Прокис Дж. Цифровая связь (2000) (1151856), страница 48
Текст из файла (страница 48)
5.2.4. Вероятность ошибки для двоичных снгнвпов !2 14 С!г,з!) =,/~.(Я+и,), С(г,з ) = (е',и„ (5.2.14) С(г,зм) = Р1п„. Заметим, что скалярный множитель Р'„можно исключить путем деления всех выходов на Я. Тогда с учетом нормирования ФПВ сигнала на выходе первого коррелятора (г! = Я+и) равна 2!9 52.2. Вероятность ошибки для М-позиционных ортогональных сигналов Для ортогональных сигналов равной энергии оптимальный детектор выберет сигнал, который приводит к наибольшей корреляции между принимаемым вектором г и каждым из М возможных к пеРедаче сигнальных вектоРов (зи1, т.е, С(г,з„,) =г з =,~г„зм, пу= 1, 2, ..., М.
(5.2.12) Ф ! Чтобы рассчитать вероятность ошибки, предположим, что передается сигнал з,. Тогда принимаемый сигнальный вектор Г=~Я РП! П, П, ...Пмт, (5.2.13) где п„п„п„...п,, — взаимно независимые случайные гауссовские величины с нулевыми средними и дисперсией о„' = —,' Ув, В этом случае выходы набора М корреляторов равны (х, -Я' 1 рл(х,)= ~ — ехр (5.2.15) а ФПВ сигналов на выходах остальных М вЂ” 1 корреляторов равны 1!х1! ро(х„,)=,— ехр~- — "'~, т=2,3, ..., М. (5.2.1б) ,/-~~а, о Р(п„, <г! ~г!) = 1 р„(х„,)с/хх, = з/,— ( е * "!ах. (5.2.18) Этн вероятности одинаковы для рп = 2, 3, ..., М, и, следовательно, совместная вероятность приводит к (5.2.18) в степени М-1.
Таким образом, вероятность правильного приема х Я-! р, = 1 ( — 1 х *' ж) р1~)х,, (5.2.19) а вероятность ошибки (/с-битового) символа равна Р„= 1 — Рр, (5,2.20) где хр[ "=Ы[ ц/у. (5.2.21) Такое же выражение для вероятности ошибки получим при передаче любого из других М-1 сигналов. Поскольку все сигналы равновероятны, то выражение Рм по формуле (5.2.21) определяет и среднюю вероятность ошибки. Расчйт по этой формуле можно выполнить численно. Для сравнения качества различных методов цифровой модуляции желательно иметь зависимость вероятности ошибки от ОСШ на бит 6; //т'„вместо ОСШ на символ бх / Уе. При М =2' каждый символ передайт /с бнт информации, и, следовательно, с', = И'. Таким образом, (5.2.21) можно выразить через б; / /з/е подстановкой бх Иногда также желательно выразить вероятность ошибки символа через эквивалентную вероятность ошибки на бит .
! ' Более общее понятие «эквивалентной вероятности ошибки», которое позволяет сравнивать между собой самые различные цифровые системы (с различными кодами и методами модуляции) в произвольных каналах введено Л.М. Финком ( 1(при). 220 Математически удобно сначала найти вероятность того, что детектор осуществляет правильный прибм. Это вероятность того, что г! больше, чем каждый из М-1 выходов корреляторов п„п„..., и„,.
Вероятность этого события определяется так: Рр = '( Р(п, < г„пз < б!,...,п„< г![г!)р(г!)Й; х (5.2.17) где Р(п, <г„п, <г„...,пм <гр~г!) — совместная вероятность того, что п„п„...,п„, меньше, чем г, при данном г,. Затем эта совместная вероятность усредняется по всем г!. Так как (гр,) статистически независимы, то совместная вероятность определяется произведением М вЂ” 1 собственных вероятностей вида (5.2.23) о ! а средняя вероятность ошибки на бит точно определяется делением (5.2.23) на Й вЂ” число бнт на символ. Таким образом, 2А-! Р Р = — Р = — "' /г»1, 2 — 1 2 ' (5.2.24) !0- Кривые зависимости вероятности ошибки на бит от ОСШ на бит йь //!/а даны на рис.
