Прокис Дж. Цифровая связь (2000) (1151856), страница 42
Текст из файла (страница 42)
Книга Лакки и др.(1968) также содержит трактовку спектральных характеристик ЧМНФ. Большинство из недавних новых работ имеется в публикации Сандберга (1986). Мы должны также процитировать специальные исследования по частотной эффективности модуляции и кодирования, опубликованные 1ЕЕЕ Ттапзас1юпз оп Сопппишсайоп (март 1981). Там имеются несколько статей по спектральным характеристикам и характеристикам качества МНФ. 189 Обобп1ение ММС на много амплитуд было исследовано Вебером и др. (1978).
Комбинация многих амплитуд с общей системой МНФ была предложена Маллиганом (1988), который исследовал их спектральные характеристики и их характеристики качества (вероятности ошибки) в гауссовском шуме при отсутствии и наличии кодирования. ЗАДАЧИ а) Покажите, что Е1с(!)2(г+ !)1 = О. Ь) Предположим, что фм(т) = Фсб(т), и пусть ь = ~ 2(!) Й. Определите Е(1'~) и Е(И' )= Е~Ц ).
4.4. Определите автокорреляционную функцщо случайного процесса Х(!) = Аз1п(2лД,'!+О), где 1;, — константа, а 6 — равномерно распределенная случайная фаза, т.е. р(6) = 1/2я, 0~6 <2я. 4.5. Докажите, что з!(!) — в общем случае комплексный сигнал, и веществен. Предположите, что х1!) — вещественный полосовой сигнал. 4.б.
Предположите, что з1!) или вещественный, или комплексный приближенно линейной комбинацией ортогональных функций (Я!)), т.е. к з(!) =,~ зьув(!), ь=! определите условия, когда он сигнал, который представлен где 190 4.1, Докажите следующие свойства преобразования Гильберта: а) Если х(!) = х(-!), тогда х(!) =-х(-!); Ь) Если х(!) = -х(-!), тогда х(!) =х( — !); с) Если х(!) = сов!яр!, тогда х(!) = йище!; с1) Если х(!) = з!позе!, тогда х( ! )= -спасов!; е) хт(!) = -х(!); 1) ~ х'(!) о! = )! х'(!) й; 8) ) х(!)ф) й = 0.
4.2. Если Х(!) — стационарный случайный процесс с 1автакорреляциоиной функцией ф (т) = Е(Х(!)Х(1 +т)' и спектральной плотностью мощности Ф (!'), тогда покажите, что ф-(т) = ф ( !), ф -(т) = -ф (т) и Ф-(! ) = Ф (!) . 4.3. Предположим, что Л!(!) — узкополосный стационарный случайный процесс с нулевым средним, представленный (4.1.37), 14.1.38) или 14,1.39). Автокорреляционная функция эквивалентного низкочастотного процесса с(!) = Х(!) + уу(!) определяется так: Фн(т) = З~Е~У (!)ф+ т)] . Ф Определите коэффициенты (зя) в выражении з(!) так, чтобы минимизировать энергию б, = ~ ~ (!) -з(г~ й и соответствующую остаточную ошибку е,, 4.7. Предположите, что имеется ансамбль из М комплексных сигналов (з!ж(!)~ .
Получите уравнения для процедуры Грама-Шмидта, которые приводят к ансамблю Ф < М ортонормированных сигналов. 4.8. Определитр коэффициенты корреляции рь„четырбх сигналов~я!(!)), показанных на рис.4.2.1, и соответствующие расстояния Евклида. 4.9. Рассмотрите ансамбль М ортогональных сигналов (я„,(г)), 1<т< М, 0<1 <Т, каждый из которых имеет одинаковую энергию Ж . Найдите новый ансамбль из М сигналов так, чтобы з,',(г)=з„(Г)-М,~ зя(!), 1<т<М, 0<г~Т. Покажите, что М сигналов (зк(г)! имеют равную энергию, определяемую так: й =(М-1)Ь~М, н онн одинаково коррелированы с коэффициентом корреляции Ркл = б!г ) зт(!йище)п! = М 4.10. Рассмотрите три сигнала Д,(!), показанных на рис.
Р4.10. а) Покажите, что зти сигналы ортонормированы. Ь) Выразите сигнал х(г) как взвешенную линейную комбинацию Я), и = 1, 2, 3, если и определите коэффициенты взвешивания. Л10 1/2 Фйб !!2 !/2 Рнс. Р4.10 4.11. Рассмотрите четыре формь! сигналов, показанных на рис. Р4.11. а) Определите размерность сигналов и ансамбль базисных функций. Ь) Используйте базисные функции лля представления четырех сигналов векторами я„зз, яз и яя. с) Определите минимальное расстояние межлу любой парой векторов. за!0 + 10 2 Ф г,!0 2' 0 0 -!! 0 0 -! Рнс.
