Прокис Дж. Цифровая связь (2000) (1151856), страница 144
Текст из файла (страница 144)
Имеется и другая техника разнесения, которая используется на практике, такая как угловое разнесение и поляризационное разнесение. Однако они не используются так широко, как те, которые описаны выше. 14.4,1. Двоичные сигналы Теперь определим вероятность ошибки для двоичной системы связи с разнесением. Начнем с описания математической модели для системы связи с разнесением. Прежде всего предположим, что имеется Ь каналов разнесения с сигналами, носящими одинаковую информацию.
Каждый из каналов считается неселективным по частоте. с медленными замираниями и с распределенной по Релею огибающей сигнала. Процессы замираний в Е каналов разнесения считаются статистически независимыми. Сигнал в каждом канале искажается белым гауссовским случайным процессом с нулевым средним. Шумовые процессы в Л каналах считаются взаимно статистически независимыми и с одинаковыми автокорреляционными функциями. Эквивалентные низкочастотные принимаемые сигналы для Ь каналов можно представить в виде г, =и,е '~'л,„Я+гЯ, 1=1,2,....,Л, т=1,2, (1441) где ~х,е кь~ представляют множители ослабления и фазовые сдвиги в Ь каналах, л„(1) обозначает и -й сигнал переданный по Ф -му каналу, а г (~) обозначает аддитивный белый гауссовский шум в /~-ом канале.
Все сигналы ансамбля л „(г) имеют одинаковую энергию. Оптимальный демодулятор для сигнала в к=м канале состоит из двух согласованных фильтров. Один имеет импульсную характеристику Ь„(1)=л,",(Т-~), (14.4.2) а второй имеет импульсную характеристику Ь„(1) = л„",(Т-1). ' (14.4,3) Конечно, если используется двоичная ФМ, то л„(1)= — л„,(~). Следовательно, для двоичной ФМ требуется один согласованный фильтр. После согласованных фильтров следует.
устройство сложения, в котором формируются две величины для принятия решения. В устройстве сложения, обеспечивающие наилучшее качество, выход каждого согласованного фильтра умножается на соответствующий комплексный (сопряженный) канальный множитель а,е~~'. Цель этого умножения — компенсировать фазовый сдвиг в канале и взвесить сигналы множителем, пропорциональным уровню сигнала. Таким образом сильный сигнал получает больший вес, чем слабый. После того, как операция комплексного взвешивания закончена, формируются две суммы. Одна . содержит взвешенный выход фильтров и соответствует передаче О. Вторая содержит взвешенный выход фильтров и соответствует передаче 1.
Такое оптимальное сложение называют сумматором максимальных отношений Бреннана (1959). Конечно, реализация такого сумматора'основана на предположении, что канальные ослабления ~а,) и фазовые сдвиги 671 ~ф,) известны точно. (Влияние шума оценок на вероятность ошибки многопозиционной ФМ рассмотрено в приложении С). Блок-схема, иллюстрирующая модель двоичной системы связи, описанной выше, показана на рис.14.4.1. 5!!1!) Рис. 14.4.1.
Модель двоичной цифровой системы связи с разнесением ь !. У=Ке 2Ф~~> а„+~~!,а„У„=25'! а'„+~ а„У,, (14.4.4) ь=! /с=! ь=! ь=! где У означает реальную часть от комплексной шумовой гауссовской случайной величины У„= е!4') г,(1)з,"(ф1. (14.4. 5) Будем следовать подходу, использованному в разделе 14.3 при расчете вероятности ошибки. Это значит, что сначала находим вероятность ошибки при фиксированных значениях множителей ослабления (сь„). Затем эта условная вероятность ошибки усредняется по ~а,).
Релеевские замирания. При фиксированных значениях параметров (аД величина для решения Уявляется случайной гауссовской со средним Е(У) = АХ а2 (14.4.6) и дисперсией а', = АУ,~а,'. (14.4.7) ы! При таких значениях среднего и дисперсии вероятность того, что У < О, равна М)=а(з% ) (14.4.8) где ОСШ на уь определяется так л у = — Х"=Ху' Уо ы! !=! (14.4.9) 672 Сначала рассмотрим качество двоичной ФМ с Ь-кратным разнесением. Выход сумматора максимальных отношений можно выразить через единственную величину решения в виде где у =Фа'~У, — мгновенные ОСШ в Ьм канале. Теперь мы должны определить ФПВ р(у,).
Эту функцию существенно проще определить через характеристическую функцию у~. Сначала заметим, что при Е =1 у, му, имеет хи-квадрат плотность вероятности, определенную (143.5). Характеристическую функцию у, легко найти ~„(рт) = Е(е'""')= (14.4. 10) 1-Л6, где у.— среднее значение ОСШ на канал, которое считается одинаковым для всех каналов. Это значит, что у, = — Е(а,') (14.4.1 1) о независимо от я. Это предположение используется для всех результатов этого раздела.
