Прокис Дж. Цифровая связь (2000) (1151856), страница 68
Текст из файла (страница 68)
(7,1.20) Л(У~А, Р(.И-А) Рис. 7.1.6 иллюстрирует С как функцию отношения А'/2ст', 325 Пример 7.1;2 Рассмотрим канал без памяти с АБГШ и с возможными входами Х = А и Х =-А. Средняя взаимная информация ЯХ;У) максимизнруется, если вероятности входов Р(Х=А)=Р(Х=-А)= —,'. Следовательно, пропускная способность такого канала в бит/символ равна Интересно отметить, что в двух моделях канала, описанных выше, выбор одинаковой вероятности для входных символов максимизирует среднюю взаимную информацию. Таким образом, пропускная способность канала получается„когда входные символы равновероятны. Однако, такое решение для пропускной способности канала, даваемое формулами (7.1.16) и (7.1.17), не всегда имеет место. о,в о о '8- оь й од -20 -!2 -4 +4 +12 1О 1я (А!да!) (да) Рис. 7.1.6.
Пропускная способность как функция ОСШ (А'/2о') для канала без памяти с АБГШ и двоичным входом Ничего нельзя сказать в общем относительно задания вероятностей входа, которые мак с имнзируют среднюю взаимную информацию. Однако, в двух моделях канала, рассмотренных выше, переходные вероятности канала проявляют форму симметрии, которая влияет на максимум 1(Х; У), который получается, когда символы входа равновероятны. Условия симметрии можно выразить через элементы матрицы переходных вероятностей Р канала. Когда каждая строка этой матрицы является перестановкой других строк и каждый столбец является перестановкой других столбцов, матрица переходных вероятностей симметрична, а входные символы с равной вероятностью максимизнруют 2(Х; 1') .
В общем необходимые и достаточные условия для совокупности вероятностей входных символов (Р(х,)), Ори которых максимизнруется 2(Х;2') и, следовательно, достигается пропускная способность ДСК, таковы (задача 7.1): 1(х~;У)<С длявсех 1' с Р(х )>О, 1(х,;2') = С для всех ! с Р(х,.) = О, (7.1.21) где С в пропускная способность канала,и Р(у!~х,) 1'1х,;У) = ~~1 Р(у,.1х,)1ой (7.1.22) РЮ Обычно относительно просто проверить„удовлетворяет ли совокупность входных символов с равными вероятностями условиям (7.1.21). Если они не удовлетворяются, то ряд входных символов с неравными вероятностями (Р(ху)) могут удовлетворять (7.1.21). Теперь рассмотрим ограниченный по полосе частот канал с аддитивным белым гауссовским шумом.
Формально, пропускная способность такого канала в единицу времени определена Шенноном (1948) так: 326 (7.1.24) (7.1.25) (7.1.28) Следовательно, 2 аР с У 2В" ' (7.1.29) Подставив этот результат в (7..1.27) для ст'„, получаем шах 11Х У ) ЖТ1оя 1+ В заключение можно получить пропускную способность канала в единицу времени путем деления результата (7.1.30) на Т. Таким образом, С' = 1К1о 1+ 1 " (7.1.31) ~о Это базовая формула для пропускной способности частотно-ограниченного канала с АБГШ с частотно-ограниченным и ограниченным по средней мощности входом. Она была впервые получена Шенноном (1946).
График пропускной способности (бит/с), нормированной к полосе Н', как функция от отношения средних мощностей сигнала Р и шума И'У„дан на рис. 7.1.7. Заметим, что пропускная способность увеличивается монотонно с увеличением ОСШ. Таким образом,при фиксированной полосе пропускная способность канала увеличивается (7.1.30) 327 Ф С= 1пптах-~-1(Х;У), (7.1.23) г-ь ю р(к) Т где усредненная взаимная информация определена (3.2.17). Альтернативно, мы можем использовать отсчеты или коэффициенты 1у,), 1х,) и 1и,) в ряде разложений хЯ, у(е) и л(г) 'соответственно для определения средней взаимной информации между х„=~х, х,...х„~и у„=~у,у,...у„~, где У=20'Т, у, =х, +у, и р(у,~х,) определены (7.1.12).
Средняя взаимная информация между х„и у„для канала с АБГШ равна 1(7~и'~~ч)= ~" Ц" )р(ум~хи)1ой 1 малую = хд У,„ Уя) =,У„) ~ р(у,)х,.)р~х,.)1оя ~ дуйос,, ! ! -~ф сф У~1 р(у,~х,) = — е (" " Максимум 1(Х;У) по входной ФПВ получается, когда входы 11х,) статистически независимые гауссовские случайные величины с нулевыми средними, т.е. р(х,.)= ~ — е" ", (7.1.2б) ,127пт, где а,' — дисперсия каждого х,, Затем из (7.1.24) следует, что шах 1(Х„; У,„) = ~„~~ 1о~ 1+ ~„,*~ = ~~ У 1оЦ 1+ ~,,'~ = И'Т 1оф 1+ — ' ~. (7.1.27) о Предположим, что мы накладываем ограничение на среднюю мощность входных сигналов х(г), т.е. (Р /Ф,)1оа,о М о д о Ю и о -4 0 4 8 !2 16 20 10 !в1Р„рвач,) Рср)~ р )р!ги) Рис. 7.1.7.
Нормированная пропускная способность канала как функция ОСШ для ограниченного по полосе частот канала с АБГШ Рис. 7.1.8. Пропускная способность канала как функция полосы частот при фиксированной средней мощности сигнала Рис. 7.1.8 дает зависимость С' от И'. Заметим, что если рг' становится неограниченной, пропускная способность канала приближается к предельной величине Р„Р, С= — 1оа,егд (7.1.32) 0 О Поучительно выразить нормированную пропускную способность канала С/И' как функцию от ОСШ на бит.
