Прокис Дж. Цифровая связь (2000) (1151856), страница 67
Текст из файла (страница 67)
Составной канал, дискретный по входу и по выходу, образованный путем включения в него модулятора и демодулятора/детектора как частей канала Если модулятор применяет двоичные сигналы, и детектор делает жесткие решения, то составной канал, показанный на рис. 7.1.1, имеет на входе и выходе двоичную последовательность с дискретным временем.
Такой составной канал характеризуется набором Х = 10, 1~ возможных входов, набором У = (О, 1~ возможных выходов н набором условных вероятностей возможных выходов при условии возможных входов. Если канальный шум н другие нарушения вызывают статистически независимые ошибки при передаче двоичной последовательности со средней вероятностью р, тогда 1 Чаще всего, говоря о декодировании декодером мягких решений детектора, имеют в виду, что Ь>= с 320 7.1.1. Модели канала В этом разделе мы опишем модели канала, которые будут полезны при синтезе кодов. Наиболее простая — это модель деоггчггого сгглгиетрггчггого колода (ДСК), которая соответствует случаю, когда М = 2, и жесткому решению детектора.
Двоичный симметричный канал. Рассмотрим канал с аддитивным шумом, и пусть модулятор и демодулятор/детектор включены, как части канала. ф =О!Х=1)=ф =ЦХ=О)=р, ф=ЦХ=1)=ф =О~Х=О)=1-р. (7.1.1) Таким образом, мы свели каскадное соединение двоичного модулятора, канала и двоичного демодулятора и детектора в эквивалентный канал с дискретным временем, который представлен графом на рис.
7.1.2. Этот симметричный канал с двоичным входом и двоичным выходом обычно называют двоичным симметричным каналом (ДСК). Поскольку каждый выходной двоичный символ канала зависит только от соответствующего входного двоичного символа, мы говорим, что этот канал без памяти. 1 р. Вхо 1ХОД 1 1 1-р Рис. 7.1.2. Двоичный симметричный канал Диевсретные каналы без памяти. ДСК является частным случаем более общего канала с дискретным входом и дискретным выходом.
Предположим, что входом кодера канала являются 17-ичные символы, т.е. Х=(х„х„..„х„1~, а выходом детектора являются Д-ичные символы, где Д > М = 2" . Если канал и модуляция без памяти, тогда характеристика вход-выход составного канала, показанного на рис. 7,1.1, описывается рядом из дД условных вероятностей Р(У=У,'1х=х ) Р(У,~х ), (7.1.2) где 1 = О, 1, ..., Д-1 и 7' = О, 1, ..., д -1. Такой канал называется дискретным каралом без памяти (ДКБП) и его графическое представление показано на рис. 7.1.3. Таким образом, если входом ДКБП является последовательность из 1т символов и„и„...,и„, выбираемых из алфавита Х, и соответствующим выходом является последовательность о„и,, ..., о„ символов из алфавита У, то совместные условные вероятности определяются так: л Р(У, = он У2 = и„...,У„= о„1Х, = и„Х, = 1~,..., Х = и ) = П Р(У = о„! Х = и ) (7 1 3) а-1 Рис.
7.1.3. Дискретный канал, о-ичный по входу и Д-ичный по выходу 21-56 321 Канал с дискретным входом н непрерывным выходом. Теперь предположим, что на вход модулятора подаются символы, выбираемые из конечного и дискретного входного алфавита Х=(хо, х„..., х„,), а выход детектора не квантован Я=ос). Тогда входом декодера канала можно считать любую величину на вещественной осн, т.е. У = ( — со.со) . Это ведет нас к определению составного канала без памяти с дискретным временем, который характеризуется дискретным входом Х, непрерывным выходом 1' и рядом условных ФПВ р(у)Х = х ), lе = О, 1, ..., ее-1. Наиболее важный канал этого типа-это канал с адднтнвным белым гауссовским шумом (АВГШ), для которого У= Х+О, (7.1.4) где 6 — гауссовские случайные величины с нулевым средним и дисперсией а', а Х = х„, к = О, 1,...,~у- 1.
