Прокис Дж. Цифровая связь (2000) (1151856), страница 50
Текст из файла (страница 50)
5.2.11. Блок-схема демодулятора ДФМ Без потери общности предположим, что разность фаз О, — 6„, = О. Далее, экспоненциальные множители е '~" ~) и е'~ ' ф) в (5,2.65) можно включить в гауссовские шумовые компоненты п,, и п„без изменения их статистических свойств. Следовательно, г,.г,, в (5.2.65) можно выразить так: ген„', = й„+Д(п +п„',)+п„п,', (5.2.66) Сложность определения ФПВ фазы определяется слагаемым п,п„",.
Однако при больших ОСШ, представляющих практический интерес, слагаемое п„п,'., мало по сравнению с доминирующей компонентой шума Я(п,+п„,) Если мы пренебрежем слагаемым пр,, и нормируем у', делением на 116,, то получим новый ряд метрик, по которым выносится решение: х= Д+Ра~п„+п,',), (5.2.67) у = 1п1(п +и„,). 232 Поскольку мы предполагали, что 1О- разность фаз между сигналами на соседних интервалах равна О, ошибка * возникает, если 1ье(т,т,) < О. з к Вероятность того, что тять, +т„т,, <О, это специальный случай исследования, 3 данного в приложении В, где 2 обсуждается вероятность того, что общая квадратичная форма комплексных м' случайных гауссовских величин меньше нуля. Общая форма для этой вероятности дается (В.21) в приложении В, и она зависит всецело от первого н второго В ш. моментов комплексных гауссовских ~й случайных величин т,.
и т,, Вычислив 2 моменты и параметры, которые являются функциями моментов, получим !О' вероятность ошибки двоичной ДФМ в 5 виде Р з е-ьУи, (5.2.69) где у =$/Ф вЂ” это ОСШ набит. Графики Р,(уь) показаны на рис. 5.2.12. На этом графике показана также вероятность ошибки двоичной когерентной ФМ. Видно, что при вероятности ошибки Р, <10 ' раз менее 3 дБ.
При Р, <10 ' разница в ОСШ меньше 1 дБ. 1О 1О О 2 4 6 8 1О осшнабнт, уьлБ Рис. 5.2.12, Веролгность сшибки лля двоичной ФМ и ДФМ Гя ница в ОСШ между ФМ и ДФМ ' Этот результат можно получить значительно проще (см. Л.М. Финк [ 1) из формулы для вероятности ошибки двоичной системы сигналов, ортогоивльных в усиленном смысле, если учесть, что сигналы двоичной ДФМ на интервале 2 Т ортогонвльны в усиленном смысле (прп). 233 Здесь л и у являются некоррелированными гауссовскими случайными величинами с одинаковой дисперсией гг'„ = УО. Фаза равна О„= агсгй(у/х).
(5,2.68) На этой стадии мы имеем проблему, которая идентична той, которую мы решали ранее * для фазово-когерентной демодуляции. Единственная разница в том, что дисперсия шума теперь в два раза больше, чем в случае ФМ. На этом основании заключаем, что характеристика качества ДФМ на 3 дБ хуже, чем для ФМ. Этот результат относительно хорош для М>4, но он пессимистичен для М =2 в том смысле, что действительная потеря ДФМ относительно ФМ менее 3 дБ при больших ОСШ.
Это мы покажем ниже, В двоичной ДФМ два возможных значения фазы передаваемого сигнала равны 0 и уг. Как следствие, только реальная часть у, необходима для извлечения информации. Используя (5.2.67), выразим реальную часть так; Ъе(тт ) ='(тд, +т ть,), 104 Вероятность ошибки на бит для четырехфазной ДФМ с кодом Грея можно выразить через известные функции.
Мы просто сформулируем здесь результат, а читателю, интересующемуся деталями, рекомендуем приложение С. Результат выражается в виде Р, = Я(а,Ь) — г Ца. Ь) ехр~ — ~г(аг +Ь')~, где О,(аЬ) — это О-функция Маркума, определенная (2.1.122) и (2.1.123), »,(х) — модифицированная функция Бесселя нулевого порядка, определенная (2,1.120), а параметры а и Ь определяются так: = г~гг ~! —,/Д2), (5.2.71) ь= Ггу,1ь 7г~. Рисунок 5,2.13 иллюстрирует зависимость вероятности ошибки на бит для сигналов двух- и четырехфазной ДФМ и когерентной ФМ, полученную расчбтом по точным формулам этого раздела. 10' в 10' И и 5 3 10~ 10' 10' 0 2 4 б 8 10 12 14 ОСШна бит, тк,дд Рис.
5.2.13. Вероятность ошибки иа бит див двоичной и четырехфазной ФМ и ДФМ 5.2.9. Вероятность ошибки для КАМ Напомним из раздела 4.3, что сигнал КАМ можно выразить так к (») = А,ф») со82ф~;» — А,ф») 81п2к»';», (5.2.72) где А и А — содержащие информацию амплитуды квадратурных несущих, а у(»)- сигнальный импульс.
