Прокис Дж. Цифровая связь (2000) (1151856), страница 45
Текст из файла (страница 45)
Если положим д,(/) = Ь(/) и д7(/)=и(Т вЂ” /), то ясно, что ОСШ максимизируется, когда Ь(/)=Сл(Т вЂ” /), т.е. Ь(7) согласовано с сигналом 4/) . Константа С' не входит в ОСШ, так как она одновременно присутствует в числителе и знаменателе, Выходное (максимальное) ОСШ, получаемое при помощи согласованного фильтра, равно ОСШ, = —, ~ й(/)г/г = 27г/Ф, . (5.1.24) о Заметим„что выходное ОСШ у согласованного фильтра зависит только от энергии сигнала я(/), но не от детальных характеристик з(/).
Это другое интересное свойство согласованного фильтра. 200 который определяет задержку сигнала на Т. Другими словами, ~Н(~)~=~ЛЯ~, так что амплитудно-частотная характеристика согласованного фильтра идентична амплитудно- частотной характеристике сигнала. С другой стороны, фазовая характеристика НИ противоположна по отношению к фазочастотной характеристике сигнала 5(~) .
Если сигнал со спектром ф) проходит через согласованный фильтр, то отклик ~~г фильтра на этот сигнал имеет спектр У(г)=~Я(~)~ е'~'~~. Следовательно, сигнальная составляющая на выходе фильтра у„(г) = ) УЯа"""й~ = ) ~ЯЯ е 'г"~ге'г'"ф". (5.1.2б) В точке г = Т имеем у,.(Т) = ~ ~З(~)~ г = ~ .г(г) а =:, причем последний шаг преобразования следует из соотношения Парсеваля.
Шум на выходе фильтра имеет спектральную плотность мощности Фо(Х) = г~Н(Х)~ 1~0 (5.1.28) Следовательно, суммарная мощность шума на выходе согласованного фильтра Р, = ) Фо(Х)4 = г 1УО) ~Н(Х~ Ф=г А'о~ !~(Х)~ Ф=г01УО (5129) Выходное ОСШ равно отношению мощности сигнала Р,. Р, = у,. (Т) = К' к мощности шума Р„. Следовательно, Р, К ОСШ,, 2У/У, О-р -гкло о что совпадает с результатом (5.1.24).
(5.1.27) (5.1.31) Пример 5.1.2. Рассмотрим М = 4 биортогональных сигналов для передачи информации по каналу с АБГШ. Два сигнала из этого ансамбля с положительной полярностью показаны на рис.5.1.8, а. Считается, что шум имеет нулевое среднее и спектральную плотность мощности —,' Уо. Определим базисные функции для этого ансамбля сигналов, импульсную характеристику согласованного фильтра в качестве демодулятора и выходной сигнал согласованного фильтра-демодулятора, когда передан сигнал з,(г) .
Ансамбль из М = 4 биортогональных сигналов имеет размерность Ф = 2 . Следовательно, требуются две базисные функции для представления сигналов. Согласно рис. 5.1.8 выберем эти базисные функции г,(г) и уг(г) так: Х(г) = 2~Т 0<г<гТ, г 0 (для других г); 1'5.1. 32) (~Г)т -',Т<г< Т, Хг г ~ 0 (для других г). Эти два сигнала иллюстрируются рис. 5.1.8, а. Импульсные характеристики фильтров, согласованных с этими сигналами, равны 204 л г!!) '~ Я!) '~2/Т (а) 12!т '- ! о Т/2 Т )Тй Тй Т ЗТ/2 /!,1!'=Я(т-!) „ь|(!)=.т!(т-!) Бт ~ (ь) — " — — > Тй Т ЗТ!2 о Тй Т ЗТ/2 л у (!) ! '!' У„(!) !Азтй ! '/Азтй 1 (с) — — — > тй т зтй 'Н2 Т ЗТй Рис. 5.1.8. Базисные функпии и отклики согласованных фильтров на сигнал з,1!)=Ау!(!) лля примера 5.1.2 ~.фт ',ТЫ~Т, /т!(!) = Т!(Т-/) = ~ ~ О (для других /), (5.1.33) у„(Т) =~ и(/)Х„(/)а, / =1,2.
(5.1.35) Ясно, что Е1 и„) = Е '1ув,( Т)1 = О. Дисперсии шумовых компонент на выходе фильтра сг, = Е~у/,.'я(Т)] = ~ ~ Е(п(/)п~.ф„(/)Цт)///от = (5.1.36) Уе ~ ~ б(/ — т)тя(/)Тя(т)гт/тат = з./)/в ~ ~е (/)й = -. Л„. Видим, что ОСШо для первого согласованного фильтра р Ф) ОСШ = — ' = —., = 2 К/Л/,, о — Р—, !1/ — ' о (5.1.37) 205 ГДт О</<ЬТ, О (для других 1). Они иллюстрируются на рис. 5.1.8, Ь. Если передан з!(/), то сигналы на выходе согласованных фильтров уо(/) и у,,(/) (без шумов) имеют вид, показанный на рис. 5.1.8,с.
