Прокис Дж. Цифровая связь (2000) (1151856), страница 46
Текст из файла (страница 46)
РМ г,я,) з~ (5,1.51) Но РМ(г,а,) р («+Я) — (« — Д) РМ(г, я,) 1 — р 2а,', ехР, (5 1,52) так что (5.1.51) можно выразить так: ("кН -ж)' ' 2а„' (5.1.53) или, что эквивалентно, Д« ~с-,'а'„1п — =-,' Ф, 1п —. (5.1.54) Это окончательная формула, определяющая оптимальный детектор. Она предполагает вычисление корреляционной метрики С(г,з,) = «Я и ее сравнение с порогом 4 Ф, 1п1(1-р)/р~. Рисунок 5.1.10 иллюстрирует две сигнальные точки з, и з,.
Порог, обозначенный т„, делит вещественную ось на две области, скажем Я, и Я,, где Я, содержит совокупность точек, которые превышают т„, а Я, содержит совокупность точек, которые меньше т„. Если «Я > т„, выносится решение, что был передан сигнал з,, а если « /~~ с т, — решение, что был передан сигнал з,.
Порог т зависит от У, и р. Если р= —,', ! 4-56 209 то ть =О.аЕсли р>-,', то сигнальная точка з, более вероятна и т„<0. В этом случае область А, больше, чем А„так что более вероятно выбрать решение л,, чем л,. Если р < —,' — имеем противоположный случай. Таким образом минимизируется средняя вероятность ошибки, т,=т)в„ °- лл=-'й т/ Область л, Область лл е- Рис.
5.1.10. Представление пространства сигналов, иллюстрирующее работу оптимального детектора для двоичной АМ Интересно отметить, что в случае неравных вероятностей для вычисления порога необходимо знать не только априорные вероятности передачи символов, но и спектральную плотность шума Фс. Когда Р = т)., порог нулевой, и знание ЛГс не требуется. Мы завершаем этот раздел доказательством того, что правила решения, основанные на правиле максимального правдоподобия, минимизируют среднюю вероятность ошибки, когда все М сигналов равновероятны. Обозначим через А„, область в У-мерном пространстве, в котором мы принимаем решение о том, чтр передан сигнал ~„,(1), когда принят вектор г = ~», г, ...
г„|. Вероятность ошибочного решения при передаче з„,(т) равна Р(е(яв) = ~ р(г!в„,)сИ, (5.1.55) где А,'„— дополнение А„,. Средняя вероятность ошибки Йл = Х+~'(е~в,„) = К~и) р(лв„)й~ = К-~-(1- 1 р(л1.) а]. р.1.зь> Замечаем, что Р(е) минимизируется, если выбирается сигнал а„, в том случае, когда р(г)в„,) больше, чем р(г)з„), для всех т се Й. Если М сигналов не равновероятны, вышеприведенное доказательство можно обобщить и показать, что правило МАВ минимизирует среднюю вероятность ошибки.
210 5.1.4. Последовательный детектор максимального правдоподобия. Алгоритм Витерби Если модулированный сигнал без памяти, то последовательный детектор, описанный в предыдущем разделе, является оптимальным в смысле минимизации средней вероятности . ошибочного приема символов. С другой стороны, если передаваемый сигнал имеет память, т.е.
сигналы, переданные на последовательных сигнальных интервалах, между собой зависимы, оптимальный детектор — это детектор, который основывает свои решения на наблюдении последовательности принимаемых сигналов на последовательных сигнальных интервалах. Ниже опишем два различных типа алгоритмов детектирования последовательности символов. В этом разделе опишем алгоритм максимального правдоподобия для детектирования последовательности символов, который ищет минимум евклидова расстояния траекторий (путей) на решетке, которая характеризует память переданного сигнала.
В следующем разделе мы опишем алгоритм, который выносит %1а, %ч'к„ %чкь %Ж„ 50 °вЂ” 1/ (Тч 1/ ~ь„, 1/ 1к„~/ К фь 5 ° о/ Я„„о/Й„,„о/.й„ с=т с=2 Т =зт г=.4 Т Рис. 5.1.11. Решетка для сигнала ДБНП (ЫКЛ) В точке г =Т принимаем от демодулятора г; =з~"'~+п„в точке г=2Т принимаем г, =з,к' +па.
Поскольку память сигнала равна одному биту, обозначим ее Х =1. Мы видим, что структура решетки регулярно повторяется (устойчивые состояния) после двух начальных переходов. Так, при приеме г, в точке г = 2Т (и так далее) мы видим, что имеется два сигнальных пути, входящие в каждый узел, и два сигнальных пути, уходящие от каждого узла. Два пути, входящие в узел состояния Я, при г = 2Т, соответствуют информационным битам (О, О) и (1, 1) или, что эквивалентно, сигнальным точкам ( — Д,—.Д ) и Я,,— ф,).соответственно.
