Прокис Дж. Цифровая связь (2000) (1151856), страница 49
Текст из файла (страница 49)
Следовательно, 2 2 ! ( — Ж)'+"' р (г,г )ь» — ехр— г(1г 2) 2 2 2о' г г (5.2.53) ФПФ фазы Ог можно получить заменой переменных (2„г2) на р" =,дт+~', Ог = агстй(г2Д). Это дабт совместную ФПВ (5.2.54) р,,н (1',Эг) = —,ехр г к' +о, -2 ф'созО„ 2ст„' Интегрирование р (к',О„) по области Р дает р (О„) = )е р, (Р',0,)~б'=-»-е '"" о ) ке ~ ~"*"' ')/сП", (5.2.55) где для удобства мы обозначили ОСШ символом у, = Ж,/Уе . Рисунок 5.2,9 иллюстрирует р (9„) для различных значений параметра ОСШ у„когда фаза переданного сигнала равна нулю Заметим, что р (0,) становится уже и более концентрированной около фазы О, = 0 по мере увеличения параметра ОСШ у„.
Когда передается д,(г), ошибочное решение произойдет, если шум вызовет нахождение фазы у, вне области -2т/М ч; О, <2т/М. 15» 227 ' Автор на протяжении всей книги обозначает случайные величины (процессы) то прописными (как обычно принято), то строчными буквамн. Ввиду большого 'объема материала мы не стали вносить соответствук2щих изменений (прп). ре,(О,1 1,61 1,43 1,25 1,07 0,89 0Д1 0,54 0,36 0,18 -3,14 -2,51 -1,88 -1,26 -0,63 0,00 0,63 1,26 1,88 2,51 3,14 О„ Рис. 5.2.9. Функция плотности вероятности ро(~Э,) для 7,= 1, 2, 4 и 10 Следовательно, вероятность ошибочного приема символа Р =1-~ р,(О,)Ю, ~~О ) не приводится к простой форме и следует В общем, интегрирование р 1.„7 не исключаяслучан М=2и М=4.
вы н пол ить численное интегрирование, искл ф " и з 1г1 п отнвоположны, н, Для двоично й фазовой модуляции два сигнала з111) и,Д 1 р следовательно, вероятность ошибки — ' (5257) Когда М=4, имеем случай двух двоичных фаз - ду р ово-мо ли ованных сигналов в квадр тур . а е. Поскольку здесь нет пер нет переходных помех или интерференции между сигналами нес их ве ятность ошибки на бит идентична тон, которая на двух квадратурных несущих, вероятность оши и ки на символ при М=4 определяется ( ..
). дру (5.2.57). С гой стороны, вероятность ошибки на символ пр определяется с учетом того, что 228 Р, =(1- Р)' = (5.2.58) где Р, — вероятность правильного приема для двух битовых символов. Результат (5.2.58) следует из статистической независимости шума на квадратурных несуших. Следовательно, вероятность ошибки на символ для М = 4 равна Р4 =1 — Р,„=2 (5.2.59) 1О- 5 8 1О- и 5 1О 8. са 1О.5 ° 4 О 4 8 12 16 20 24 ОСШ набит, т„ль Рис. 5.2ЛО.
Вероятность ошибки на символ лля сигналов ФМ Кривые явно иллюстрируют потери в ОСШ на бит по мере роста М > 4. Например, при Рм =10 ' разница в ОСШ между М =4 и М=8 приблизительно равна 4 дБ, а разница между М=З и М=1б приблизительно равна 5 дБ. Для больших значений М рост числа фаз вдвое требует дополнительного увеличения ОСШ на б дБ/бит для достижения того же качества.
