Прокис Дж. Цифровая связь (2000) (1151856), страница 40
Текст из файла (страница 40)
(4.4.26) л(г;1) = Асоз~2л~;1+ф(г;1)~, (4.4.27) где О ф(Г; 1) = 2ттЬ ~, 1„г1(1 — 1гТ) . (4.4.28) 12 — 56 177 4.4.2. Спектр мощности дли сигналов ЧМНФ и МНФ В этом разделе мы получим спектральную плотность мощности для класса сигналов МНФ с постоянной амплитудой, которые были описаны в разд. 4.3.3. Начнем с расчета автокорреляционной функции и ее преобразования Фурье, как мы это сделали в случае линейной модуляции. Сигнал МНФ с постоянной амплитудой выражается так: Каждый символ последовательности (1„) может принять одно из М значений (- -'-- + 1, + 3,..., + (М вЂ” 1)) . Эти символы статистически независимы и одинаково распределены с априорными вероятностями Р„= Р(1„=п), п =+1, +2,..., +(М вЂ” 1). (4.4.29) импульс д(г) = е))(у(г) 1())к равен нулю вне 'интервала [О, 1.т~)„д(1) = О, г < О и ц(г) = -,' для 1 > 1.Т.
Автокорреляционная функция эквивалентного низкочастотного сигнала и(1) = е'ф("') равна ф..(!~ч!]=(е[ *р(~г~ф ~р]р(~+ -фт)-дф-фт)])) (4.4.30) (р=-а Сначала выразим сумму в показателе экспоненты как произведение экспонент Результат равен ф„„(~~~н) = -,'е[п ър]!р фр'(р(~+ — фт) — рЬ вЂ” фр)]]]'. (4.4.31) Далее найдем математическое ожидание по символам (1„), Поскольку эти символы статистически независимы, получаем р м-! ф„„(1+т;Г)=-,' П ) Рлехр(12тйп[д((+т — ЙТ) — д(~ — 1еТ)~~~. 'с=-рр л= — (М вЂ” !) (4.4.32) л нечетные Наконец, усредненная во времени автокорреляционная функция равна ф„(т) ='; ( ф„„ЯР+т ~~й).
(4.4.33) (4.4.36) 178 Хотя (4.4.32) подразумевает, что имеется неограниченное число множителей, импульс д(г) = (Щ())1()р1 = 0 для ! <0 и г > 1,Т, а (1(!) = 0 для 1 < О. Как следствие, только ограниченное число слагаемых в произведении имеет ненулевые значения показателя экспоненты. Таким образом, (4.4.32) можно существенно упростить. Если принять т = с+ тТ, где 0 < г, < Т и т = О, 1, ..., то усредненная автокорреляцнонная функция ' (4.4.33) приводится к результату ф,(Еч-тТ) = 1 р~р! ( м-! (4.4.34) =2Т) П ~ Х Р р]121 ~ч()+~-(К- )Т)-1((-1Т)~~~.
е ф-(-ь =-(м-!) л нечетные Рассмотрим ф (с+тТ) для с+тТ> 1.Т. В этом случае (4.4.34) можно выразить так: ф„„(Г+тТ) =[(])(16)] ф), т>1, Оьг, <Т, (4.4.35) где (]фЬ) — характеристическая функция для случайной последовател1,ности (1л), определяется так: м-! (])(11)) = Е(е' "") = ) Ре""", и=-(М-!) и нечетные а Ц~) — остаточная часть усредненной автокорреляционной функции, которую можно выразить как Преобразование Фурье ф„(т) дат среднюю спектральную плотность мощности Ф,.(Г)= [ф (~7 "и'о=ге( и [е.(.7.-"" 1 о (4.4.38) Но и 77' г )ф (т)е ""г'(2(т= )ф (т)е 7'"7'72(т+ Я (т)е "'7'тггт.