Поскольку Р представляет среднюю мощность (в Ваттах), а С определено в бит/символ, то следует Р„= С~,, (7.1.33) где Ф; — энергия сигнала на бит. Следовательно, (7.1.31) можно выразить так: С' ! С' "'~ ) ~г рд "М" тт~. о (7.1.34) Следовательно, % 2с/Рг 1 (7.1.35) 0 Когда С'/рр'=1, 8~/Уо =1 (ОдБ).Прн С'/Н'-+ос )С' С'1 — = ехр~ — 1п2 — 1п — ) . м, суд - р~у и). Таким образом, сь! Уо растдт экспоненциально, когда С'/рГ-+ оо,. С другой стороны, когда С'/И'-+ О, (7.1.36) Ц рс7и т= 1й С И =1п2, (7.1.37) 1!Ро сун' о С' юг которое равно -1,б дБ. Зависимость С'/И' от йо / Уо показана на рис, 5,2.17.
Итак, мы получили выражение для пропускной способности для трех важных моделей канала, которые рассматриваются в этой книге. Первая — это модель канала с дискретными входом и выходом, для которой ДСК частный случай. Вторая, с дискретным входом и непрерывным выходом, — это модель канала без памяти с АБГШ, При помощи этих двух 328 с увеличением переданной мощности сигнала. С другой стороны, если Р фиксирована, пропускную способность можно увеличить за счет увеличения полосы 6'. Теоремы кодирования в канале с шумами Существуют кодеры канала (и декодеры),которые делают возможным достичь надежную связь со столь малой, насколько желательно, вероятностью ошибки, если скорость передачи Я<С, где С вЂ” пропускная способность канала. Если Я>С, то нет возможности обеспечить стремление вероятности ошибки к нулю каким угодно кодом.
В следующем разделе мы исследуем выгоду кодирования для моделей каналов с аддитивным шумом, описанных выше, и используем пропускную способность канала, чтобы судить о доступном качестве реального кода. 7.1.3. Пропускная способность канала, достигаемая при помощи ортогональных сигналов В разделе 5.2 мы использовали простую объединенную границу, чтобы показать, что для ортогональных сигналов вероятность ошибки можно сделать сколь угодно малой путем увеличения числа сигналов М при условии, что 8', / Ф, > 21п2. Мы указывали, что простая объединенная граница не дает наилучшую нижнюю границу для ОСШ на бит. Проблема в том, что верхняя граница, использованная для аппроксимации Ь1(х) не очень плотная при малых х.
Альтернативный подход сводится к использованию двух различных верхних границ для фх) в зависимости от величины х. Начиная с (5.2.21), мы видели, что 1-11-фу)] <(М вЂ” 1)ь/(у)< Ме / . (7.1.38) Это как раз объединенная граница, которая плотная, когда у велико, т.е. у > у„где у зависит от М. Если у мало, объединенная граница превышает единицу для больших М. Поскольку 1-[1-фу)) <1 (7.1.39) для всех у, мы можем использовать эту границу для у<у„т.к.
она плотнее, чем единичная граница. Тогда (5.2.21) можно оценить верхней границей так: Р <-+~ е ' д' ~с~$+ ~ е '~е ~' ~д' '24. (7.1.40) ~к — е е Величину у„которая минимизирует эту верхнюю границу, можно найти дифференцированием правой части (7,1.40) и приравниванием производной нулю. Это выполняется легко и решение таково: е ~/2 = М (7.1.41) нли, что эквивалентно, 329 моделей канала мы можем судить о качестве кода при получении жестких и мягких решений (детектора) в цифровых системах связи.
Третья модель канала сфокусирована на нахождении пропускной способности в бнт/с непрерывного (по входу и выходу) канала, В этом случае мы предположили ограничение полосы. частот канала, что сигнал искажается в канале аддитивным белым гауссовским шумом и что средняя мощность передатчика ограничена. При этих условиях мы получили результат, даваемый (7.1.31). Главное значение формул для пропускной способности канала, данных выше, это то, что они служат верхней границей скорости передачи для реализуемой связи по каналу с шумом. Фундаментальная роль, которую играет пропускная способность канала, определена теоремами кодирования в канале с шумами, данными Шенноном (1948 а).
(7.1.43) 7 — Р (7.1.44) 2 Ме 712е(244 Ю2 (у ~ Я~) Объединяя границы для двух интегралов и подставив е для М, мы получим -УМ'2 -(%-Уп)72+ (Уп-4' -(и- Р2)' ( /1 < ~д — ) В области 0<у, <Ду Р 4 (м ™(14 4 ~) 24М ™ (ппу ппу,у) (71467 В области Ду < у, < ~/2у два слагаемых в (7.1.45) идентичны. Следовательно, Рм <2е ( " ") ~', (ЗЯу <у, <Ду). (7.1.47) Поскольку у, = 27'21п М =. ~Г2ЙП2 и у = /ау,, границы (7.1.4б) и (7,1.47) можно выразить так: -2(74-2Ь2)'/З 2 (1пМ < ~~у) (4 у <1пМ < у) (7.1.48) 2 -2(.Т74-Я е Первая верхняя граница совпадает с объединенной границей, представленной ранее, но она шире для больших значений М. Заметим, что Р, — +О, когда л-+ о (М вЂ” +со) при условии, что у, >21п2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
