Сделаем замену переменных в совместных ФПВ, определяемых (5.4.35) и (5.4,36) Определим нормированные величины г +г, Ясно, что г, = ой созО„и г = сИ з1пО„.
Якобнан этого преобразования гт соз О„гг з1п О ~4= = гт~гт' . (5.4.38) — оЯ„ап О аЯ„соя О (5.4.37) Следовательно, ав~) р1гт'„0,) = ехр го~ ~ Я,), (5.4.39) 28' о р(гт',О„) = ехр(- ~Я'), и = 2,3, ..., М. (5.4 40) В заключение при усреднении р(1т„, О ) по О„множитель 2х исключается из (5.4.39) и (5.4.40). Таким образом находим, что гт, имеет распределение Райса, а Л, и = 2,3,..., М, имеет распределение Релея.
Вероятность правильного решения определяется вероятностью того, что й, > А, и Я, > Я, ...и гг', > гт,. Следовательно, ' Для полосовых сигналов имеется в виду ортогоилльность в усиленном смысле (прп). гбг 5.4.3. Вероятность ошибки при детектировании огибающей для М-позиционных 1 ортогональных сигналов Рассмотрим передачу М ортогональных сигналов равной энергии по каналу с АБГШ с детектированием огибающей в приемнике.
Мы также предположим, что М сигналов априорно равновероятны и что сигнал л, (г) передается на интервал 0 < г < Т. В качестве М решающих метрик на входе детектора используются М огибакпдих: — а=1,2,...,Ы, Р(Аг < А, )А, = ~ = ~ Рл,1, >)г, = 1 — е " ~ . (5.4.43) Степень М-1 от (5.4.43) можно выразить, пользуясь биномом Ньютона, так: (5.4.44) Подставив этот результат в (5.4.42) и интегрируя по х, получаем для вероятности правильного решения .>'и-» > е=Х~ >> ~ >' ~*Р .
(5.1з45> и ~. > >л -.- >>й, > ' где В/Ф, — ОСШ на символ, Тогда вероятность ошибки на символ Р, = 1-Р, равна' „„~ь>-» и л+1 ~ >и+>>>>,>' где Е,/У, — ОСШнабит. Для двоичных ортогональных сигналов (М = 2) (5.4.46) приводится к простому виду Р .ь е-а/г»>, (5.4.47) Для М > 2 мы можем вычислить вероятность ошибки на бит, используя соотношение 2' ' (5.4.48) которое было установлено в разд, 5.2. Рисунок 5.4.5 показывает вероятность ошибки на бит как функцию ОСШ на бит у„для М=2, 4, 8, 16 и 32.
Для случая когерентного детектирования М-позиционных ортогональных сигналов (см. разд. 5.2.2) мы видели, что для любой заданной вероятности ошибки ОСШ на бит уменьшается по мере роста М. В гл, 7 будет показано, что в пределе, когда М-+ о (или й =1ов, М-з оо), вероятность ошибки на бит Р, можно сделать сколь угодно малой при условии, что ОСШ на бит превышает предел Шеннона -1,6 дБ.
Цена роста М- увеличение полосы, требуемой для передачи сигнала, Для М-позиционной ЧМ разнос частот между соседними частотами равен Ь /' = 1/ Т для ортогональности сигналов. Полоса частот, требуемая для М сигналов, И~= МЬ /' = М/ Т. Таким образом, битовая скорость А = й / Т, где й = 1о8, М. Следовательно, отношение битовой скорости к полосе равно А 1оя. М (5.4.49) ' Этот результат впервые получил Л.М.
Финк в! 957 г. [231 (прп). 263 Р, = Р(А, с А„А, < А„..., А < А,) = (5.4.41) =) Р~Л', <А„А, <А„...,А, <А,~А> = х>р (х)г/х. Поскольку случайные величины А„, т = 2,3,,М., статистически независимы, '>,, совместная вероятность в (5.4.41) определяется произведением М-1 идентичных членов: и.=1~ар, я~>я, =х)~ р, Яь о44г> где 10-2 10-5 10-6 0 2 4 6 8 10 12 ОСШн бит, т,дБ Рис.
5.4.5. Вероятность ошибки на бнт для некогсрентного детектирования ортогональных сигналов ~ь фт ~ 4) ),~ 3ф"о х2)гМ'гт ~ (5.4.51) 2б4 5.4.4. Вероятность ошибки для коррелированных двоичных сигналов при детектировании огибающей В этом разделе рассмотрим качество детектора огибающей для двоичных коррелированных сигналов равной энергии.
Если два сигнала коррелированы„на вход детектора поступают комплексные величины, определенные (5.4.10). Предположим, что детектор выносит свои решения на основе огибающих ~г1~ и Ц, которые теперь коррелированы (статистически зависимы). Собственные ФПВ для тг, = ~~ ~ и А, = ~г2~ распределены по Райсу, и их можно выразить так; (5.4.50) 0 (Я„< 0), лг = 1, 2, где Д, = 2Ф и Д, = 2В~р~ получены в предположении, что был передан сигнал з,(г) . Поскольку Я, и Я, статистически зависимы, как следствие неортогональности сигналов, вероятность ошибки можно найти, вычислив двойной интеграл где р(хохг) — совместная ФПВ огибающих А, и А,. Это исследование было впервые выполнено Хелстромом (1955), который определил совместную ФПВ А, .и А, и рассчитал двойной интеграл в (5.4.51).