(4.4.39) о о АТ С учетом (4,4,35) интеграл в области ЙТ< т < о можно выразить так: и ., (пгпг)7 ~фрн(т)Е72'.Настен 7, ~ ф„„(т)Е72"гтс[т. (4.4.40) 77' пг й нг' Теперь пусть т = Р + тТ . Тогда (4.4.40) выражается как и и ) ф „(т)е "'7'727т = ~~~ ) ф„„(с,+тТ)е ' '~["'"")77т, ет =А о 7' р ~ ф)~7[7(71 )1 е-72кг [тын() р ~7 ([(п( 7.)е-ггпг п7' ~ Л(~) -72п/[йпЕТ) )~ пый и о о Характеристическая функция удовлетворяет условию [7[7(уЬ)[< 1. Для значений 77, для которых [т[7(/77)[ < 1, сумма в (4.4.41) сходится к результату ~~7 ([7" (777)е "'г"" = (4.4.42) =о 1 — ([7(7)7)е ' '77 В этом случае (4.4.41) приводит к виду и Т Я„„(т) е '"г'о[т = ..., Я,(с+ Т.Т) е 72'г(""р~сЕ,. (4.4.43) 27 1-7[7(777 е ' 7 о Объединяя (4.4.38), (4.4.39) и (4.4.43), получаем формулу для спектральной плотности мощности сигнала МНФ в виде (4.4.41) гт (г.г[т )е и р ' 'оп ' „ [ е„„(тг '"~'д ~~.
о 1 — 7[7() 17) е Ф„„(7) = 2В: (4.4.44) Это требуемый результат, когда ~([7(777)) < 1. В общем, спектральная плотность мощности вычисляется численно по формуле (4.4,44). Усредненную автокорреляционную функцию ф, (т) для области 0<т<(2',+1)Т можно вычислять численно из (4,4.34), Для значений 72, для которых [7[7(777)[ = 1, например Ь = К, где К вЂ” целое, можно положить ([7(7777) = е'2", 0 < ч < 1. (4.4.45) (гп 179 г о ( м г г(е)= — [П[ 2,Рыр[гг ь [(-р(г-птг[[) 2Т„,,[п ( (4.4,37) ° П Т.р„ р[гг пч(г:, е - пт))) г, и г.
Е=~-О и=-(М-7) и нечетные Таким образом, ф (т) можно представить произведением Л(~) и степени ([7(777), как указанно в (4.4.35) для т =с,+тТ~ ЕТ и 0<с < Т. Эти свойства используются ниже. Тогда сумма в (4.4.41) дает (4.4.46) Таким образом, спектральная плотность мощности теперь содержит дискретные компоненты, локализованные на частотах и+т — 0<~<1, и=0,1,2,.... (4.4.47) Результат (4.4.46) можно объединить с (4.4.41) и (4.4.39), чтобы получить полную спектральную плотность мощности, которая включает компоненту с непрерывным спектром и компоненту с дискретным спектром. Вернемся к случаю ~от(17т)~ «1.
Если информационные символы равновероятны, т.е. 1 Рн = — для всех и, то характеристическая функция упрощается до выражения М-! т1т(1'й) = — „~ е""' =— (4.4.48) н нечетные Заметим, что в этом случае т(т(7Ь) вещественно. Усредненная автокорреляционная функция, определяемая (4.4.34), также упрощается в этом случае: гг тч 1 81п2~ЙМ у(г+т — ИТ) — у(1 — МТ) ф „(т)= — ) Й. (4.4.49) 81п 2лА ~д(~ + т — ИТ) — <у(~ — 1гТ)1 Соответствующее выражение для спектральной плотности мощности Ф„„(~) =2 )ф „(т)со82л штат+ о (4.4.50) 1 — от 16)соз2л~Т 2 ф„(т) со82л АЖ . 1+ ~~у) -21Я 2л~т;, е 'ы)=т[ — ~А,'Я+ —,е,2,В...ИАЦА„И1, н=! ч=! «ны (4.4.51) где 81пл гТ вЂ” те(2и — 1 — М)Ь соз(2л7Т вЂ” а„„,) — от соя а„ы 1+ Цl" — 2ЦI соз2фТ (4 4 52) а„„, = тй(ит+ и-1- М), ( 1,) 81п Мтй Спектральная плотность мощности ЧМНФ для М= 2, 4 и 8 показана соответственно на рис. 4.4.3 — 4.4.5 как функция нормированной частоты г'Т при индексе модуляции от=2~„Т в качестве параметра.
