Прокис Дж. Цифровая связь (2000) (1151856), страница 54
Текст из файла (страница 54)
расширения времени корреляции на три символа. Дальнейшее расширение интервала корреляции ведет к относительно малому дополнительному выигрышу. Похожие результаты получены посредствам большего объема алфавита. Например, рис. 5.3,13 и 5.3.14 иллюстрируют улучшение качества четырехпозиционной и вооьмипозиционной ЧМНФ соответственно. Индексы модуляции, данные на этих графиках, такие, что они минимизируют вероятность ошибки на символ. 10-' о 10-г м 5 3 10-' 10- 0 2 4 6 8 1О 12 14 0 2 4 б 8 10 12 14 ОСШна бит, ть дБ ОСШнабит, т,,дБ Рис. 5.3.13. Характеристики качества Рис. 5.3.14. Характеристики качества четверичной ЧМНФ восьмеричной ЧМНФ ирн когерентном детектировании при когерентном детектировании Вместо осуществления когерентного детектирования, которое требует знания фазы несущей фе, мы можем предположить, что ф, равномерно распределена на интервале 0...2тг, и выполнить усреднение по фазе при получении величин для решения.
Так осуществляется когерентное интегрирование (взаимная корреляция) по п = Х)+1 сигнальным интервалам, но выход корреляторов детектируется по огибающей. Эту процедуру называют некогерентным детектированием ЧМНФ. В этой схеме детектирования достигается оптимизация качества путем выбора нечетного и и выполнения решения по среднему символу последовательности из п символов. Численные результаты для вероятности ошибки при некогерентном детектировании ЧМНФ похожи на результаты иллюстрированы'выше для когерентного детектирования, Это значит, что выигрыш в 2...3 дБ в качестве достигается путем увеличения интервала корреляции от п =1 до п =3 и до п =5. 254 где Ф г,(~) =з,„(~)е" +л(~), О<г< Т, (5.4.6) — эквивалентный низкочастотный принимаемый сигнал.
Этот принимаемый сигнал теперь проходит через демодулятор, отсчет которого при ~ = Т подается на детектор. Оптимальный демодулятор. В разд. 5.1.1 мы показали, что, если принимаемый сигнал коррелируется с набором ортонормированных функций (/'„(~)), на которые натянуто пространство сигналов, выходы набора корреляторов обеспечивают набор достаточных статистик для детектора с тем, чтобы сделать решение, которое минимизирует среднюю вероятность ошибки, Мы также показали, что набор согласованных фильтров может заменить набор корреляторов. Похожее ортонормированное разложение можно выполнить по отношению к принимаемому сигналу с неизвестной фазой несущей. Однако математически удобнее иметь дело с эквивалентным низкочастотным сигналом и выполнить сигнальные корреляторы или согласованные фильтры по отношению к эквивалентным низкочастотным сигналам.
Для конкретности: импульсная характеристика фильтра, согласованного с комплексным эквивалентным низкочастотным сигналом л,(г), О < ~ < Т, определяется так (см, задачу 5.6): Ь,(г) = л;(Т-~), (5.4.7) а выход такого фильтра в момент 1 = Т равен !ля(г)1 Я=28, (5.4.8) где  — энергия сигнала, Аналогичный результат получается, если сигнал л, (г) коррелируется с з,'(г), а коррелятор стробируется в момент времени г = Т. Следовательно, оптимальный демодулятор для эквивалентного низкочастотного принимаемого сигнала ь;(г) в (5.4.6) можно реализовать двумя согласованными фильтрами, работающими параллельно, один согласован с зп(г), а другой с з„(г) . Он показан на рис. 5.4,1. Выходы согласованных фильтров или корреляторов в точках отсчета являются двумя комплексными числами г =г +у', т=1,2.
(5.4.9) Предположим, что передается сигнал л, (г) . Тогда легко показать (см. задачу 5 35), что г =28созф+л„+ 1(2йз1пф+~,), (5.4.10) г, = 2й~р~ соз~ф+ ас,)+ л,. + у(2й~р~ з1п(ф+ се )+ п2,), ое ение Рис. 5.4,1. Оптимальный приемник длл двоичных сигналов 256 где р — комплексный коэффициент корреляции двух сигналов згг(!) и згг(!), который можно выразить как р=~р~ехр(7а,). Случайные величины шума гь,, п,„и„и 脫— совместно гауссовские с нулевыми средними и равными дисперсиями. Оптимальный детектор. Оптимальный детектор наблюдает случайные величины [ г,гг, г„г„]=г, гДе г! =г!.+ 1г!, и гг Р г„+7г„, и выносит свое Решение на основе ««р рнж «рр ш~а~«Р1~„~«), =1г.э «ро «~с««««««мр««~~« р(~,~~)= " ", и=!,г, р!«! (5.4.1 1) и, следовательно, оптимальное правило решения можно выразить в виде Р(и, ~ г)» Р(и,! г) р~г~ и~а Р(гз ~~ Р(г~з ) ' Р(и,) или, что эквивалентно, (5.4.12) р~г~ и,) Л(г) = ь— р(~/и,) (5.4.
