Прокис Дж. Цифровая связь (2000) (1151856), страница 44
Текст из файла (страница 44)
Следовательно, решение можно сделать, основываясь на выходах корреляторов г„= зад+и„, lг = 1, 2, ..., М. ПосколькУ сигналы 1зи(т)) детеРминиРованы, то сигнальные компоненты ь;,а детерминированы. Компоненты шума (и„) гауссовские, их средние значения равны Е(и„) = )о Е(и(т))Я)й = О (5.1.б) для всех и. Их ковариации (в том числе дисперсии) равны Е(и„иа,) = (т ( Е( (т) (т)]1„'(г)~„(т) гт~т = (5.1.7) =;Ы,~' ~'Ь(г- )Цг)Х„,йанН=+Н„5, Х„ЯДЯ )й=',НАа, где Ьаи = 1, когда ти = 1г, и равно нулю, если это условие не выполняется.
Следовательно. У шумовых компонент (и,) — некоррелированные гауссовские случайные величины с нулевыми средними и одинаковой дисперсией тт,, = —, Жо. Из вышеизложенного следует, что выходы корреляторов (г), определяемые ти-м переданным сигналом, являются гауссовскими случайными величинами со средними Е(г ) = Е(зя,„+ и„) = з„,„ (5.1,8) и одинаковыми дисперсиями 1с~в (5.1.9) Поскольку компоненты шума (и„) являются некоррелированными гауссовскими случайными величинами, они также статистически независимы. Как следствие, выходы корреляторов (г1), определяемые переданным и-м сигналом, — статистически независимые гауссовские случайные величины. Следовательно, условные плотности вероятности случайных величин (г! г, ...г ~)= г равны р(г! л„,) = П р(г„! ю„,„), гп = 1,2,..., М, (5.1.10) где р(г„~ю„„) = г — ех ъ1~ о з л,м 11'=1,2,...,У. (5.1.11) ! !!о Подставив (5.1.11) в (5.1.10), получим совместную условную ФП —,,>, пг= 1,2,..., М.
" (г„— „,„) а 1 р(г~г„,) =,,лп ехр (7!Ф,) (5.1,12) В заключение покажем, что выходы корреляторов (г„г„...г ) являются достаточной статистикой для принятия решения о том, какой из М сигналов был передан, т.е. что никакая дополнительная полезная информация не может быть извлечена из остаточного шумового процесса п'(г). В самом деле, процесс и'(г) не коррелирован с Ф выходами корреляторов ©, т.е. Е(п'(г)г„) = Е(п'(г))х„и + Е(п'(г)п„) = Е(п'(г)п,~ = Т л = )о Е[п(Г)п(т)~1„(т)гй —,,! Е(п,ЦьЯЯ = !=! = Е([ (5,1.1 3) =-ьЛу„'(г)--,' дг,г,(г) =0. Поскольку п'(г) и (г,.) являются гауссовскими и некоррелированными, они также статистически независимы. Следовательно, и'(г) не содержит информацию, которая касается вопроса о том, какой сигнал передан.
Вся относящаяся к делу информация находится в выходных данных коррелятора (~„). Следовательно, и'(г) можно пренебречь. Пример 5.1.1. Рассмотрим М-позиционный ансамбль базовых сигналов, в котором огибающая базового импульса у(г) прямоугольная, как показано на рис. 5.1.4. Аддитивный шум — белый гауссовский шум с нулевым средним. Определим базисную функцию у (г) и выход демодулятора корреляционного типа. Рис. 5,1.4.
Сигнальный импульс длл примера 5.1.1 200 Энергия прямоугольного импульса равна Ж = ~ у~(г)Ж = ~ а' Ж = а'Т Поскольку ансамбль АМ сигналов имеет размерность Аг = 1, есть лишь одна базисная функция Яг) . Она определяется так 5.12. Согласованный фильтр как демодулятор Вместо использования набора из У корреляторов для генерирования величин (~„) мы можем применить набор из У линейных фильтров. Для конкретности предположим, что импульсная характеристика фильтров такова: 6„(г) = Х„(Т- г), 0 < ( < Т, (5.1.14) где 1тк(т)) — тт' базисных фУнкций, и г(„(т) =О вне интеРвала 0<г< Т. Выходы этик фильтров равны у((г) = ~г(т)1(в(т — т)й" = ~гЩ„(Т вЂ” т-гт)ат, I(=1,2,...,Л'. (5.1,15) Взяв отсчет выхода в точке г = Т, получим у„(Т) = ~ г(т)~'„(т)Ыт = г„, lг =1,2,..., М.
(5.1.16) Следовательно, отсчет фильтров в точке г = Т точно определяет ансамбль величин (г(.), полученных на выходе У линейных корреляторов. Фильтр, импульсная характеристика которого (т(г) = а(Т вЂ” т), где а(г) предполагается заключенным в интервале 0 < т < Т, называется согласованным (рилыпролю для сигнала а(() . Пример сигнала и импульсной Ф лр('=.Ст-() 5(О характеристики согласованного с я( ним фильтра показан на рис. 5.1.5, (а) Рис. 5Л.5.