Поскольку берутся отсчеты выходных сигналов в точке /= Т, то видим, что уи(Т) =~)-, 'А'Т, а уз,(Т) =О. Заметим, что ! 3 —, А-Т = 8 — это энергия сигнала. Вектор сигналов, формируемый на выходе согласованных фильтров в точке / = Т, равен =1 М~+и "1 (5.1.34) где и, = у„,(Т) и /зз = у„,(Т) — шумовые компоненты на выходе согласованных фильтров, определяемые так: что совпадает с нашим предыдущим результатом. Заметим также, что четыре возможных выхода двух согласованных фильтров, соответствующих передаваемым сигналам, равны (г,,г,) =( IЖ+п„п,), (п„Л ьп,), (-' Ы ьп„п,) и (и„- /8 ьп,).
где р(г~в„,) — условная ФПВ наблюдаемого вектора при передаче в„,, а Р(в„,) — вероятность т-го передаваемого сигнала. Знаменатель (5,1.38) можно выразить так: р(г) = > р(г~в,»)Р(в,»). (5.1.39) Из (5.1.38) и (5.1.39) видим, что вычисление апостериорных вероятностей Р(в„,)г) требует знания априорных вероятностей Р(в„,) и условных ФПВ Р(в„,~г) для т=1,2...,М.
Некоторое упрощение имеет место при использовании правила МАВ, когда М сигналов имеют одинаковую априорную вероятность, т.е. Р(в„,)=1/М для всех М. Более того, заметим, что знаменатель (5.1.38) не зависит от того, какой сигнал передается. Следовательно, правило решения, основанное на нахождении сигнала, который максимизирует Р(в„,~г), эквивалентно в рассмотренном случае нахождению сигнала, который максимизирует р(г~ в„,) . Условную ФПВ р(г~в„) или некоторую монотонную функцию от нее обычно называют функцией правдоподобия. Правило решения, основанное на максимизации р(г)в,») по всем ' Автор здесь и в дальнейшем использовал термин «критерий решения», который представляется не подходящим (прп). 206 5.1.3.
Оптимальный детектор Мы показали, что при передаче сигналов через канал с АБГШ демодулятор на основе корреляционной схемы или на основе согласованных фильтров выдает вектор г = [~; г, ...г„], который содержит всю доступную информацию о принимаемом сигнале. В этом разделе мы опишем оптимальные правила решения, основанные на наблюдаемом векторе г.
Предположим, что сигналы, передаваемые на последовательных сигнальных интервалах, не имеют памяти. Мы желаем синтезировать детектор сигнала, который выносит решение о передаваемом сигнале на каждом сигнальном интервале, основываясь на наблюдении вектора г в каждом интервале, так, чтобы максимизировать среднюю вероятность правильного решения. С этой целью рассмотрим правило решения, базирующееся на вычислении апостериориых вероятностей Р(в„,~г), т=1,2...,М, и на выборе сигнала, соответствующего максимуму ряда апостериорных вероятностей Р(в„,~г)] . Позже покажем, что это правило максимизирует среднюю вероятность правильного решения и, следовательно, минимизирует среднюю вероятность ошибки.
Такое правило решения названо правилом максимума апостериорной вероятности (МАВ). Используя правило Байеса, апостериорную вероятность можно выразить так: ,(,~,) р(~.,) („,) р(г) М снгнал~м, называют правилом максимального правдоподобия (МП). Видим, что детектор, основанный на правиле МАВ и тот, который основан на правиле МП, обеспечивают одинаковое решение при одинаковых априорных вероятностях р(в„,), т.е. при равновероятных сигналах (в„,) . В случае АБГШ в канале функции правдоподобия р(г~з„,) определяются (5.1.12).
Для упрощения расчйтов будем использовать натуральный логарифм от р(г~з„,), который является монотонной функцией. Таким образом, и з 1пр(г~в„,) = — —,' Ф 1п(хМ,)- — ~~~(г„- з„а) . (5.1.40) О в ! Максимизация 1пр(г!в„,) по в„, эквивалентна нахождению сигнала з„,, который минимизирует евклидово расстояние К Р(г,з„,)= ~> (г„-в„,„) . (5.1.41) Ф ! Р(г,в„,), т=1,2..., М, называют дистанционными характеристиками. Следовательно, для канала с АБГШ правило решения, основанное на правиле МП, сводится к нахождению сигнала з„„который наиболее близок по расстоянию к принимаемому сигнальному вектору г.
