Прокис Дж. Цифровая связь (2000) (1151856), страница 52
Текст из файла (страница 52)
Рис. 5.2.17. Сравиеиие раыичимх методов модуляции ври вероятности ошибки иа символ 10 з О, = 0,—,~™,...,~ (5.3,б) если т — четно, и 2р.состояний фазы 241 16-5б Теперь если Ь вЂ” рациональное число, т.е. Ь = т/р, где и и р — это взаимно простые положительные целые числа, то схему образования МНФ можно представить решеткой. В зтом случае имеются р состояний фазы 7 ет 2кт 2р — 1 хт Р Р Р (5.3.7) если т — нечетно. Если Л =1, это единственное состояние решетки. С другой стороны, если Л.» 1, имеем дополнительное число состояний, обусловленных парциальным откликом сигнального импульса 8(е)., Эти дополнительные состояния можно определить, выражая 6(е; 1) через (5.3.4): »»-1 6(г;1)=2ля ~~ 14Ч(Г-14Т)+2тй|„е1(~ — пТ).
(538) Е=л-Е»-1 Первое слагаемое в правой части (5.3.8) зависит от последовательности информационных символов (1 „1„„...,1„е„), которую называют коррвлированным вектором состояний, и представляет слагаемое фазы, которое соответствует сигнальным импульсам, которые еще не достигли финальных значений.
Второе слагаемое в (5.3.8) представляют вклад фазы, обусловленный самым последним символом 1„, Таким образом, состояние сигнала МНФ (или модулятора) в точке 1 = нТ можно выразить как комбинацию ераэового состояния и коррвлированного состоянеея, обозначаемую так; Я„= 16„, 1„„1„„..., 1„е„~ (5.3.9) для сигнального импульса с парциальным откликом длины АТ, где 1.>1. В этом случае число состояний равно Х= л ~ ~ н ~ ~ ~ ! РМ'-' (5.3,10) 2РЛе (т нечетное).
Теперь предположим, что состояние модулятора в точке 1=пТ есть Я„. Влияние нового символа в интервале пТ(1<(я+ 1)Т сводится к изменению состояния от Я„до Я„,1 Следовательно, в точке 1 = (п+ 1) Т состояние становится Я„„= (6„„,1„,1„,,...,1„„,~, (т четное), где 6„„ = 6„ +кйУ„ „, Пример 5.3.1. Рассмотрим схему образования двоичной МНФ с индексом модуляции Ь = 3/4 и импульсом с парциальным откликом с 1, = 2. Определим состояние Я„схемы МНФ и вычертим фазовое дерево и решетку состояний.
Сначала отмечаем, что имеется 2р = 8 состояний фаз, именно О» ф» — 4»»» — 2 х» — 4»»»»»» ) Для каждого из этих состояний фаз имеется два состояния, которые обусловлены памятью схемы МНФ. Следовательно, общее число состояний л1, = 16, именно (0,1) (О,— 1) (к,1) (к,— 1) (4,1) (;,-1) (;,1) (;,-1) (,,1) Я-х,— 1) (-,,1) (-,-,— 1) (-",х,1) (-, к,-1) (-, х,1) (-, к; 1) Если система находится в фазовом состоянии 6„= — 4е х и 1„, = -1, тогда Решетка состояний иллюстрируется рис. 5.3.1. Путь по решетке состояний, соответствующий последовательности (1,-1,-1,-1,1,1), показан на рис.
5.3.2. (е !,/.) (о,ц (о„, /„,) (о, ц (о,-ц (о, -ц (сс/4, Ц (сс/4, Ц (сс/4, -Ц (сс/4, -1 ) (сс/2, Ц (сИ, ц (сссг, -Ц (сс/2, -Ц (Зсс/4, Ц (Зсс/4, Ц (Зсс/4, -Ц (Зсс/4, -Ц (я, ц (сс, ц (сс, -1) (сс, -ц (з а,-ц (/сс/4, Ц (7сс/4, -Ц (7я/4,-!) Рис. 5.3.1. Решетка состояний для МНФ с парциалъиым откликом (1=2) с /с=З/4 Для того чтобы нарисовать фазовое дерево, мы должны знать огибающую сигнального импульса фг) .