Для данного Х = х, следует, что У является гауссовской случайной величиной со средним х„и дисперсией и . Это значит -(у-;)' р(у!Х=х„) = е ' ' (7.1.5) !Е2ла Для любой входной последовательности Х„1=О,1,...,п имеется соответствующая выходная последовательность У,. = Х,. + б,, ! = 1, 2, ...,и . (7.1.б) Условие, что канал без памяти, можно выразить так: р(у„у„...,у„~Х! = и„Х2 = и„...,Х„= и„) = л =Пр(у,~Х! = и,) ! 1 (7.1.7) Сигнальные каналы.
Мы можем отделить модулятор и демодулятор от физического канада и рассмотреть модель канала, в котором входы и выходы являются сигналами. Предположим, что такой канал имеет заданную полосу частот И' с идеальной частотной характеристикой С(Е") = 1 внутри полосы 6', а сигнал на его выходе искажен алдитивным белым гауссовским Шумом. Предположим, что х(Е) является частотно-ограниченным входом для этого канала, а у(Е) — соответствующий выход.
Тогда у(Е) = х(Е)+п(Е), (7.1.8) где п(Е) представляет реализацию аддитивного шумового случайного процесса. Подходящий метод для определения ряда вероятностей, которые характеризуют канал,— это разложить х(Е), у(Е) и п(Е) в полный ряд ортонормированных функций. Это значит, мы выражаем х(Е), у(Е) и п(Е) в форме У(Е) = ~у,.Е;(Е); х(Е) = ~ х,фЕ); п(Е) = ~ п,ДЕ), (7.1,9) ! где 1х! ~, 1у! ~ и (п, ~ — ряд коэффициентов в соответствующих выражениях, например 322 Это выражение — просто математическая констатация условия отсутствия памяти.
В общем, условные вероятности (Р(у,.~х,.)), которые характеризуют ДКВП, могут быть упорядочены в форме матрицы Р = [р,,), где, по определению, р„м Р(у,~х,) . Р называется матрицей переходных вероятностей канала. т г у,. = ~уЯЯ Яйе = ЦхЯ+ п(1))1, (Е)сй =х, + п, . (7,1 10) о о Функции (Дг)) образуют полный ортонормированный ансамбль на интервале (О,Т), т.е.
(О (! ~ 1') (7.1.1 1) где бц — дельта-функция Кронекера. Поскольку гауссовский шум белый, то в выражениях (7.1.9) можно использовать любой полный ансамбль ортонормированных функций. Теперь используем коэффициенты в указанных выражениях для характеристики канала. Поскольку у,. = х, + л„где и,. — гауссовские случайные величины, то следует 1 +~Д Р(3(Ю= е '", 1=1,2,... (7.1.12) ~/2па, Поскольку функции (Дг)) в разложениях являются ортонормированными, то следует.
что (л,) не коррел про вани. Поскольку они гауссовские, они также статистически независимы. Следовательно, р(у„у,,...,у„~х„х„...,х„) =Яр(у,~х,) (7.1.13) 7.1.2. Пропускная способность канала Теперь рассмотрим ДКВП с входньпя алфавитом Х=(х„х„...,х„1) и выходным алфавитом Г= (у у„...,у 1) и рядом переходных вероятностей Р(у,.~х ), определенных в (7.1.2).
Предположим, что передан символ х,, а принят символ у,. Взаимная информация о событии Х = х, когда имеет место событие 1'= у,, равно 1оДР(у~х )~Р(у)1, где (7.1.14) 323 для любого У. Таким образом, описание сигналов канала сведено к эквивалентному каналу с дискретным временем, характеризуемым совместной ФПВ, даваемой (7.1: М). Когда аддитивный шум белый и гауссовский со спектральной плотностью —,'У„ дисперсия а,' =;" У, для всех ! в (7.1.12). В этом случае отсчеты х(г) и у(г) можно брать со скоростью Найквиста 26" отсчетов/с так, что х, = х1г/20') и у, = у(1/2И'). Поскольку шум белый, отсчеты шума статистически независимы.