Два пути, входящие в узел Я, при 1=2Т, соответствуют информационным битам (0,1) и (1,0) или, что эквивалентно, сигнальным точкам ( —,~6„Я) (Я,Я) соответственно. Для двух путей, входящих в узел Я„вычислим две евклидовы метрики расстояний .0о(0>0)=(й+4Ев) +(гз+з/Еь) > .Ое(1>1)=(г, — /Ев) +(гз+ъ3Еь) (5.1.б1) при заданных выходах демодулятора г, и г, . Алгоритм Витерби сравнивает эти две метрики и отбрасывает путь, имеющий большую метрику (большее расстояние) . Другой путь с меньшей метрикой накапливается, и его ' Заметим, что для ДБНП приам гз демодулятором ие увеличивает и не уменьшает относительную разницу между двумя метриками )Эс(О,О) и >1)с(1,1). С этой точки зрения можно подумать о вовлечении этого наблюдения. Во всяком случае, мы продолжим описание детектора последовательности, основанном иа алгоритме Витерби.
212 выходов, демодулятора. Однако это не так. Мы можем уменьшить число последовательностей при поиске по решетке, используя алгорииьи Витерби для отсечения последовательностей по мере поступления новых данных от демодулятора. Алгоритм Внтербн является алгоритмом последовательного поиска на решетке для обеснечения МП декодирования последовательности. Он описывается в гл. 8 как алгоритм декодирования сверточных кодов. Мы опишем его ниже применительно к сигналам ДБНП.
Предположим, что процесс поиска начинается первоначально с состояния 5,. Соответствующая решетка показана на рис. 5.1.11. (5.1.64) называют выжившим при г =2Т. Исключение одного из двух путей можно сделать, не нарушая оптимальность поиска по решетке, поскольку добавление пути с большим расстоянием за точки г = 2Т будет всегда иметь большую метрику, чем выживший путь, который сохранен после точки г = 2Т. Аналогично для двух путей, входящих в узел о, в точке г =2Т, мы вычислим две евклидовы метрики расстояний Р(0,1)=(~+,/Е,) (~, -„~Е„), (5.1.62) Р,(1,0) = (, — гЕ, ) + (5, —,/Е„), используя выходы демодулятора г~ и г .
Эти две метрики сравниваются, и сигнальный путь с большей метрикой исключается. Таким образом, в точке г=2Т мы сохраняем два выживших пути, один в узле Б, и другой в узле Я, и их соответствующие метрики. Сигнальные пути в узлах о', и Б, затем распределятся по двум выжившим путям. При приеме г, в точке г = ЗТ вычисляем метрики по двум путям, входящих в состояние Я,.
Предположим, что выжившими при г = 2Т являются пути (0,0) в состоянии Я, и (0,1) в состоянии Зь Тогда две метрики для путей, входящих в Я, при г = ЗТ, равны Р,(0,0,0) = Р„(0,0)+(;,/Е,)", (5.1.63) Р,(0,1,1) = Р,(0,1)+(г, +~гЕ„) . Эти две метрики сравниваются. и путь с большей метрикой (большим расстоянием) исключается. Аналогично, метрики для двух путей, входящих в Б, при г = ЗТ, равны Р(0,0, 1) = Р,(0,0)+(гз —,ГЕ,), Р,(0, 1,0) = Р,(0, 1)+ (г, —,ГЕ, ) .
Эти две метрики сравниваются, и путь с большей метрикой (большим расстоянием) исключается. Этот процесс продолжается, пока каждый новый сигнальный отсчет принимается демодулятором. Таким образом, алгоритм Витерби вычисляет две метрики для двух сигнальных путей, входящих в узел на каждом шаге поиска по решетке, и исключает один из двух путей на каждом узле. Два выживших пути затем продвигаются вперед до следующего состояния.
Следовательно, число путей поиска по решетке сокращается в два раза на каждом шаге. Относительно просто отобразить поиск по решетке по алгоритму Витерби для М- позиционной модуляции. Для примера на рис. 5.1.12 показана решетка на четыре состояния, характеризующая модуляцию с задержкой, использующую М = 4 сигнала. Мы видим, что для каждого состояния два сигнальных пути входят в узел и два из него выходят.
Память сигнала равна 1 =1. Следовательно, алгоритм Витерби будет иметь четыре выживших пути на каждом шаге и их соответствующие метрики. Две метрики, соответствующие двум входным путям, вычисляются на каждом узле, и один из двух сигнальных путей, входящих в узел, исключается в каждом состоянии решетки. Таким образом, алгоритм Витерби минимизирует число путей поиска по решйтке при осуществлении МП детектора последовательности. Из описания алгоритма Витерби, данного выше, не ясно, как выносится решение об индивидуальном детектируемом информационном символе по данным выжившим последовательностям.
г1з 5', ° Если мы продвигаемся на некоторое число шагов, скажем К, где К >> Е, по решетке и сравниваем выжившие последовательности, мы найдем, что в вероятностном смысле все выжившие последовательности сближаются в битах (или символах) на К-5Л позициях или раньше . При практических 1 применениях алгоритма Витерби решения о каждом информационном бите (или символе) осуществляются после задержки на 5Х бит (или символов), и, следовательно, выжившие последовательности запоминаются на 5А бит (или символов). Таким образом, избегается переменная задержка при детектировании символов. Потеря в качестве, возникающая при такой субоптимальной процедуре детектирования, несущественна, если задержка по крайнее мере равна 5Ь .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
