Прокис Дж. Цифровая связь (2000) (1151856), страница 70
Текст из файла (страница 70)
7.2.2. Видна, что 0 < Я, < 1. Следовательно, Р, -+ О, Т вЂ” ь сс, если информационная скорость Л<1Щ. (7.2.21) (7.2.22) 336 от соответствия любой вершины сигнальному вектору з,. Следовательно, Р(з, = ~.) = ~ и Р(„в =' з„. ~ з„.) = '; независимо для всех / = 1, 2, ..., п. Как следствие, вероятность того, что з, и з, различаются в я' позициях, равна ~Ц в вЙ в в, О л К~ 0 о х а О ~О О (7.2.24) од го усреднением по всем кодам и что все отдельные вероятности. очевидно, положительные величины. Если код выбран случайно, вероятность того, что его вероятность ошибки Р, >иР,, меньше, чем 1/а. Следовательно, не больше, чем 10 процентов кодов имеет вероятность ошибки, которая превосходит 10Р, и не больше, чем 1 процент кодов имеют вероятность ошибки, которал превосходит 100Р, . Мы хотим подчеркнуть, что коды с вероятностью ошибки, превосходящей /;, не является обязательно плохими кодами.
Например, предположим, что среднюю вероятность ошибки Р, < 10 " можно получить, используя коды с размерностью и„, когда 110> Л,. Тогда, если мы выберем код с вероятностью ошибки 1000Р, <10 ', мы можем скомпенсировать это увеличение вероятности ошибки увеличением длины кода и от ио до гг = 10гг, /7. Таким образом, скромным увеличением размерности мы имеем код с Р, < 10 ". Суммируя скажем, хороших кодов в изобилии и, следовательно, нх можно легко найти даже случайным выбором.
Также интересно выразить среднюю вероятность ошибки в (7.2.25) через ОСШ на бит у,. Чтобы это сделать, выразим энергию кодового сигнала так: Ж = ггЖ, = Иь. (7.2.26) Следовательно, гг=й$/Ф.. Также заметим, что Л.оь/Ф. =1, Таким образом, (7.2.25) можно выразить так: р < 2 ь(ггпо г) где у, — параметр, определяющей нормирование ОСШ, и равный Л Лу Л, 1 — 1о8,11+8 'г') (72.27) (7.2.28) 22-56 Альтепнативно (7,2 21) можно выразить так: Г Р < 2-"<" -л/и) (7.2. 23) Ф 0,8 Отношение Л /.0 также имеет размерность бит/измерение и может быть определено так; Л Л ЛТ А Л вЂ” — — — = — =— .0 ~т гг и ' 0.,4 ~ Таким образом, Л,, — это скорость кода„и Р„< 2 "'"' "') (7.2.25) Мы замечаем, что, когда Л, < Л,, средняя о вероятность ошибки Р, -ь О, когда длина кодового -)0 -5 0 5 блока и -+ 00.
Поскольку среднюю величину а, ггг~ глв) вероятности ошибки можно сделать произвольно Рис. 7.2.2. Предельиал скорость передачи!г, малой пРи и — +0», отсюда следУет, что сУществУют ' ' ' .к,1) „„„рсщ коды в ансамбле 2~' кодов, которые имеют в децибелах вероятность ошибки не больше, чем Р, . Из определения средней вероятности ошибки, данного выше, мы заключаем, что хорошие коды существуют. Хотя мы нормально не можем выбрать коды случайно, интересно рассмотреть вопрос о том, может ли случайно выбранный код быть хорошим. Действительно, можно легко показать, что в ансамбле имеется много хороших кодов.
Сначала заметим, что Р, — это средняя по ансамблю вероятность ошибки, полученная Рис. 7.2,3. Нижняя граница для ОСШ нв бит для двоичных пратнвоположных сигналов 7.2.2. Случайное кодирование, основанное на использовании М кодовых слов с многоуровневыми сигналами Вместо того. чтобы синтезировать двоичные кодовые сигналы, предполо>ким, что мы используем недвоичные коды с кодовыми словами вида (7.2.1), где кодовые элементы с, выбираются из ансамбля !О, 1,, гг — Ц . Каждый кодовый элемент отображается в одно из г7 возможных значений амплитуд.
Таким образом, мы синтезируем сигналы, соответствующие н-мерным векторам (в,.), как в (7,2,4), где компоненты !з„.) выбираются из ряда амплитуд, принимающих гг возможных значений. Мы имеем гу" возможных сигналов Из них мы выбираем М = 2"' сигналов для передачи 7г -битовых информационных блоков, Величины гг амплитуд, соответствующих кодовым элементам (0,1, ..., гу — 1), обозначим (а,,ав, ...а„) и будем предполагать, что они выбираются с вероятностями (р,) . Предполагается, что уровни амплитуд равномерно распределены на интервале [ — 3/Ь.', Д). Для примера, рис. 7.2.4 иллюстрирует значения амплитуд при 338 Теперь заметим, что Р. -+ О, когда Ф вЂ” + сс при условии, что ОСШ на бит у, > ув Зависимость у, от Л„у, показана на рис.
7.2.3. Заметим, что когда Л„у, — > 0 у„= 21п 2 Следовательно, вероятность ошибки для М двоичных рв нг кодовых сигналов эквивалентна вероятности ошибки, полученной из объединенной границы для М-ичных ортогональных сигналов, предполагая, что размерность кодового сигнала достаточно велика, так что у„ж 2!л2. 2 Параметр размерности >'.>, который мы ввели в (7.2.5), пропорционален полосе канала, требуемой для ред о * а . На ооа о, ~~ от~~но ~ор е '" лов~в~> отсчетов, сигнал с полосой И' можно представить отсчетами, взятыми со скоростью 2И' отсчетов/с.