Таким образом, (7.1.12) и (7.1.13) описывают статистику отсчйтов сигналов. Заметим, что на временном интервале длительностью Т имеются У=2И'Тотсчетов'. Этот параметр используется ниже для получения пропускной способности частотно-ограниченного канала с АБГШ. Выбор модели канала для его использования на определенном временном интервале зависит от объекта исследования. Если мы интересуемся синтезом и анализом качества кодера и декодера дискретного канала, приемлемо рассмотреть модели канала, в которых модулятор и демодулятор являются частью составного канала.
С другой стороны, если наша цель — синтез и анализ качества цифрового модулятора и цифрового демодулятора, мы используем модель сигнального канала. 7»Х;У!=Х,Х Р(»,)Р(у»~с)!ой(Р(у)~)7 Р(у) . (7.1.15) а Характеристики канала определяют переходные вероятности Р(у,.(х,), но вероятности входных символов определяются дискретным кодером канала. Величина 1(Х; У), максимизируемая по набору вероятностей входных символов Р(х,) является величиной, которая зависит только от характеристик ДКВП через условные вероятности Р(у,.)х,.) .
Эта величина названа пропускной способностью канала и обозначается С. Таким образом, пропускная способность ДКБП определяется так а = а)а»7»ХУ)= а»а»»» Р(~)Р(у)*,)7»а)Р(у)*,)77Р(у)1. 771 767 Максимизация 1(Х; У) выполняется при условиях Р(х )~0; ~ Р(х ~)=1.
Размерность С вЂ” бит1символ, если берется логарифм с основанием 2, и нат1символ, если берется логарифм с основанием е. Если символы поступают в канал каждые т, секунд, то пропускная способность канала в единицу времени и бит1с и лат/с равна С/ту = С' .
Пример 7.1.1 Для ДСК с переходными вероятностями Р(0/1) = Р(1/0) = р средняя взаимная информация максимизируется, если входные вероятности Р(0) = Р(1) = ~, Следовательно, пропускная способность ДСК равна С = р !ой 2р+(1 — р) !ой 2(1- р) = 1- Н(р), (7.1.17) где Н(р) — двоичная энтропийная функции, Кривая для С в зависимости от р иллюстрируется на рис. 7.1.4. Заметим, что при р=О пропускная способность равна 1 бит/символ.
С другой стороны, при р = ~~ взаимная информация между выходом и входом равна О. Следовательно, пропускная способность равна О. При ф<р<! мы можем поменять местами на входе ДСК 0 и 1, так что С оказывается симметричной функцией относительно точки р= 2. В нашей трактовке двоичной модуляции и демодуляции, данной в главе 5, мы показали, что р является монотонной функцией от отношения сигнал-шум (ОСШ), как показано на рис. 7.1.5(а). Следовательно, когда С строится как функция ОСШ, она возрастает монотонно по мере увеличения ОСШ. Зависимость С от ОСШ иллюстрируется на рис. 7.1.5(Ь). Далее рассмотрим канал без памяти с АБГШ и дискретным временем, описываемый переходными ФПВ, определяемыми (7.1.5), Средняя максимальная взаимная информация между дискретным входом Х = (х„х,,...,х, 7) и выходом 1 = (7о, о) определяется пропускной способностью канала в бит1символ и равна 324 Следовательно, средняя взаимная информация, получаемая по выходу 1' о входе Х, равна С=п~а~~ )р(у~х,)Р(х,.)1о8, ~(у~;) (7.1.18) где р(у) = ~~Р~р(у~х,)Р(х ).
(7.1.19) ьо о о.а н В о и б н о,б я б Й' 0„4 8. ол о оя ол о,ь о,в ьо Вероятность ошнбкн, р Рис, 7.1А. Пропускная способность ДСК как функпия вероятности ошибки р (а) (Ь) Рис. 7.1.5. Общее поведение вероятности ошибки и пропускной способности канала, как функции от отношения сигнал/щум (ОСШ) С=-,' ~Р(у!А)1о$т +т ~Р(У~-А)1о8,— — 4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