Векторное представление этих сигналов ю,='1А г/ г, А ~/,г ~. (5.2.73) Чтобы определить вероятность ошибки при КАМ, мы должны конкретизировать точки сигнального созвездия. Начнем с сигнального ансамбля КАМ, который имеет М=4 точки. Рис. 5.2,14 иллюстрирует два таких ансамбля. Первый (а) — это четырехфазный модулированный сигнал, а второй (Ь) — это четырйхфазный сигнал КАМ с двумя уровнями амплитуд, обозначенными А, и А„и четырьмя значениями фаз. Поскольку вероятность ошибки определяется минимальным расстоянием между парой сигнальных точек, примем 234 Поскольку двоичная ДФМ мало уступает двоичной ФМ при больших ОСШ и не требует разработки специального метода оценки фазы несущей, она часто используется в цифровых системах.
С другой с»"ороны, четырехфазная ДФМ приблизительно на 2,3 дБ хуже по качеству, чем четырехфазная ФМ при больших значениях ОСШ. Следовательно, выбор между этими двумя четырехфазными системами неоднозначен. Надо взвесить потери в 2,3 дБ и упрощения в реализации устройства.
условие, 5по Ы„',~ = 2А для обоих сигнальных созвездий, и рассчитаем среднюю переданную мощность, основываясь на предположении, что все сигнальные точки равновероятны. Для четырйхфазного сигнала имеем Р =~4-(4)2Аг =2А (5.2.74) Для двухамплитудной четырехфазной КАМ мы разместим точки на окружностях радиуса А и чГЗА. Поскольку Ы~'.~ =2А, имеем Р =:[4ЗАг)+2А']=2А', (5.2.75) что совпадает со средней мощностью для четырехфазного сигнального созвездия. Следовательно, для всех практических применений вероятность ошибки двух ансамблей сигналов одинакова.
Другими словами, нет преимущества двухамплитудного сигнала КАМ относительно четырехфазной модуляции, Рнс. 5.2.14. Два 4-точечных сигнальных созвездие ) 1з+гЖ (Ь) (а) Рнс. 5.2.15. Чстыое 8-точечных согвезднл сигналов КАМ Далее рассмотрим восьмиуровневый (М=З) сигнал КАМ. В зтом случае имеются много возможных сигнальных созвездий, Рассмотрим четыре сигнальных созвездия, показанных на рис. 5.2.15. Все оии характеризуются двумя амплитудами и имеют минимальные расстояния между сигнальными точками 2А. Координаты (А„„А ) для 235 каждой сигнальной точки, нормированные по А, даны на рисунке. Предполагая, что все сигнальные точки равновероятны, получаем для средней переданной мощности сигнала М ~2 М Р = — ~ (А', + А' ) = — ~ ~а', + а„'„), (5 2 76) где (а„„а,) — координаты сигнальных точек, нормированные по А, Два сигнальных ансамбля (а) и (с) на рис, 5.2.15 содержат сигнальные точки, которые лежат на сетке прямоугольника и имеют Р = 6А'.
Сигнальный ансамбль (Ь) требует переданную среднюю мощность Р =6,8А', а ансамбль (222) требует Р„=4,73А'. Следовательно, четвертый сигнальный ансамбль требует примерно на 1 дБ меньше мощности, чем первые два, и на 1,6дБменьше мощности, чем третий, для того, чтобы достичь той же вероятности ошибки. Это сигнальное созвездие известно как лучшее восьмиточечное КАМ созвездие, так как оно требует наименьшей мощности при заданном минимальном расстоянии между сигнальными точками. Для М>16 имеется намного больше возможностей для выбора сигнальных точек КАМ в двухмерном пространстве.
Для примера мы можем выбрать круговые многоуровневые созвездия для М=16, как показано на рис. 4.3,4. В этом случае сигнальные точки при заданной амплитуде поворачиваются по фазе на 4 и относительно сигнальных точек соседних уровней амплитуд. Это созвездие 16 КАМ является обобщением оптимального созвездия 8 КАМ. Однако круговое созвездие 16КАМ не является наилучшим 16-точечным созвездием КАМ в канале с АБГШ. Прямоугольное сигнальное созвездие КАМ имеет отчетливое преимущество с точки зрения простоты генерирования, как два сигнала АМ, переданные на квадратурных по фазе несущих. Кроме того, оно легко демодулируется.
Хотя оно не являются наилучшим М-позиционным сигнальным созвездием при КАМ для М>16, средняя переданная мощность, требуемая для достижения заданного минимального расстояния, лишь ненамного больше, чем средняя мощность, требуемая при наилучшем сигнальном созвездии КАМ. Исходя из этих соображений, прямоугольное М-позиционное сигнальное созвездие КАМ наиболее часто используется на практике. Для прямоугольных сигнальных созвездий при М=2, где Ф вЂ” чино, сигнальное созвездие КАМ эквивалентно сумме двух сигналов АМ на квадратурных несущих, причем каждый имеет ~/М = 2»" сигнальных точек.
Поскольку сигналы в квадратурных компонентах можно точно разделить в демодуляторе, вероятность ошибки для КАМ легко определить по вероятности ошибки АМ'. Конкретнее вероятность правильного решения для М-позиционной системы КАМ равна Р+Р ), (5.2.77) где Р, — — вероятность ошибки для ч'М -позиционной АМ с половинной средней мощностью в каждом квадратурном сигнале эквивалента КАМ. Несколько модифицируя выражение для вероятности ошибки в М-позиционной АМ, получаем (5.2.78) ' Незавнснмак обработка кввдратурных компонент возможна только в ненсквжаюшем (однопутевом) канале (прп).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