Таким образом, на временном интервале 7' имеется п=2И'Т отсчетов или, что эквивалентно„имеем н степеней свободы (размерность). Следовательно, 13 можно приравнять 2И'. В заключение заметим, что двоичные кодовые сигналы, рассмотренные в этом разделе, используются, когда ОСШ на измерение мало, например, й,/Ф„<10. Однако, когда бе/Ж„>10, величина Л, асимптотически прибли>кается к 1 бит!измерение. Поскольку скорость кода ограничена так, что она меньше Л„, то двоичные кодовые сигналы получаются неэффективными при о,/Ф, >10. В этом случае мы можем использовать недвоичные кодовые сигналы для того, чтобы достичь увеличение числа бит на измерение. Например, многоуровневый кодовый ансамбль можно синтезировать из недвоичных кодов путем отражения каждого кодового элемента в один из возможных уровней (как в АМ) Такие коды рассматриваются ниже.
на -1са, Рис. 7.2,4. Сигнальный алфавит, состонший из 4 уровней амплитуды гле /(, определено как (и п л, =-ьн,~~~рр,„е и! пм1 (7,231) с/„и =1а, -ап,~, /,т=1,2,.....,с/ В частном случае, когда все уровни амплитуд равновероятны, И = Р., =1/с/ (7.2.32) и (7.2.31) сводится к ю и Лп = -1од„' —,~~ ~~~ р,р„,е '"""'" ~ . (7.2.33) "-(,с/"-,, „,, с: Для примера, когда с/= 2 и а, = -т)В,, а, = 3)о„'., имеем с/и = Ап = О, с/ е = К, = 2т~С, и, следовательно, Л 1002 1 -$'И с/= 2, что совпадает с нашим прежним результатом.
Когда с/=4, а, =-3/Ф., а, =-и/И,'/3. и, =.Д/3, а, = Д, имеем а~„,н = О для т = 1, 2, 3, 4, с/,с=-с/а;=с/,„=с/а,=-с/„=-с/„=,ф~З, с/„— .с/а,чс/а,=с/,а=4Я(3 и с/ы = д„= 2Д . Следовательно, 2 Лп =1оц, -: н, -ла,,п. „- н„с/ =4. (7.2.34) 2+Зе ' '+2е а' "+е Ясно, /сп теперь насыщается до 2 бит/измерение по мере увеличения 6,/Л/и .
График Л„как функции б./Фп при равноотстоящих и равномерно распределенных уровнях амплитуд показан на рис. 7.2.5 для с/ = 2, 3,4,8,16, 32 и 64. Заметим, что таким образом, для больших ОСШ Р, -+ О, когда и -+ оа при условии, что /1 < И7„= 20'К, бит/с. Если мы изменим пиковую энергию элемента, но сохраним заданную среднюю энергию на кодовое слово, как дано в (7.2.29), возможно получить большую верхнюю границу на число бит/измерение. Для этого случая, результат. полученный Шенноном (1959Ь), равен 339 22* В общем, соседние уровни амплитуд разделены интервалом 23/Ф. /(с/ — 1). Такое задание гарантирует не только то, что каждая компонента нп ограничена пиковой энергией Д, но также и то, что каждое кодовое слово ограничено по средней энергии, удовлетворяющей условию !!4'.
б, (7.2.29) Путем повторения подхода, данного выше, для случайного выбора кодов в канале с АБГШ, находим, что средняя вероятность ошибки ограничена сверху /э ~М2 и — 2п2 ыо 2 м~ь лпа (7.2. 3 О) 1+ — 1+ — 1+ 1+ 1 1082 е+ 1082 (7.2.35) 1О,О б,О 4,0 а 2,0 и 'О 8' 1,0 й ' Л~ Об 0,4 0,2 -10 0 10 20 30 40 50 Зиереееииеоиое отиоиееиие ио измерение 10 10 1ОЩ5 Рис. 7.2,5. Предельная скорость КО для равноотстоящих уровиеи амплитуды с равными вероятностями 7.2.3.
Сравнение предельной скорости с пропускной способностью канала с АБГШ Пропускная способность частотно-ограниченного канала с АБГШ с заданной средней мощностью входного сигнала было приведена в разделе 7.1.2 и определяется так: Р С' = 5'1од2 1+ ~~) бит/с, (7.2.36) о где Є— средняя мощность входного сигнала, а рр' - полоса канала. Интересно выразить пропускную способность этого канала в бит/измерение, а среднюю мощность в энергии/измерении. С учетом того, что .0 = 2К и Ф Р Т В = — = и и имеем и Р = — Ф, =Ро,. (7.2.37) Определив С„= С'/25'= С'/й и заменив 6' и Р„в (7.236), можно записать С„= — 1ои21 1+ 2 ~ ~ = — 1ок2(1+ 2Л,7,) бит/измерение. (7.2.38) о Эго выражение для нормированной пропускной способности канала можно сравнить с Рт„', как показано на рис.
7.2.6, Поскольку С,— безусловный верхний предел скорости передачи В/.О, то 1т'„< С„, как и ожидалось. Мы также видим, что для малых значений о;/УО разница меду Л,', и С„приближенно равно 3 дБ. Следовательно, использование 340 График /т„' в функции от ОСШ на измерение (Ф,~Ф, ) также дан на рис. 7.2.5. Ясно, что наш выбор равномерно отстоящих, равновероятных уровней амплитуд, который приводит к 2т„является субоптимальным. Однако, эти кодовые сигналы легче синтезировать и реализовать на практике.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