Мы будем ссылаться на это правило решения как на детектирование по минимуму расстояния. Другую интерпретацию оптимального правила решения, основанного на правиле МП, можно получить путем раскрытия дистанционных метрик в (5.1.41): Ф Ф н Р(г,з„,)=~~~ г„'-2~~' г;за+~~~ в„',„=!г~ -2г в„,+~в„,~, т=1,2...,М. (5.1.42) в ~ 2 Слагаемое ~Ы вЂ” общее для всех дистанционных метрик, и, следовательно, его можно не учитывать при вычислении метрик. Новый результат сводится к ряду модифицированных метрик Р'(г,з„,) = — 2г.з„, +~з„,~ . (5.1.43) Заметим, что выбор сигнала в„,, который минимизирует Р'(г,з„,), эквивалентен выбору сигнала, который максимизирует метрику С(г, з„,) = — Р'(г, в„,), т.е.
С(г,в,„)=2г з„,-~в ~ . (5.1.44) Слагаемое г.в„, представляет проекцию принимаемого вектора сигнала на сигнальные векторы всех М возможных для передачи сигналов. Величина каждой такой проекции является мерой корреляции между принятым вектором и т-м сигналом. Из этих соображений мы называем С(г, в„,), т =1,2..., М, корреляционными метриками для '2 решения того, какой из М сигналов был передан. Наконец, слагаемые ~з ) =~гв„ т=1,2...,М можно рассматривать как пороговые слагаемые, которые служат компенсацией для ансамбля сигналов с неравными энергиями сигналов, такого, как при АМ.
Если и все сигналы имеют одинаковую энергию, ~з„,~, можно не учитывать при вычислении корреляционных метрик С(г,з ) и дистанционных метрик Р(г,з„,) или Р'(г,в„,). го7 Легко роказать (см. задачу 5.5), что корреляционные метрики С(г,в„,) можно также выразить так: С(г,вв,)=2$ г(Г)в„,(Г)й — 1';в, т=0,1,„,,М, (5.1,45) Следовательно, эти метрики можно генерировать демодулятором, который определяет корреляцию принимаемого сигнала с каждым из М возможных к передаче сигналов и устанавливает для выхода коррелятора вычитаемый порог в случае сигналов с неравными энергиями.
Эквивалентно принимаемый сигнал можно пропустить через блок из М фильтров, согласованных с возможными к передаче сигналами 1в„,(г)1, и взять отсчеты в конце символьного интервала т = Т. Следовательно, оптимальный приемник (демодулятор и детектор) можно выполнить по альтернативной схеме, показанной на рис. 5.1.9. з,(0 1колное шелле Принимаемый сигнал т10 Отснаг в момент ~=Т Рис. 5.!.9. Альтернативная реализация оптимального приемника лри АБГШ Пример 5.1.3. Рассмотрим случай двоичных сигналов АМ, когда две возможные сигнальные точки равны в, = -вз = Д, где в„' — энергия на бит.
Априорные вероятности равны Р(в,) = р и Р(вя) =1 — р. Определим метрики для оптимального МАВ детектора, когда передаваемые сигналы искажаются АБГШ, Суммируя, можно сказать, что мы показали, что оптимальный МП детектор вычисляет набор из М расстояний зЭ(г,в„,) или В'(г,вм) и выбирает сигнал, соответствующий минимальной (дистанционной) метрике. Эквивалентно оптимальный МП детектор вычисляет набор из М корреляционных метрик С(г,в„,) и выбирает сигнал, соответствующий наибольшей корреляционной метрике.
В вышеприведенном исследовании оптимального детектора рассмотрен важный случай, когда все сигналы равновероятны. В этом случае правило МАВ эквивалентно правилу МП. Однако, когда сигналы не равновероятны, оптимальный МАВ детектор основывает свои решения на вероятностях Р(в„,~г), т =1,2..., М, даваемых (5.1.38), или, что эквивалентно, на метриках РМ(г,вм) = р(гаазе,)Р(в„,) . Следующие примеры иллюстрируют эти расчеты для сигналов двоичной АМ. Вектор принимаемого сигнала (одномерный) для двоичной АМ равен « =+Я+у„(Т), 15.1.46) где у„1Т) — гауссовская случайная величина с нулевым средним и с дисперсией а'„= 1 Ф,. Следодртельно, условные ФПВ р(«~з„,) для двух сигналов ( -к)' 1 р(«~з,) = — ех /2ла„ (5.1.47) 2а' ("к)' 1 р(«~з,) = — — ех (5.1.48) 2а„' Поэтому метрики РМ(г,з,) и РМ(г,я,) равны ( -~)' РМ(г|з,) = р- р(«~з,) = — ехр— /2ка„ 2а,, 15,1.49) РМ(г~з,) =(1-р) р(«~з,) = ехр— — ("Ю (5.1.50) Если РМ(г,з,)>РМ(г,з,), выберем з, как переданный сигнал; в противном случае выберем з,, Такое правило решения можно выразить так: с 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