5.2.5 для М = 2, 4, 8, 16, 32 и 64. Эти кривые показывают, что с увеличением числа сигналов М можно уменьшить ОСШ на бнт, требуемое для заданной вероятности ошибки на бит. Например, чтобы достичь Р, = 10 , для М =2 требуется ОСШ на бит немного больше, чем 12 дБ, но если М увеличить до 64 сигналов (/г=б бит/снмвол), требуемое ОСШ на бит станет равным примерно 6 дБ. Таким образом, реализуется экономия выше 6дБ (сокращение в 4 раза) в передаваемой мощности (или энергии) для достижения Р„=10 ' прн увеличении числа сигналов М от 2 до 64. Каково минимальное значение й„' / Фа для достижения произвольной малой вероятности ошибки при М-+ со? На этот вопрос ответим ниже.
10--' 10-э $5 ~ Я! 0-4 О2 10-5 Объединенная граница для вероятности ошибки . Рассмотрим влияние 1 роста М на вероятность ошибки для ортогональных сигналов. Чтобы облегчить ОСШ набит, уь,лБ математический анализ, сначала найдбм р„с 521 верхнюю границу для вероятности ошибки на символ, которая намного проще, чем точная формула (5.2.21).
Напомним, что вероятность ошибки для двоичных ортогональных сигналов дается формулой (5.2.11). Теперь будем рассматривать детектор для М ортогональных сигналов !0 -4 Вероятность ошибки на бит для когерентного детектирования ортогонвльн ых сигналов ' Эту границу в литературе ча!це всего именуют адаптивной верхней границей (прп). 221 Для р4вновероятных ортогональных сигналов все вероятности ошибки на символ равновероятны, и они возникают с вероятностью Рм Рм (5.2.22) М-1 2" — 1 Далее имеется ~,',) возможностей путей, при которых из /г переданных битов и приняты с ошибкой. Следовательно, среднее число ошибочных битов на /г-битовый символ равно !О' Ф ! ! ! ! 1 ! 101д(1 р) 101я Мста 1 дБ ' (5.2.л5) Для М = 2 экономия составит 3 дБ. Однако по мере увеличения М экономия в ОСШ стремится к 0 дБ.
1О 1О' Если сГ,„;„— минимальное евклидово расстояние между парой сигналов из М возможных, тогда вероятность ошибки приема кодового блока определяется верхней границей так: 1О- 20 -4 О 4 3 12 1б ОСШ набит, тя,ль Рис. 5.2.6. Вероятность ошибки на символ лля биортогональных сигналов ( ~О1)' Р„<(М-1)Р, =(М-1)Д ", <2" ехр о Г5.2.3б) 4Аго Величина минимального евклидова расстояния будет зависеть от выбора кодовых слов, т.е. синтеза кода. 5.2.б. Вероятность ошибки для М-позиционной АМ Напомним, что М-позиционные сигналы АМ представляются геометрически как М одномерных сигнальных точек со значениями зн = Я Жа А„„т = 1,2, ..., М, (5.2.37) где ~„' — энергия базового сигнального импульса д(т) . Значения амплитуд можно выразить так: А„, = (2т — 1 — М)сГ, т = 1,2,..., М, (5.2.38) где евклидово расстояние между соседними сигнальными точками равно сГ Г26, .
Средняя энергия сигнала м сГт м с1г — ~(2т — 1 — М) = ' 1-,' М(М вЂ” 1)1 = —,'(М' — 1)с1'сг, (5.2.39) азы им 224 о а х 1Оо 5 в о й о 1Ои М ! 1, ! ! ,--1 1 'г — 1. ! 5.2.5. Вероятность ошибки для М-позиционной системы с двоичными кодовыми сигналами Мы видели в разд.4.3, что двоичные кодированные сигналы можно представить сигнальным вектором а„,=[з„з„, ...а„, ), т=1,2,..., М, ГДЕ Юи =+Р7й ДЛЯ ВСЕХ т И 1', У вЂ” ДЛИНа кодового блока, и она является также размерностью М -позиционного сигнала.
Эквива,пентно мы можем характеризовать этн сигналы их средней мощностью, которая равна "ер 6(М 1) (5.2.40) Ср~няя вероятность ошибки для М-позиционной АМ можно определить из правила выбора решения по максимуму метрик корреляции, определяемых (5.1.44). Эквивалентно детектор сравнивает выход демодулятора г с рядом М вЂ” 1 порогов, которые располагаются в средних точках между соседними уровнями амплитуд, как показано на рнс. 5.2.7. ян2 х,м лиг т„р Рис. 5.2.7. Расположение порогов в средних точках между соседними уровнями амплитуд Таким образом, решение выбирается в пользу уровня амплитуды, который расположен ближе всех к г. Расположение порогов, указанных на рис.5.2.7, помогает в вычислении вероятности ошибки.
