Прокис Дж. Цифровая связь (2000) (1151856), страница 149
Текст из файла (страница 149)
Таким образом, использование дополнительных последовательностей, когда и четно, дает код с минимальным расстоянием исГ . и весом ';нп. Простейшая форма этого метода это случай, когда и = 2 и, когда каждый О заменяется на пару 01 и каждая 1 заменяется последовательности 10 (или наоборот).
В качестве примера возьмем в качестве исходного кода расширенный код Голея (24, 12). Параметры исходного и результирующего кодов с постоянным весом даны в табл.14.6.1. Таблица 14.б.1, Пример кода с постоянным весом, формируемого методом 1 Па амст ыко а Исхо ныйко Голая Ко спостояннымвссом 24 12 4096 8 пе мснный 48 12 4096 16 34 704 Метод 2: Вычеркивание. В этом методе мы начинаем с произвольного двоичного блокового кода и выбираем из него подмножество, состоящее из всех слов определенного веса. Несколько различных кодов с постоянным весом можно получить из одного исходного кода, меняя выбор веса 1е.
Поскольку кодовые слова результирующего кода с вычеркиванием можно рассматривать как подмножество всех перестановок любого кодового слова множества, Гаардер (1971) использовал для этого кода термин двоичная перестановочная модуляция с вычеркиванием (Ь!лагу ехрцгца1ег! регппнайоп пюг101абоп— ВЕХРЕКМ). Действительно, двоичные блоковые коды с постоянным весом, сконструированные другими методами, также можно рассматривать как ВЕХРЕКМ коды.
Этот метод генерирования кодов с постоянным весом по существу противоположен первому методу, в котором длина слова и держится постоянной, а объем 1размер) кода М меняется. Ясно, что минимальное расстояние для подмножества с постоянным весом не меньше, чем в исходном коде. В качестве примера мы рассмотрим код Голея 124, 12) и образуем два различных кода с постоянным весом, показанные в табл.14.6.2.
Таблица 14.6.2. Примеры кодов с постоянным весом, формируемых вычеркиванием Па амет ыко ов Исхо пыйко Гелен Ко с пост. весом№1 Ко споет. весом№2 24 12 4096 8 пе менный 24 12 25?6 >8 12 24 9 759 >8 8 Метод 3: Матрица Адамара. Может казаться, что этот метод формирует двоичный блоковый код с постоянным весом непосредственно, но фактически он является частным случаем метода вычеркивания. В этом методе формируется матрица Адамара, как описано в разделе 8.1.2 и создается код с постоянным весом путем выбора столбцов (кодовых слов) из этой матрицы.
Напомним, что матрица Адамара это их и матрица 1п четное целое) из 1 и 0 со свойством, что один столбец отличается от любого другого столбца точно в ~ьп позициях. Один столбец матрицы нормально выбирается из одних нулей. В любом из других столбцов половина элементов 0 и другая половина 1. Код Адамара с кодовыми словами размера 2(п-1) получается путем выбора этих п — 1 столбцов и нх дополнений. Выбирая М = 2' < 2(п-1) из этих кодовых слов, мы получаем код Адамара, который мы обозначим Н(и,1), в котором каждое кодовое слово содержит информационных символов. Результируюший код имеет постоянный вес . и и минимальное расстояние ь1 „= ьп. Поскольку п частотных ячеек используются для передачи 1 информационных символов, показатель расширения полосы для кода Адамара Н(п, Ф) определяется так: П В, = — ячеек на информационный бит, что равно величине, обратной скорости кода, Среднее отношение сигнал-шум 10СШ) на бит, обозначаемое у„связано со средним ОСШ на ячейку у, соотношением у.
= уь = 2 уь =2п,уь = 2у 114.6.16) 705 45-56 Сравним качество кода Адамара с постоянным весом при фиксированной ограниченной полосе частот с традиционным М-ичным ортогональным ансамблем сигналов, причем каждый сигнал имеет порядок разнесения Ь. М ортогональных сигналов с разнесением эквивалентны блоковому ортогональному коду, имеющему длину блока п = АМ, а 1 = 1оя, М. Для примера, если М = 4 и Л = 2, кодовые слова ортогонального кода равны С,=[11000000] с,=[оо11оооо] Сь [О 0 0 0 1 1 0 0 с,=[оооооо11] ь Для передачи этих кодовых слов используется ООК модуляция, требующая и =- 8 ячеек и поскольку каждое кодовое слово содержит к = 2 бита информации, показатель расширения полосы В, = 4.
В общем, мы обозначим ортогональный блоковый код 0(и, А:). Показатель расширения полосы частот В,= — = —, и ЕМ (14.6.17) /г Таким образом, ОСШ на бит связано с ОСШ на ячейку отношением у,= — у,=М вЂ” у,=М вЂ” ' — Уь Л и В, (14.6.18) Теперь обратим наше внимание на характеристику качества этих кодов. Во-первых, точное значение вероятности ошибки кодового слова (символа) для М-ичного ортогонального кода по каналу с релеевскими замираниями с разнесением было дано в замкнутой форме в разделе 14.4. Как показано раньше, это выражение скорее громоздкое для расчетов, особенно когда Л или М или оба параметра большие.
Вместо этого мы используем объединенную верхнюю границу, которая очень удобна. Это значит, для ансамбля из М ортогональных сигналов, вероятность ошибки на символ ограничена сверху Р~ -(М-1)Рь(~) =(2'-Ф(~-) «2'Р2Ф (14.6.19) "и — (М 1)~ 2 (2 ььдцп ) «2 Рг(ь Аип ) 114.6. 20) Таким образом, «эффективный порядок разнесения» кода ООК модуляции равен ~за',„.