229 Для М > 4вероятность ошибки на символ Р„получена численным интегрированием (5.2.55). Рисунок 5.2.10 иллюстрирует эти вероятности ошибки как функции ОСШ на бит для М = 2, 4, 8, 1б и 32. - '/г =гц~~г~. ф=г~~ги~,н $, (5.2.61) где й =1о8, Лт у, = lгу, . Заметим, что эта аппроксимация вероятности ошибки хороша для всех значений М Например, когда М=2 и Лт'=4, мы имеем Р, = Р„=2Д(/2у,), что хорошо совпадает (за исключением множителя 2) с точным значением вероятности, данной (5.2.57).
Эквивалентную вероятность ошибки на бит для Лт-позиционной ФМ скорее утомительно вычислить с учетом ее зависимости от отображения л-битового блока в соответствующее значение фазы сигнала. Если для такого отображения используется код Грея, два й-битовых блока, соответствующие сигналам с соседними значениями фаз, отличаются только на один бит. Поскольку более вероятные ошибки, обусловленные действием шума, приводят к выбору сигнала с соседним значением фазы вместо верного выбора, большинство Уг -битовых блоков содержат ошибки только в одном бите. Следовательно, эквивалентная вероятность ошибки на бит для М-позиционной ФМ хорошо аппроксимируется выражением Р =Р„/У. (5.2.62) Наша трактовка демодуляции сигналов ФМ предполагает, что демодулятор располагает совершенной оценкой фазы несущей.
На практике, однако, фаза несущей определяется по принятому сигналу путем использования некоторых нелинейных операций, которые приводят к неоднозначности фазы. Для примера в двоичной ФМ сигнал часто подвергается квадратированию, чтобы снять модуляцию, затем образованный сигнал с удвоенной частотой фильтруется и делится по частоте на 2 для того, чтобы получить оценку частоты несущей и фазы ф. Эти операции приводят к неоднозначности фазы несущей на 180'. Аналогично в четырехфазовой ФМ принимаемый сигнал возводится в четвертую степень, чтобы снять цифровую модуляцию, а затем четвертая гармоника частоты несущей фильтруется и делится на 4 для того, чтобы, выделить компоненту несущей. Эти операции приводят к компоненте частоты несущей, содержащей оценку фазы несущей ф, но возникают неоднозначности фазы на 190' и на 180' при оценке фазы. Следовательно, мы не имеем точную оценку фазы несущей в демодуляторе, Проблема неоднозначности фазы, возникающей прн оценке фазы несущей ф, может бьггь преодолена путем использования дифференциальной ФМ (ДФМ) вместо абсолютной ФМ.
При дифференциальной ФМ кодирование информации осуществляется посредством разности фаз между соседними переданными сигналами', а не самой абсолютной фазы, как при обычной ФМ. Например, в двоичной ДФМ информационный символ 1 передается со ' Метод однократной фазоразиостной [или относительной фазовой) модуляции был впервые предложен в 1959 г. Н.Т. Петровичем [ 1, а многократной фазоразиостиой модуляции в 1972 г. Ю.Б.
Окуневым [ ]. 230 Аппроксимация вероятности ошибки для больших значений М и для больших ОСШ можно получить по первой аппроксимации ре (0„). Для Ж у У, » 1 и ~0„~ ( з л ре (0,) хорошо аппроксимируется так: р (О )=~ — 'созО е '""" и'. (5.2.60) Поставив (5.2.60) в (5.2.56) и выполнив замену переменной О„на и = /2у, з[пО„ найдем сдвигом фазы несущей на 180 относительно предыдущего значения фазы несущей, в то время как информационный символ 0 передается без сдвига фазы. В четырехфазной ДФМ относительный сдвиг фаз между соседними сигнальными интервалами равен О, 90', 180', и — 90 в зависимости от информационных символов 00, 01, 11 и 10 соответственно.
Обобщение на случай М>4 очевидно. Сигналы ФМ, получаемые при таком процессе кодирования, называют дифференциально-кодированными. Такое кодирование выполняется относительно простой логической схемой, предшествующей модулятору. Демодуляция сигнала при дифференциальном кодировании ФМ может выполняться, как описано выше, с игнорированием неоднозначности фазы. Так, принимаемый сигнал демодулируется и детектируется на каждом сигнальном интервале в одно из М возможных значений фазы.