13) Правая часть (5.4.12) — отношение двух априорных вероятностей, которое принимает значение 1, когда два сигнала равновероятны. ФПВ р(г~з!) и Р(г~зг) можно получить путем усреднения условной ФПВ р(г~з„,ф) по случайной фазе несущей с ФПВ р(ф), т.е. р(г~и„,) =] р(г~з,ф)р(ф)Иф. (5.4. 14) Мы выполним интегрирование (5.4.14) для специального случая, когда два сигнала ортогоиальныг, т.е.
р = О. В этом случае выходы демодулятора г «г + 'г =2йсои + + '2Ви1п +и ! гр у!«ф 'г!« .рг, ф !«)» Г = 7~ + 1Я~,, =пг + /пг„ где (и!.. п„, иг.. иг„) — взаимно некоррелированные и, следовательно, статистически независимые гауссовские случайные величины с нулевыми средними (смотри задачу 5.25). Значит, совместнУю ФПВ длЯ г = (г!. г„гг, гг,] можно выРазить как пРоизведение системных ФПВ. Следовательно, 'Речь идет об ортогональности двух комплексных эквивалентных низкочастотных сигналов ил(!) н зг,(!), что предполагает ортогональность в усиленном аиысле вещественных полосовых сигналов зг(г) и х,(!) .
Это весьма ценное дла теории некогерентного приема сигналов определение введено Л,М. Финком, в 15!57 г. 1 1 1прп), 17-5б 257 Отношение ФПВ в левой части (5,4.12) — это отношение правдоподобия, которое мы обозначнмтак: г 2 г,— 26созф +», — 2Фзшф 2а' р(г;.,~„[знф) =, ехр (5.4.16) г'+г' рог,„г„) =, ~хр[- ~ ц,'!-г' '-41)д 1 [ (5.4.17) о1 Но 2н г~ +гг ф=4 — ехр (5.4.
18) где 1,(х)- модулированная функция Бесселя нулевого порядка, определенная (2.1.120). При выполнении интегрирования, аналогичного (5,4.17) в предположении, что передан сигнал з,(~), получим результат ~(....,~,~=- И'- (5,4.19) Если подставить эти результаты в отношение правдоподобия, определяемое (5.4.13), получим результат ;Щ (5.4,20) 1Я(2ВД'. +»1%') ~ Р(зз) Таким образом, оптимальный детектор вычисляет две огибающие ~»', +г', и Д', + г,', и соответствующие значения функции Бесселя 1 (28 Я+г,',./о') и Ц2Ф~~г,', +г,',/о') для того, чтобы сформировать отношение правдоподобия.
Мы видим, что эти вычисления требуют знания дисперсии шума о'. Затем отношение правдоподобия сравнивается с порогом Р(з,)/Р(з,), чтобы определить, какой сигнал передан. Существенные упрощения в реализации оптимального детектора возникают, когда оба сигнала равновероятны. В этом случае порог равен единице и с учетом монотонного изменения функции Бесселя, показанного на рис. 5.4.2, правило оптимального детектирования упрощается: 2 2 ) 2 2 а (5.4.21) Таким образом, оптимальный детектор основывает свое решение на двух огибающих 2 2 1 2 г', + г', и Я', + г,',, и поэтому он называется детектором огибающей.
258 где о' =2ЖФ,. Равномерное распределение для фазы несущей ф представляет наибольшее незнание для детектора. Она называется ФПВ с ниименьшим предпочтением для ф. В этом случае р(ф) = 1/2х, 0 < ф <2х. Подставив р(ф) в интеграл (5.4.14), получим 2 ~ Р("~ '~['~ф)"ф= ь 5 4,5 4 3,5 2,5 1,5 1 О,5 О 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 х Рис.