Заметим, что на графиках показана только половина занимаемой полосы частот. Начало координат соответствует частоте несущей ~, . 180 Спектральная плотность мощности для ЧМНФ. Замкнутое выражение для спектральной плотности мощности можно получить из (4.4.50) тогда, когда огибающая импульса д(с) прямоугольная и равна нулю вне интервала 10, Т1. В этом случае фг) линейно для 0 < г < Т. Результирующую спектральную плотность мощности можно выразить так: А= 0,9 0,8 0,7 О,б О,б 0,5 0,5 0,4 0,3 0,3 0,2 0,2 О,! 0 о 0,4 0,8 1,2 Нормированная частотаТ Т 1,6 Нормированная частота / Т 1,! 1,О А=Ц~ Т 2,0 А=1,3 0,9 ! 1,8 0,8 1,6 0,7 1,4 0,6 1,2 0,5 1,0 0,4 0.8 0,6 0,3 0,2 0,4 0,2 0,1 0 0 0 !,б 0 0,4 0,8 1,2 Нормироввниав частота ТТ 0,4 0,8 1,2 Нормированная частота ~ Т 1,6 Графики показывают, что спектр ЧМНФ относительно узкий и хорошо ограничен при А <1.
Когда Ь приближается к единице, в спектре отмечаются большие выбросы, н при Ь = 1, когда ~Ч1~ = 1, мы находим, что пики возникают на М частотах. Когда Ь > 1, спектр получается значительно шире. В системах связи, в которых используется ЧМНФ, индекс модуляции рассчитывается так, чтобы экономить полосу, так что Ь < 1. 18! Рнс. 4.4.3. Спектральная плотность мощности двоичной ЧМНФ Т,Т ~ 1 й к сс р ' 1,о 1,О т т Г 1=ггт ~ ь=гг„т; ч 0,9 о,в 1 (а) ~ о,г 0,2 о,! О,! (Ь) о о 1 2 Нормированная частста (Т Нормированная часто~а ТТ 1,0 0,9 0,8 0,2 О,! 6=1,05 1 2 3 Нормированная частота (Т (а) ! 2 3 Нормированная частота (Т (Ь) (82 1,0 0,9! 0,8, 8 0,7 0,6 й 0,5 ч 0,4 о,з О 0,1 0,7 О,б Оа Й О,а Р ' .", оз ' сз 0,7 ь и в 0,6 о 0,5 ч 0,4 8 0,3 О 0,7 о о Р РО6 й 0,5 0,4 Й о,з сз 1 2 3 Нормированная частота ТТ Рис.
4.4.4. Спектральная плотность мощности 4-позиционной ЧМНФ 0,20 Б2~~Т ~' 0,18 ! 0,!б ' в 0,14 р 012 й О!О 0,08 ф 006 0,04 000 ' 4 0 Рис. 4.4.5. Спектральная плотность мощности 8-позиционной ЧМНФ Частный случай двоичной ЧМНФ с Ь= —,' (или ~, =1/(4Т)) и у =0 соответствует ММС. В этом случае спектр сигнала ° г -~ ~="."'(:",'.~-') (4.4.53) В (4.4.52) сигнальная амплитуда А =1. В противоположность этому спектр четырйх'фазной офсетной (квадратурной) ФМ (ОКФМ) с прямоугольным импульсом у(~) длительности Т равен е „Я = А'т~""'~) .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
