Прокис Дж. Цифровая связь (2000) (1151856), страница 71
Текст из файла (страница 71)
Это важное преимущество, которое оправдывает их использование. случайно, выбираемых, оптимально ограниченных по усредненной мощности многоуровневых сигналов приводит к функции скорости 25,, которая находится внутри 3 дБ зоны пропускной способности канала. Требуется тщательно разработанная техника определения границ, чтобы показать, что вероятность ошибки можно сделать сколь угодно малой;когда Н < ПС„= 2КС„= С ко ~к * 2,5 ов 2а 8' к 1,5 о й Ю 1,о 0,5 -1О -5 О 5 !О 15 а,лч, <лк5 Рис.
7.2,6. Сравнение предельной скорости Л, с пропускной способностью дла канала с АБГШ 7.3. СИНТЕЗ СИСТЕМЫ СВЯЗИ, ОСНОВАННЫЙ НА ПРЕДЕЛЬНОЙ СКОРОСТИ В предыдущем обсуждении мы характеризовали качество кодирования и модуляции через вероятность ошибки, которая конечно является определяющей при синтезе системы связи. Однако, во многих случаях, расчет вероятности ошибки чрезвычайно сложен, особенно, если при обработке сигнала в приемнике используются нелинейные операции, такие, например, как квантование сигнала, или когда аддитивный шум не гауссовский.
Вместо того, чтобы стремиться к расчету точных значений вероятности ошибки для специальных кодов, мы можем использовать усредненную по ансамблю среднюю вероятность ошибки при случайном выборе кодовых слов. Предполагается, что канал имеет 9 входных символов (О, 1,,п — 1) и Д выходных символов (О, 1, ...,Д вЂ” Ц и характеризуется переходными вероятностями Р(1 ~ 1), где 7 = О, 1, ..., д — 1 и 1=0, 1, ..., Ц вЂ” 1, причем Д >!7.
Входные символы появляются с вероятностями (р,1 и считаются статистически независимыми. Дополнительно, шум в канале считается независимым во времени, так что нет зависимости между принимаемыми соседними символами. При этих условиях, среднюю вероятность ошибки по ансамблю при случайном выборе кодовых слов можно получить с использованием гра11ицы Чернова (см. Витерби и. Омура, 1979).
Общий результат, который получен для дискретных каналов без памяти, таков: Р 2 и(Я!2 Я'В) е~ (7.3.1) где п — длина кодового блока, Я вЂ” информационная скорость в битах/с,  — число измерений в секунду, а Во — предельная скорость для квантователя с Д уровнями, определяемая так: 341 плотностбавеРоЯтности выхода У согласованного фильтРа или взаимокоРРелЯтоРа, когда передан )ьй сигнал.
Это и есть выражение для определения качества неквантованного декодирования (декодирования мягких решений). Пример 7.3.1 Сравним качество двоичной АМ в канале с АБГШ, когда приемник квантует выход на 0 = 2, 4 и 8 уровней. Чтобы упростить проблему оптимизации при квантовании сигнала на выходе демодулятора, квантованные уровни располагаются в точках О, +тб, +2тв, .
+(2" ' — 1)т„, где тв — параметр, определяющий шаг квантования, который должен быть выбран, а Ь вЂ” число бит, определяющие уровни квантования. Хорошая стратегия для выбора т, — выбрать его так, чтобы минимизировать ОСШ на бит у„которые требуются для работы с кодовой скоростью Лв. Это значит, что параметр шага квантования должен оптимизироваться для любого ОСШ, что означает при практической реализации приемника, что ОСШ должен измеряться.
К сожалению, тв не проявляет высокую чувствительность к малым изменениям в ОСШ, так что возможно оптимизировать тб для определенного значения ОСШ и получать хорошее качество для широкой области ОСШ вблизи этого номинального значения, используя фиксированное тв. Основываясь на таком подходе, выражение для Ло, определяемое (7.3.2), было пересчитано для 77 =1 (декодирование жестких решений), 2 и 3 бита, соответствуюшие числу уровней квантования 0=2, 4 и 8. Результаты даны кривыми на рис.