5.4.2. График Уь(х) Мы видим, что вычисление отсчетов огибающих принимаемого сигнала на выходе демодулятора делает фазу сигнала не относящейся к делу прн решениях о том, какой сигнал передавался. Эквивалентно решение можно сделать на основе квадратов огибающих г,'. + г, и г,', + г,',.В этом случае детектор называется квадратичным. Двоичные сигналы ЧМ являются примером двоичных ортогональных сигналов. Напомним, что в двоичной ЧМ мы используем две различные частоты, скажем /, .и /;= /;+ф'. Выбор минимального разноса частот ьу = /; — /; рассматривается ниже. Таким образом, зти сигналы можно выразить так: гг(Г) = /Ц7Ть соа2ггу;1, О <1 < Ть, зг(г) = /'ф Ть соа 2ггф, О < г < Т, (5.4.22) и их эквивалентные низкочастотные представления ~о(2) ь/ЩГТь О < 1 < Т згь(1) = Рь7Тье"™, О<! < Ть.
Принимаемый сигнал можно записать так: г(1) =./2ф/Т, соз~2гг/'„1+ф„)+л(1), (5.4.24) где ф — фаза частоты несущей /„. Демодуляцию вещественного сигнала можно выполнить как показано на рис. 5.4.3, посредством четырех корреляторов с базисными функциями: (5.4.23) /; (1) =,~Х)Т, со~( Уг (г) = 1/72Ть 31п$ (271/; + 2мтЛ /')1), (2к/; + 2кьлЛ /'/ь), т=О, 1, т= О, 1. (5.4,25) г„= Д~ гь= Еь 27ь(11 — лг)Л /' Т 2 Ь- )'.АГУТ +л„, /г,лг= 1, 2, 2 !)- )А|т 271(А-т)А/'Т (5.4.26) где л,„н и„- гауссовские шумовые компоненты в выходных отсчетах.
259 17ь Четыре выхода корреляторов стробируются в конце каждого сигнального интервала и поступают на детектор. Если передается т-й сигнал, четыре отсчета у детектора можно выразить так: соа 2к1;г п Отсчет г=Т Рис. 5.4.3. Демодуляция и квадратичное детектирование двоичных сигналов ЧМ Видим, что, когда А = т; отсчетные значения детектора равны г.=.Дсозф +и„„ (5.4.27) и = Я', з1пф„+и . Далее видим, что, если Ф ~ т, сигнальные компоненты в отсчетах г„и г, исчезают, независимо от величин сдвигов фаз ф,, обеспечивая разделение частот при Л /' = 1/ Т. В этом случае два других выхода корреляторов состоят только из шума, т.е.
г. =и„„г„=и„, /г ~т. (5.4.28) С частотным разносом Л /' = 1/ Т отношения (5.4,27) и (5,4.28) согласуются с прежним результатом (5.4.25) для выходов демодулятора. Следовательно, делаем заключение, что при детектировании огибающей или при квадратичном детектировании сигналов НМ минимальный разнос частот, требуемый для ортогональности сигналов, равен Л / = 1/ Т. Этот разнос вдвое больше, чем в случае когерентного детектирования. 5.4.2с Оптимальный приемник для М-позицнонных ортогональных сигналов Обобщение оптимального демодулятора и детектора на случай М-позиционных ортогональных сигналов очевидно. Положим, что сигналы равновероятны и с одинаковой энергией, и представим их так: з (г) =Ке~а;„,(/)е""г"~, и= 1„2,...,М, 0</< Т, (5.4.29) где л,„,(/) — эквивалентные низкочастотные сигналы.
Оптимальный демодулятор по корреляционной схеме или с согласованными фильтрами образует М комплексных случайных величин: сок 2хГ,г Выход реоыккдего блока Приикиаемыи цй'нал Отсчет г Т Рис. 5.4.4. Дкмодулации М-ичиых сигиалои ЧМ при иеиокереитиом детеитироааиии гб1 гг т„=т,+~т, =~ тЯц„ЯЙг, т=1,2,...,М, (5430) где т,(Г) — эквивалентный низкочастотный принимаемый сигнал. Тогда оптимальный детектор с учетом равномерно распределенной фазы несущей вычисляет М огибающих: =1,2,...,И, (5.4.31) р или, что эквивалентно, квадраты огибающих ~т„~ и выбирает сигнал с наибольшей огибающей. В частном случае М-позиционных ортогональных сигналов ЧМ оптимальный вриамник имеет структуру, показанную на рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