Заметим, что если передается и-й амплитудный уровень, то выход демодулятора равен (5.2.42) 2(М- 1) вг М 6Р Т (5.2.44) или, что эквивалентно, г(М-1) ~' ба„ М У~ (5.2.45) (М' -1)М, 15 — 56 225 (5.2.41) где компонента шума и имеет нулевое среднее и дисперсию о',", = †,Ус. В предположении, что все уровни амплитуд априори равновероятны, средняя вероятность ошибочного приема символа равна вероятности того, что компонента шума л превосходит по амплитуде половину расстояния между соседними уровнями. Однако, когда передается один из двух крайних уровней ~(М-1), ошибка возникает только в одном направлении. Таким образом, мы имеем -д=- ~~ е ~'Ит = Вероятность ошибки (5.2.42) можно также выразить через среднюю переданную мощность.
Из (5.2.40) видно, что (5.2.43) Подставив И'ггя в (52.42), получим среднюю вероятность ошибки на символ для АМ через среднюю мощность: где 8:, = Р„Т -средняя энергия. При построении зависимости вероятности ошибки на символ М-позиционной системы АМ обычно используется ОСШ на бнт как базовый параметр. Так как Т = 11Т, и 1с = 1о8, М, (5.2.45) можно преобразовать к 2(М вЂ” 1) ~ (61ой, М16~, 15.2.4б) где 6'„, = Р Т, — сРеднЯЯ энеРгиЯ набит, а сэ„~АУ, — сРеднЯЯ ОСШ на бит. !О' Рисунок 5.2.8 иллюстрирует зависимость вероятности ошибки на символ от 1018~К,„/Уа) со значением М в качестве параметра. 10.2 -6 -4-2 0 2 4 6 8 10121416182022 ОСШна бит, умдБ Рис. 5.2.8.
Вероятность ошибки на символ для АМ 5.2.7. Вероятность ошибки для М-позиционной ФМ Напомним из разд. 4.3, что цифровой сигнал ФМ можно выразить так: 211 л„,(Г) = Д(Г)со 2!у~у+ — (лу — 1), 1 < и < М, 0< у < Т, (5.2.47) и он имеет векторное представление 2у! 2я в,„= [Я сов — (~ — И,ф; ип — (~-11], где 6,. = —,' Кя — энеРгиЯ каждого сигнала, а 8(1) — огибающаЯ импУльса пеРедаваемого сигнала. Поскольку сигналы имеют одинаковую энергию, оптимальный детектор в канале с АБГШ, определяемый (5.1.44), вычисляет корреляционные метрики (5.2.48) 226 а 1О. $ о л и о ~ д1Оа Е Ж Заметим, что случай М = 2 соответствует вероятности ошибки для двоичной системы противоположных сигналов. Также видим, что при фиксированной вероятности ошибки Рн ОСШ на бит возрастает более чем на 4дБ при каждом удвоении числа М. При очень больших М требуемый рост ОСШ прн удвоении числа М приближается к б дБ.
» С(г,в ) = г я, л2 = 1, 2, ..., М. (5.2.49) Другими словами, принимаемый сигнальный вектор г = 1г1 г2] проектируется на М возможных сигнальных векторов, и решение принимается в пользу сигнала с наибольшей проекцией. Корреляционный детектор, описанный выше, эквивалентен фазовому детектору, который определяет фазу принимаемого сигнала г и выбирает сигнальный вектор я, фаза которого ближе всего к фазе г.
Поскольку фаза г равна Ог = агс1я —, ~2 (5.2.50) 21 мы хотим определить ФПВ О„по которой сможем вычислить вероятность ошибки. Рассмотрим случай, когда фаза передаваемого сигнала ю,(г) равна О» = О, Следовательно, вектор переданного сигнала з,=ф 0), (5.2.51) а вектор принимаемого сигнала имеет компоненты (5.2.52) г2 = гг2. Поскольку и, и и, являются совместно гауссовскими случайными величинами' с нулевыми средними, следует, что г и г, являются совместно гауссовскими случайными величинами с Е(г,) = Я, Е(г,) = 0 и сг = ста = 2 Уе = ст-', .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