7.3.2. Величина ив для неквантованного декодирования мягких решений, полученная расчетом по (7.3.5), также дана на рис. 7.3.2. Видим, что двухбитовое квантование с т„=1 выигрывает около 1,4 дБ относительно декодирования жестких решений, а трехбитовое квантование с тв сс =0,5 дает дополнительное улучшение на 0,4 дБ. При трехбитовом квантовании мы проигрываем не более, чем на 0,2 дБ, относительно предельного неквантованного декодирования мягких решений. Ясно, а, с=в "в В.7бс 13 бам~ что в будущем можно будет лишь немного выиграть путем улучшения точности обработки. 12 бви) с,;-1 й=б Если используется недвоичный код 11 бит) совместно с М-ичными (М=бу) сигналами, принимаемый сигнал на выходе М о 1 В З согласованных фильтров можно представить вектором у = 1У) у, ...у„,) .
Предель- Рис. 7.3 3. Влияиио ввиповаиив вв повюлохслойливосвв Ная СКороСТЬ дяя ЭТОГО Каиаяа С М-ИЧНЫМ 7ваовойсио7обвлсвавиириирслвлвиойсицзос7и/б, входом и М-ичным (неквантованным) илия лри лвоивиои б)7М в каиалс с АЬГШ выходом равна Л)-1Л)-1 7б = -1сб, б, Крбр),ср<~~)р17))С7~~, <7.З.б) Ц 7=О =В где р(у~)) — условная ФПВ векторау на выходе демодуляторов при передаче)-го сигнала. Заметим, что (7.3 б) похоже по форме на (7.3.5), за исключением того, что теперь мы имеем при обработке М-мерный интеграл, поскольку имеется М выходов демодуляторов. 343 Предпцложим, что М сигналов ортогональны, так что М выходов, обусловленных частными входными сигналами, статистически независимы.
Как следствие, И-1 р(у~/) = р„„(у,.Яр„(у,), (7.3.7) 1~/ где р„„(у,) — ФПВ выхода согласованного фильтра, соответствующего переданному сигналу с номером /, а (р,(у,.)) определяется сигналами на выходах остальных М-1 согласованных фильтров. Если (7.3.7) подставить в (7.3.6), мы получаем (7.3.8) Максимизация А по набору вероятностей входных сигналов приводит к р, =1/М для 1 < /' < М.
Следовательно, (7.3.8) ведет к (7,3.9) Это — искомый результат для предельной скорости для канала с М-ичным векторным неквантованным выходом. При когерентном детектировании М-ичных ортогональных ствующие ФПВ равны М-ичным входом и сигналов соответ- (7.3.10) р ( ) -(у-п)что~ 12ко р.(у) =- ~-с' ', где т= ~/Й и о' =~У,. Подставив эти соотношения в (7.3.9) и получим вычислив интеграл, (7.3.1 1) ах/сигнал, а где в — энергия принимаемого сигнала, А„ — информационная скорость в бит у, = $/Ф, — ОСШ на бит. Подчеркнем, что параметр скорости А„ включает в себя кодовую скорость Л.. Для примера если М=2 и код двоичный то А„=Я..
В более общем случае, если код двоичный и М= 2", тогда М-ичные сигналы содержат й„= чЯ. бит информации. Также интересно заметить, что если код двоичный и М = 2, тогда (7.3.11) преобразуется к 2 Я, = 1о8, „,„, М = 2 (ортогональных сигнала), (7.3.12) 2~ 1+ кпь~з что на 3 дБ хуже, чем предельная скорость для противоположных сигналов, Если положим в (7.3.11) Я = Л, и выполним решение относительно у„то получим 344 2 ( М-1 ~~2-"М 1 (7.3.13) Зависимость Я, от уь для некоторых значений М иллюстрируется на рис 7.3,3 Заметим, что кривые насыщаются для любых значениях М при Р, = 1оц, М Интересно также рассмотреть предельную форму (7.3.11) при М -+ о.