Альтернативный подход базируется на наблюдении, что вероятность ошибки можно выразить так: Но А,' —.Аг — это частный случай общей квадратичной формы комплексных гауссовских случайных величин, рассмотренных в приложении В. В этом частном случае вероятность ошибки можно выразить в виде Р, =Я(а,Ь) — г"е ~ ' Я 1,(аЬ), (5.4.53) где 1» ' = '(-й4) -'( Б:Р), (5.4.54) Ь= Я(а,Ь) — это Я-функция Маркума, определенная (2.1.123), и Уа(х) — модифицированная функция Бесселя нулевого порядка. Вероятность ошибки Р, иллюстрируется на рис. 5.4.6 пг 10 10 ' ОСШнабит, ть,дБ Рис. 5.4.б. Вероятность ошибки для некогерентиого детектирования для нескольких значений ~р~.
Вероятность Р, минимизируется, когда р=О, т.е. когда сигналы ортогональны. В этом случае а = О, Ь =,/Е, /Л/;, и (5.4.53) дает Р=Я О Г„=~ ь ~ г~1 ~~ ~ г о (5.4.55) 265 10-г О м ю- 3 10-4 о е ш Р ='Ж>А1)=РЫ'>А1')=Р(А,'-А,'>О). (5452) 8 9 10 11 12 13 14 15 1б 17 18 Из определения функции Я(а,Ь) в (2.1.123) следует, что О, О, — = еса/ "' Подстановка этих отношений в (5.4.55) дает желаемый результат, определенный ранее (5.4 47). С другой стороны, если ~р~ =1, вероятность ошибки в (5.4.53) получается, как и ожидалось, Р, '= Ф. 5.5.
РЕГЕНЕРАТИВНЫЕ ПОВТОРИТЕЛИ И АНАЛИЗ РЕСУРСОВ ЛИНИЙ СВЯЗИ г(/) =ссв(/)+ (/). (5.5.1) Ослабление а Шум и(~) Рис. 5.5.1. МнГематическая модель канала с ослаблением и аддитивным шумом Затем если энергия переданного сигнала 8~, то энергия принятого сигнала и $ . Следовательно, принимаемый сигнал имеет ОСШ а'$/У,. Таким образом, влияние ослабления сигнала сводится к уменьшению энергии принимаемого сигнала, и, следовательно, система связи делается более уязвимой к аддитивному шуму. В аналоговых системах связи усилители, называемые повторителями, используются для периодического повышения уровня сигнала, передаваемого по каналу.
Однако каждый усилитель также вносит шум в системе. В противоположность этому цифровые системы связи позволяют нам детектировать и регенерировать чистый (свободный от шума) сигнал в канале передачи. Такие устройства, называемые регенеративными повторителлми, широко используются в проводных и волоконно-оптических каналах связи. 5.5.1. Регенеративные повторители Любой регенеративный повторитель содержит демодулятор/детектор, который демодулирует и детектирует переданную цифровую информационную последовательность, отправленную предыдущим повторителем. С выхода детектора последовательность 266 При передаче цифровых сигналов через канал с АБГШ мы наблюдали, что качество системы связи, измеряемое вероятностью ошибки, зависит исключительно от принимаемого ОСШ, $/Ф,, где $ — передаваемая энергия на бит, и ~~И, — спектральная плотность мощности аддитивного шума.
Таким образом, аддитивный шум ограничивает качество систем связи. В дополнение к аддитивному шуму другой фактор, который влияет на качество систем связи, это затухание в канале. Все физические каналы, включая проводные линии и радиоканалы, вносят потери. Следовательно, сигнал ослабляется при прохождении через канал. Для канала можно использовать простейшую математическую модель ослабления, показанную на рис, 5.5.1.
Следовательно, если передан сигнал з(/), то принимаемый сигнал при О с и с 1 равен отправляется на передатчик повторителя, который отображает ее в сигнал, который посылается на следующий повторитель. Этот вид повторителя называется - регенеративным.
Поскольку каждый повторитель регенерирует сигнал, свободный от шума, аддитивный ::, Ф-тдум не накаплив я Однако, когда ошибки появляются в д е оре повторителя, эти ошибки распространяются дальше к следующим повторителям канала. Для расчета 1ь влияний ошибок на качество всей системы предположим, что имеется двоичная АМ, так что вероятность ошибки на бит для одного участка (передающего сигнал от одного . повторителя к следующему в цепочке) равна "=Л Поскольку ошибки возникают с малыми вероятностями, мы можем игнорировать вероятность того, что произвольный символ (бит) будет продетектирован неправильно более одного раза при передаче по каналу с К повторителями.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