Р4.11 191 ~ 2Я 4.12. Определите ансамбль ортогонаяьных функций для четырех сигналов, показанных на рис. Р4.12. 22(2) ~212) 2 0 ,12) 2 1 0 + 0 ! 2 3 2 П, Рис. Р4.12 4.13. Низкочастотный гауссовский случайный процесс Х(2) имеет спектральную плотность мощности ) л2, ))у) < в), (]у] ) Определите спектральную плотность мощности и автокорреляционную функцию случайного сигнала У(2) — Х (г) 4.14. Рассмотрите эквивалентный низкочастотный модулирующий сигнал в виде ь(2) = ~(а„к(2-злг)-2Ь„Х(2 — 2227 — 2)] 2я2) = ~(?„я(2 — 2лр)] О где 1я принимает одно из четырех возможных значений ~2 (х1 Я Последовательность информационных символов (1„) статистически независима.
, а) Определите и нарисуйте спектральную плотность мощности и(1), когда с равной вероятностью. ]А (0«<Т), (О для других и Ь) Повторите (а), когда Аз)п(к2/2Т) (О ~ 2 < Т), 0 для других д 292 где (а„] и (Ь„) — две последовательности статистически независимых двоичных символов, а у(1)— синусоидальный импульс, который определяется так: (яп(яг/2Т) (О < 2 < 2Т), 0 для других и Этот вид сигнала рассматривается как четырехфазовая ФМ, причем огибающая импульса й(~) составляет полпериода синусоиды.
Каждая из информационных последовательностей (а„) и (Ь„) передается со скоростью 12Т бит2с, и, следовательно, общая скорость передачи равна 1/Т. Две последовательности синхронизированы во времени для передачи с задержкой на интервале т. как следствие. сигнал и(г) назван сигналом четырехфазовой ФМ со сдвигом, а) Докажите, что огибающая ]и(г)] — константа, независимо от информационных символов а„в синфазной компоненте и информационных символов ?я в квадратурной компоненте. Другими словами, амплитуда несущей, используемая для передачи, постоянна.
Ь) Определите спектральную плотность мощности я(г) . с) Сравните спектральную плотность мощности, полученную в (Ь), со спектральной плотностью мощности сигнала ММС. Какое заключение Вы можете сделать из этих сравнений? 4.15. Рассмотрите сигнал четырехуровневой ФМ, представленной эквивалентным низкочастотным сигналом с) Сравнз4те ширины полос спектров, полученных в (а) и (Ь), на уровне ослабления в 3 дБ и по полосе, определяемой первым нулем. 4.16. Случайный процесс У(г) определен так: У(г) = Хсо52кг т — 1 з!п2к(;2, где Х и у — случайные величиньь Покажите.
что процесс У'(!) стационареи в широком смысле, если, и только если Е(Х) = Е( т) = О, Е(Х ) = Е(У~) и Е(ХУ) = 0 4.17. Выполните ортогонализацию по Граму-Шмидту сигналов рис. 4.2.1 (а) в порядке яя(г), зз(г) „з,(4) и затем получите ансамбль ортогоиаяьных функций (Яг)) . Определите векторные представления сигналов (з„(!)), используя ортонормированные функции (~„(г)) . Определите также энергии сигналов. 4.18. Определите представление в пространстве сигналов четырвх сигналов з4(!), 8 = 1, 2, 3, 4, показанных на Рис. Р4.! 8, использУЯ оРтоноРмальные базисные фУнкции Т!(Г) и Тз(г) . НаРисУйте диагРаммУ пространства состояний для четырех сигналов и покажите, что этот ансамбль сигналов эквивалентен ансамблю четырсхфазовой ФМ. 44(г) в )к чк' Ог ! — О' — — — — — -+ О, ! 1 ! 2 4 — .-ь 0 ! 2 Т(0 4 О Рис.
Р4.18 О, 4.19. Спектральная плотность мошности циклостационарного случайного процесса была получена в разд.4.4.1 путам усреднения автокорреляционной функции ф„„(4~т,!) за период т процесса, а затем вычислено преобразование Фурье от усреливнной корреляционной функции. Альтернативный подход заключается в преврашении циклостационарного процесса в стационарный процесс Уе(!) путем добавления случайной величины л, равномерно распределенной на интервале 0 < ь < т, так что и нахождении спектральной плотности для У(!) как преобразования Фурье автокорреляционной функции стационарного процесса Уа(!).
Получите результат (4.4.11) путйм вычисления автокорреляционной функции У (г) и ев преобразования Фурье. 4.20. Сигнал АМ с парцнальным откликом генерируется так, как показано на рис. Р4.20,— путем возбуждения идеального ФНЧ с полосой )У последовательностью йи ~п + ~п-! 193 13 — 56 со скоростью 1 Т = 2И' символов/с. Последовательность (/,) состоит из двоичных символов, независимо нз алфавита (1,— 1) с равной вероятностью. Следовательно, профильтрованный имеет вид выбираемых сигнал /'(/) Входные данные 1/„= а11 Рис. Р4.20 4 22. Покажите, что х(/) = ф) соз2я/ /+ 3(/) яп 2л/.'/ является однополосным сигналом, где сигнал ф) ограничен полосой В < /;, а з(/) — его преобразование по Гильберту.
4.23. Используйте результаты полученные в разд.4.4.3 для того, чтобы определить спектральную плотность мощности сигнала двоичной МЧС, определяемые так з(г)=янез/, /=1,2, Ойг<Т„ где ез, =ля/Т и аз =тя/Т, нагл, а а н л — произвольные положительные целые числа. Предположите, что р, = рз =~-.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