Получаем о 1пп )г, =, бит)сигнал. (7.3.14) и 2Л)о 1п2 * Поскольку о = Р Т, где Т- длительность сигнала, то следует 2,5 2,О Й о~ оЯ ьа О,5 0 ! 2 5 4 5 б 7 осш на бнт, в гда) Рис. 733. Требуемое ОСШ иа бит длл работы с предельной скоростью )1, при использовании М-нчиых ортогональных сигналов и когерентного детектирования в канале с АБГШ Л.
Р, (7.3. 15) ы-+" Т 2Фо1п2 Таким образом, при М вЂ” + о5 предельная скорость равна половине пропускной способности канала с АБГШ с неограниченной полосой. Альтернативно, подставляя )г = ЯД, в (7.3.14) дает у, = 21п2 (1,4 дБ), что является минимальным значением ОСШ, требуемым для работы со скоростью В„когда М-ь со. Таким образом, при работе со скоростью Я, требуется на 3 дБ больше мощности, чем предел Шеннона.
Величина Л„определбнная (7.3,11), базируется на использовании М ортогональных сигналов, которые субоптимальны, когда М мало. Если мы попытаемся максимизировать Л, путем выбора наилучшего ансамбля из М сигналов, то не будем удивлены, когда найдем, что оптимальным является ансамбль симплексных сигналов. Действительно, Л„ для этих оптимальных сигналов определяется так: М В =)ОЯ,[,п а„(. (7.3.16) Если сравним это выражение с (7.3.11), то заметим, что Р, в (7.3.16) просто отражает тот факт, что ансамбль симплексных сигналов энергетически более эффективен в М)(М вЂ” 1) раз. 345 0,75 В 0,5 Й ю ОД5 й 0 5 10 15 ОСШ иа ввк В ЫБ) Рис.
7.3.4. Требуемое ОСШ на бнт для работы с предельной скоростью Лр при использовании Л2г-ичных ортогональимх сигналов н некогерентного детектирования в канале с АБГШ С целью сравнения мы также дали кривые для предельной скор корости при декодировании мягких решений ф= М) для М-ичных сигналов.
В этом случае имеем М Но —— 1од2 2 О ™ [ДГ-Р )+,)1и-2)Р [' где Рм — вероятность ошибки символа, Для относительно широкого диапазон разница между декодированием мягких и жестких решений составляет при лизительно Н аиболее удивительное в характеристиках качества, отображенных на рис. 7.3.4 — это то, что здесь имеется оптимальная скорость кода при малом М. В отличие от когерентного детектирования, когда ОСШ на бит уменьшается монотонно с уменьшением скорости кода, ОСШ на бит при некогерентном детектировании достигает минимума вблизи нормированной скорости 0,5 и увеличивается как при большей, так и при меньшей скоростях. Минимум довольно широкий, так что здесь имеется область скоростей от 0,2 до 0,9, где ОСШ на бит имеет минимум с разбросом до 1 дБ.
Такое характерное поведение характеристики качества при некогерентном детектировании объясняется нелинейной характеристикой детектора. (7.3.18) а скоростей, б 346 В с)вучае некогерентного детектирования ФПВ, соответствующая сумме сигнал + шум и одному шуму, можно выразить так; р„„(у)=уе " ""'1,(ау), >О, ап г7" 17 р„(у) = у е " ~~, у > О, (7.5.17) еае, о ра е ю а=а/202222. Раюю к,а ае а розе), еаеаее ~~~„~р~оа форме решения. Вместо этого можно интеграл в (7,3.9) рассчитать численно.
Результаты для этого случая были даны Джорданом (1966) и Бухером (1980). Для примера, нормированная предельная скорость ттв для М-'ичных ортогонал нальных сигналов при некогерентном детектировании дана на рис. 73.4 для М = 2,4,8 и 16. 7.4. Ц4БЛИОГРАФИЧЕСКИЕ ЗАМЕЧАНИЯ И ССЫЛКИ Основополагающая работа по описанию канала в терминах его пропускной способности и случайного кодирования принадлежит Шеннону (1948а, Ь, 1949). Дополнительный вклад был впоследствии сделан Гильбертом (1952), Элиасом (1955), Галлаимром (1965), Вайнером (1965), Шенноном и др, (1967), Форин (1968) и Витерби .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