Рисунок 5.3.3 иллюстрирует фазовое дерево, когда ф/) является прямоугольным импульсом длительности 2Т с начальным состоянием (О, 1) . Установив отображение решетки состояний для МНФ, рассмотрим расчет метрик, формируемых алгоритмом Витерби. Расчет метрик. Возвращаясь к математическим основам демодулятора максимального правдоподобия, данным в разд.
5.4.1, легко видеть, что логарифм условной плотности вероятности наблюдаемого сигнала г(/) при условии передачи последовательности символов 1 пропорционален метрике взаимной корреляции О~(1) = ~ г(/) соз~(о./+ ф(/; 1)~Й = СМ„,(1) + ~ г(/) со~[оз,/+ О(/; 1)+ О„~!з//, (5.3.
11) 243 (5сс/4, Ц (5сс/4, -1 ) (з а,ц (5сс/4, Ц (5сс/4 „-Ц (з*/2, Ц (зсс/г, -ц (7сс/4, Ц Слагаемое СМ„, (1) представляет метрики выживших путей (последовательностей) до момента пТ, а слагаемое ч„(1;6„) = ~ гфсоз(и.г+6((; 1)+6„) Ю (5.3.12) представляет дополнительный прирост метрики, вносимый сигналом на интервале времени пТ<г((н+1)Т. Заметим, что имеются М возможных последовательностей 1 =(1„„1„„..., 1„„) символов и р (или 2р) возможных состояний фазы (6„). Следовательно, имеем рМ~ (или 2рМ ) различных величин ч„(1;6„), вычисляемых на каждом сигнальном интервале, и каждая величина используется для прироста метрик, соответствующих рМ~ ~ выживших последовательностей от предыдущего сигнального интервала. Общая блок-схема на рис. 5.3.4 иллюстрирует вычисления м„(1.„6„) для декодера Витерби.
Заметим, что число выживших последовательностей в каждом состоянии для процесса декодирования по Витерби равно рМ~ ' (или 2рМ~ '). Для каждой выжившей последовательности мы имеем М новых приращений ~~„(1;6„)„которые прибавляются к существующим метрикам, чтобы получить рМ (или 2рМ ) последовательностей с рМ (или 2рМ') метриками. Однако их число затем снова уменьшается до рМ' ' (или где Ь„' определено как к= — ~~ — 1, (~- .[Мд)-ф(~;Цш Дв,пее видим, что Ф(»; 1,.) — Ф~»; 1,) = Ф(»;1, — 1,.), так что, обозначив ~ = 1, -1 '(5.3. 15) можно переписать в виде б,', =~~" (1-. ф(~Д))»», (5.3.1б) (5.3.1 5) где любой элемент из Ц может принять значения О,+2, +4,...+2(М вЂ” 1), кроме ~„которое не может быть равным О.
Вероятность ошибки МНФ определяется слагаемым Ь,', соответствующим минимальному евклидову расстоянию, и ее можно выразить так; (5.3.17) где . (1оц,М; Ь' = 1пп пппб,', = 1пп ппп~ — '~ ~1 — созф1»;1, — 1,лс»» а (5.3.18) Р = (2,-2,0,0,,), (5.3. 20) Евклидово расстояние для этих последовательностей легко вычислить из (5,3,16), а затем найти верхнюю границу для б' . Эта верхняя граница для М = 2 равна »' яп2~Й1 »»в(Ь) =2~1 — 2 Ь», М=2. (5.3.21) Например, когда /» = ~, что ведет к ММС, имеем»У'(~.) = 2, так что б'.„® (2.