За детектором имеется относительно простое устройство сравнения фаз, которое сравнивает фазы демодулированных сигналов на двух соседних сигнальных интервалах с тем, чтобы извлечь информацию. Когерентная демодуляция для ФМ с дифференциальным кодированием приводит к большей вероятности ошибки, чем вероятность ошибки, достигаемая при абсолютном фазовом кодировании. При ФМ с дифференциальным кодированием ошибка при демодуляции фазы сигнала на данном интервале будет обычно возникать при ошибочном декодировании на любом из двух соседних сигнальных интервалов.
Это особенно характерно для ошибок с вероятностью ниже 0,1. Следовательно, вероятность ошибки М-позиционной ФМ при дифференциальном кодировании приблизительно вдвое больше вероятности ошибки для М-позиционной ФМ с абсолютным кодированием фазы. Однако увеличение вероятности ошибки вдвое ведет к относительно малым потерям в ОСШ. 5.2,8. Дифференциальная ФМ (ДФМ) и ей характеристики качества Сигнал дифференциально-кодированный фазовой модуляции 1ДФМ) позволяет использовать вид демодуляции, который не требует оценки фазы несущей'. Вместо этого принимаемый сигнал на заданном сигнальном интервале сравнивается по фазе с принятым сигналом на предыдущем сигнальном интервале.
Для детальной разработки предположим, что мы демодулируем сигнал ДФМ путем умножения г(г) на соз2згу.г и з1п2ф;г и интегрируем произведения на интервале 'Г. На 1г -м сигнальном интервале выход демодулятора равен г, =[Дсоз(э,-ф)+г1„, Д з1п(О,-ф)+н„,~ или, что эквивалентно, г, =;1й,е'~ ' е~+и,, (5.2.63) где г, — комплексное число, 6„— фазовый угол переданного сигнала на Й-м тактовом интеРвале, ф — фаза несУщей и и = пы + 1н„, — вектоР шУма. Аналогично пРинЯтый сигнальный вектор на выходе демодулятора на предыдущем сигнальном интервале равен г„, = Д е'~ ' ' ~) + и„, .
(5.2.64) В фазовом детекторе решение принимается по разности фаз между двумя комплексными величинами. Эквивалентно мы можем проектировать гь на г„, и использовать фазу результирующего комплексного числа, т.е. получим ' Поскольку не требуется оценки фазы, ДФМ часто рассматривается квк техника некогерентной связи. Мы придерживаемся точки зрения, что ДФМ представляет вид цифровой модуляции фазы в экстремальном случае, когда требуется оценка фазы только от предыдущего символьного интервала, 231 г„г,, = о,е~( ' ' ') + Д е'~ ' ф)п„,, + Яе ~( ' ' ф)п + и и (5.2.65) откуда при отсутствии шума может быть точно определена разность фаз 6, — О,, Таким образом, значение гг„, не зависит от фазы несущей.
Дифференциально кодированные сигналы ФМ, которые демодулируются и декодируется описанным выше способом, называют обычно дифференциальной ФМ (ДФМ). Демодуляция и детектирование ДФМ с использованием согласованных фильтров иллюстрируются рис. 5.2.11. Если импульс я(1) прямоугольный,,согласованные фильтры можно заменить интеграторами со сбросом. Теперь рассмотрим зволюцию характеристики качества (вероятности ошибки) демодулятора и детектора ДФМ. Точный расчет величины вероятности ошибки для М-позиционной ДФМ очень сложен, исключая случай М=2. Наибольшая трудность связана с определением ФПВ для фазы случайной величины г„г," „определяемой (5.2.65). Однако, как мы теперь покажем, легко получить аппроксимацию характеристики качества ДФМ, Прнннмае еиГнзл Выходное решение Рнс.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