Вероятность ошибки на бит можно выразить как ',-Р„или она неплотно ограничена сверху путем умножения Р, на множитель 2" '/(2" — 1), который является множителем, использованным выше для ортогональных кодов, Последний был выбран для расчетов вероятности ошибки, данных ниже, Рис.14.6.6 и 14.6.7 иллюстрируют соответственно вероятность ошибки выбранного числа кодов Адамара и ортогональных блоковых кодов, соответственно для нескольких показателей расширения полосы частот. Выгода, полученная от увеличения объема М алфавита (или Ф, так как Й = 1оя, М) и увеличения показателя расширения полосы частот очевидно из рассмотрения этих кривых, Заметим для примера, что двукратное повторение кода Н(20,5) приводит к коду, обозначенному,Н(20,5) и имеющему показатель расширения полосы частот В, ='8.
Рис.14.6.8 показывает качество двух типов кодов, сравниваемых при равенстве показателя расширения полосы частот. Можно увидеть, что кривые вероятности ошибки для кодов Адамара идут круче, чем соответствующие кривые для блоковых ортогональных кодов. Это характерное поведение 70б где Р,(Е) — вероятность ошибки для двух ортогональных сигналов, каждый с разнесением порядка Ь, определяемая 114.6.12) с р = 1/(2+7,).
Вероятность ошибки на бит получается умножением Р, на 2" '/(2' — 1), как объяснено раньше. Простая верхняя 1объединенная) граница вероятности ошибки для кодового слова кода Адамара Н(и, к) можно получить, если учесть, что вероятность ошибки различения между переданным кодовым словом и любым другим кодовым словом .ограничена сверху величиной РЯ~;й „), где аь — минимальное расстояние кода.
Следовательно, верхняя граница для Р,, равна объясняется просто тем фактом, что при том же показателе расширения полосы частот коды Адамара обеспечивают большее разнесение, чем ортогональные блоковые коды. Альтернативно можно сказать, что коды Адамара обеспечивают лучшую эффективность использования полосы частот, чем ортогональные блоковые коды. Необходимо напомйить, однако, что при малых ОСШ код с низким разнесением превосходит коды с большим разнесением, как следствие того факта, что в канале с релеевскими замираниями имеется оптимальное распределение суммарного принимаемого ОСШ по сигналам разнесения.
Следовательно, кривые ортогональных блоковых кодов пересекают сверху кривые кодов Адамара в области малых ОСШ ~высокая вероятность ошибки). Метод 4; Каскадирование. В этом методе мы начнем с двух кодов: один двоичный и другой недвоичный, Двоичный код — внутренний блоковый код (и, й) с постоянным весом (нелинейный). Недвоичный код, который может быть линейным, является внешним.
Чтобы отличать его от внутреннего кода, мы используем большие буквы, например (У,К) код, где Ат и К измеряются числом символов тт-ичного алфавита. Объем д алфавита, через который определяется внешний код, не может быть больше, чем число слов внутреннего кода. Внешний код, если он определяется через кодовые слова двоичного внутреннего кода д-ичными символами, это новый код.
Важный частный случай получается, когда ег = 2' и объем внутреннего кода выбирается равным 2" . Тогда число слов М = 2~ и каскадная структура образует (рта, яК) код. Показатель расширения полосы частот этого каскадного кода определяется произведением показателей расширения полосы частот внутреннего и внешнего кодов. та-1 10 е 10-' еа-' ш-1 1О-4 та-е гг г4 та 12 14 1О 1В 20 22 24 Среднее ОСШ 24 тдш 12 14 14 10 20 среднее осш тг <ДБт 10 Рис. 14.6.6.
Характеристики кода Адамара Рио. т 4.6.7. Хараатериотики блоковых ортотоиалвиых колов 707 454 2 б х В е „1О-' д 5 е 2 й 1Ое г 10-4 о Теперь мы покажем выгоду в качестве, получаемую в канале с релеевскими замираниями посредством каскадного кода. В частности мы сконструируем каскадный код, в котором внешний код является я -дуальным (недвоичным) сверточным кодом, а внутренний код является или кодом Адамара, или блоковым ортогональным кодом. То есть мы рассматриваем я-дуальный код с М-ичными 1М = 2 ) ортогональными сигналами для модуляции, как каскадный код. Во всех случаях при расчетах мы предполагаем декодирование по Витерби мягких решений. Вероятность ошибки для к-дуального сверточного кода получена при дифференцировании передаточной функции кода, определенной 18.2.39).
Для Й-дуального кода без повторений со скоростью 1/2 вероятность ошибки на бит (для случая, когда кодовый выходной ябитовый символ 1г -дуального кода отображается в один из М = 2' ортогональных кодовых слов) ограничена сверху 2" ' Ре < 1, ,'~ 5аР2(222)> (14.6.21) 1 >е=4 и а 2 1е-> Й в г 8 1О-' 5 '> 1О-в 10 12 14 16 18 20 22 срагн»> Осш В 1ав) Рне. 14.6.8. Сравнение харангернстив игдов Адамара н бноигвык оргон>навьных иодов 703 где Рг(вг) дано (14.6.12). Для примера, 2-дуальный код со скоростью 1/2 может использовать 4-позиционный ортогональный код 0(4,2) в качестве внутреннего.
Показатель расширения полосы частот для результирующего каскадного кода равен, конечно, произведению показателей расширения полосы частот внутреннего и внешнего кодов. Так, в этом примере скорость внешнего и внутреннего кодов равна 1/2. Следовательно, В, = (4/2) (2) = 4 . Заметим, что если каждый символ к-дуального кода повторить г раз, то это эквивалентно использованию ортогонального кода с разнесением Л = г.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