Для М>2 и при полном отклике МНФ также можно легко увидеть, что фазовые траектории сливаются при» = 2Т. Следовательно, верхнюю границу б,„можно получить, рассматривая последовательности разностей фаз ~ = (и, — и, 0,0,...), где и = 12,+4,...,+2(М-1). Эти последовательности дают верхнюю границу Ш,'Ы= пи~ ((2~~р,М)(! — )~. (5.3.22) 246 Заметим, что для обычной двоичной ФМ без памяти У = 1 Следовательно, (5.3.17) согласуется с нашим прежним результатом. Поскольку б',„характеризует качество МНФ с МППО, мы можем исследовать влияние на Ь',„изменения объема алфавита М, индекса модуляции»» и длительности переданного импульса в системе МНФ с парциальным откликом. Прежде всего рассмотрим МНФ с полным откликом (», = 1).
Если возьмем сначала М = 2, то заметим, что последовательности 1,. =+1,-1, У„1, 1\+ 13 ~~1 ЭЭ (5.3.19) которые отличаются при 1=0;1 и совпадают при к>2, приводят к двум фазовым траекториям, которые сливаются после второго символа. Это соответствует разностной последовательности ГРафики зависимости агл(гг) от ег длЯ М = 2, 4, 8, 16 показаны на Рис.
5.3. 5, Из этих графиков очевидно, что большие выигрыши в качестве можно достичь. увеличением объема алфавита М, Надо вспомнить, однако, что 6'. (ег)<ггга(ег). Это значит, что веРхнЯЯ граница не достижима для всех значений 11. Минимальное евклидово расстояние о' (гг) было определено расчетом по (5.3.16) для различных сигналов МНФ Аулином и Сандбергом (1981), Например, рис. 5.3.6 иллюстрирует зависимость 5 Ге евклидова расстояния для двоичной ЧМНФ, как функцию индекса модуляции Ь при различном числе наблюдаемых символьных интервалов Ф ()у' = 1,2, 3,4) . Показана также верхняя граница О,1 ОД 0,3 ОА 0,5 0,6 0,7 0,В 0,9 1,0 Ы' (Ь), определяемая (5 .
3 . 2 1 ). В частности„ Рнс. 5а05. Верхние границы ггаЕ как функгнгл индекса видим, что когда е7 = ~2, б (2) = 2, зто модуллцнндллснпвлааанфсполным откликом н прамоугольным импульсом является тем же среди еквадратическим 1Аи11а и ЯилггЬегк 11 984), Ф 19В4,.1оьл 'а 11 ау 1.ад расстоянием, что для ФМ (двоичной или четверичной) с Лг = 1. С другой стороны, требуемое число интервалов наблюдения для ММС равно У = 2, нз чего получаем б' „(~~) = 2.
Следовательно, качество ММС с МППО сравнимо с качеством (двоичной или четверичной) ФМ, что мы видели раньше. Кз рис. 5.3.6 мы также замечаем, что оптимальный индекс модуляции для двоичной ЧМНФ равен 6=0,715, когда число интервалов наблюдения равно гу'=3. Это дает 6'„,„(0,715) = 2,43 или выигрыш в 0,85 дБ относительно ММС. Рисунок 5.3.7 иллюстрирует зависимость евклидова расстояния от 12 для ЧМНФ с М = 4 и числом интервалов наблюдения скак параметра. Также показана (штриховой кривой, которая не достигается) верхняя граница е1', рассчитанная по (5.3.22), Заметим, что б' достигает верхней границы при некоторых значениях Ь при одинаковых 111.
В частности, отметим, что максимальная величина с1л, которая получается при ггее0,9, приближенно достигается прн У=8 наблюдаемых символьных интервалах. Действительный максимум достигается при Ь = 0,914 с 1у'= 9, Для зтого случая б' (0,914) =4,2, что дает выигрыш 3,2дБ относительно ММС. Также отметим, что евклидово расстояние имеет минимумы при Ь = 5,, 2, 2, 1 и других значениях. Эти значения гг называют слабыми индексами модуляции, и их избегают. Похожие результаты возможны для больших значений М, и их можно найти в работе Аулина и Саидберга (1981) и в публикациях Андерсона и др.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