Сигнал т(() (а) и импульсная характеристика фильтра, согласован ного с т(() (Ь) 201 к ~~~. Т (О<г<Т), (,)= 1,(,)=, 7а Т [О (для других г). Выход демодулятора корреляционного типа равен г = ~в г(г)Я)си = — 1- ~ г(г)й . Гт Интересно отметить, что когда ~(г) — прямоугольная функция, коррелятор оказывается простым интегратором. Если подставим выражение для г(т), получим = э(-(ь (~;,(л:-к(г((а] =+[1 зла <- / к(4(а], — М+ где для шумового слагаемого Е(п) = 0 и а„=е[г (( (ли~~(дыс]= — 1 1 е(мд~н~1фы~= У, " г = — '~ ~ б(г- )йЖ=',У,. ФПВ для выходного отсчета равна ~ [.—;„)'1 р(г(х„,) = ( — — -ехр!— (('"""в ~ ' в Отклик фильтра на сигнал з(г) равен )!(г) = ~ з(т)з(Т- г+ т)ттт, (5.1.17) что по определению является временной автокорреляционной функцией сигнала з((). Рнсун!)к 5.1.6 иллюстрирует у(!) для треугольного импульса, показанного на рис.
5.1.5, гь т! Ф у(!) = ) т(!)т(Т-!!.т)е!т у(х) '' Заметим, что автокорреляцнонная функция у(() является четной функцией г и имеет пик в точке г = Т. В случае демодулятора, описанного выше, М согласованных фильтров согласованы с базисными функциями /в((). Рис. 5.1.7 иллюстрирует демодулятор па согласованных фильтрах, который выдает наблюдаемые величины (г!) . Рис.
5.1.6. Отклик согласованного фильтра определяет явтокорреляционную функцию з(!) Прими сигнал г(!) ° ° ° э ° в Отсчет в момент !ыг Рис. 5.1.7. Демодулятор на основе согласованных фильтров Свойства согласованного фильтра. Согласованный фильтр имеет ряд интересных свойств. Докажем наиболее существенное свойство, которое состоит в следующем: если сигнал 4() подвергается воздействию АБГШ, то фильтр, согласованный с сигналом 4(), макснмизирует на выходе отношение сигнал / шум (ОСШ). Чтобы доказать это свойство, предположим, что принимаемый сигнал г(г) состоит из сигнала з(г) и АБГШ п(г) с нулевым средним и спектралвной плотностью мощности Ф„А» ) = —,' /1(в Вт / Гц. Предположим, что сигнал г(г) прошел через фильтр с импульсной характеристикой /т((), О < г < Т, и берется отсчет на выходе в точке ( = Т.
Отклик фильтра на сигнальную и шумовую компоненту равен у(г) = ~ г(т))т(( — т)Ыт = ~ з(т)Ь(г - т)т/т+ ~ н(т)/т() — т)Нт . (5.1.18) В точке отсчета г = Т сигнальная и шумовая компоненты равны 202 (5.1.20) (5.1.22) Интерпретация согласованного фильтра в частотной области. Согласованный фильтр имеет интересную интерпретацию в частотной области. Поскольку Ь(/) = з(Т-г), преобразование Фурье такого сигнала 22571 = 1 277-0 гз"252 = [7 4575 "~55 ]55"25 =5 01~ 552'.
(5 1257 Видим, что согласованный фильтр имеет частотную характеристику, которая комплексно сопряжена с частотной характеристикой сигнала, и множитель еэ2"~7, ' у(Т) = ~ з(т)Ь(Т- т)Ж+ ] п(т)Ь(Т- т)7/т = у,(Т) + у„(Т), (5.1.19) где у5(Т) представляет сигнальную компоненту, а у„(Т) — шумовую компоненту. Задача сводится к выбору импульсной характеристики фильтра, который максимизирует на выходе отношение сигнал / шум (ОСШ), определяемое так: у,-'(Т) 1 '()1 Знаменатель в (5.1.20) определяет дисперсию шумовой компоненты на выходе фильтра. Определим Е]у,,(Т)~, т.е.
дисперсию выходного шума. Имеем Е[у,,(Т)] = [ ) Е[77(т)77(г)1Ь(Т-т) Ь(Т-/)от = (5.1.21) = ) Ф,~ ] 6(г-т)Ь(Т-т) Ь(Т-г) Йг/т =';Л/,~ Ь2(Т-т)Й. Заметим, что эта дисперсия зависит от спектральной плотности шума на входе и энергии импульсной характеристики Ь(/) . Подставив у5(Т) и Е[у,,(Т)] в (5.1.20), получим для ОСШ на выходе фильтра выражение [1'4,жт-,)5] [1'Х,ИТ-,~И,] ОСШ,— 7' 2 Л/о)5 Ь'(Т-/)Й 7 Л/о)5 Ь7(Т вЂ” г)Й Так как знаменатель в ОСШ зависит от энергии Ь(7), максимум ОСШ по Ь(/) можно получить максимизацией числителя в предположении, что знаменатель фиксирован. Максимизация числителя выполняется легко использованием неравенства Коши-Шварца, которое в общем гласит, что если д,(/) и д2(/) — сигналы с ограниченной энергией, то 12 яфд,(/);//1~ < [ я52ЯсЫ [ д,'(/)Й (5.1.23) с равенством, когда у,(/) = Сд2(/), С вЂ” произвольная константа.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