Поскольку замирания по всем Л каналам статистически независимы, (у„) статистически независимы и, следовательно, характеристическая функция суммы равна результату (14.4.10) в Е -й степени, т.е. 1 '"'"' (- -) Но эта характеристическая функция случайной величин с хи-квадрат распределением с 2А степенями свободы. Из (2.1.107) следует, что ФПВ р(у,) равна (14.4.13) (ф-1уу', Заключительная ступень расчета сводится к усреднению условной вероятности ошибки (14.4.8) по статистике замираний, т.е.
к вычислению интеграла. Р =~, Р(у)Р(у М (14.4. 14) Имеется замкнутая форма решения (14.4.14), которую можно выразить так (14.~$. 12) р*=[-11-н)] К~ ]~-(1+в)] . (14.4.15) где по определению (14.4.16) Когда средняя ОСШ на канал у, удовлетворяет условию у, »1, слагаемое ",' (1 ч-р) = 1, а слагаемое ~(1-1т)=1/4у,. Далее т-' Ь-1+от 2Е-1 (14.4,17) Следовательно, когда у, достаточно велико (больше 10дБ) вероятность ошибки (14.4.15) можно выразить так (14.4.18) 43-5б 673 Из (14.4.18) мы видим, что вероятность ошибки меняется как 1/у, в степени Ь . Таким образом при разнесении вероятность ошибки уменьшается обратно пропорционально А -й степени ОСШ. У! =Ве 28~~) и„'+~~> а,У, !=! /с=! У, =В.е ~~! а„У„,, !=! (14.4.19) причем мы предположили, что был передан сигнал з!!(1), а (У„!) и (У„) являются двумя ансамблями шумовых компонент на выходе согласованных фильтров.
Вероятность ошибки равно вероятности того, что У, >У!. Этот расчет подобен расчету для ФМ, исключая того, что мы теперь имеем удвоение мощности шума. Следовательно, когда (а 1 фиксированы, условная вероятность ошибки равна для ЧМ ,О=а(~у.) (14.4.20) Используем (14.4.13) для усреднения Р,(у,) по статистике замираний. Не удивительно, что мы найдем, что результат (14,4. 15). остается в силе с заменой у, на з у,.
Т.е.,'(14.4.15) определяет вероятность ошибки для двоичной ортогональной ЧМ при когерентном детектировании с параметром 1!, равным 1! — Я. (14.4.21) ~ 2+у, Далее, для больших значений у, вероятность Р, можно выразить так Р,в Сравнивая (14.4.22) и (14.4.18), видим, что разница в 3 дБ по ОСШ между ФМ и ортогональной ЧМ при когерентном детектировании, существующая в канале без замираний и без рассеяния, остается такой же в канале с замираниями.
В проведенном выше обследовании двоичных систем ЧМ и ФМ при когерентном детектировании, мы предположили, что на приеме используются свободные от шума оценки комплексных канальных параметров ~х,е '~'~. Поскольку канал меняется 'во времени параметры ~х„е '~') нельзя оценить точно. Действительно, в некоторых каналах изменения во времени могут быть достаточно быстрыми и препятствовать применению когерентного детектирования.
В этом случае мы рассмотрим использование либо ДФМ или ЧМ с некогерентным детектированием. Сначала рассмотрим ДФМ. Чтобы использовать ДФМ изменения в канале должны быть достаточно медленными для того„чтобы фазовые сдвиги (ф„) ие менялись заметно на двух соседних сигнальных интервалах, В нашем анализе 'мы предположим, что канальные параметры (и,е !~'~ остаются постоянными на два соседних сигнальных интервала. Таким образом сумматор для двоичных ДФМ выдает на выходе величину для решения (14.4.22) !! = К~~ (2ВЬ ~ с'.~Ф„ ~(26й ь ~' -:-М„)], (14 4 23! 674 Получив вероятность ошибки для двоичной ФМ при разнесении, теперь обратим наше внимание на двоичную ортогональную ЧМ при когерентном детектировании.
В этом случае, две величины для решения на выходе сумматора максимальных отношений можно выразить так где (Уи1 и1 (Ф~,1 означают пРинимаемые шУмовые компоненты на выходе согласованных фильтров на двух соседних сигнальных интервалах. Вероятность ошибки равна вероятности того, что 0<0. Поскольку У-это частный случай общей квадратичной формы комплексных гауссовских случайных величин, обсуждаемой в приложении В, вероятность ошибки можно найти непосредственно нз результатов, данных в этих приложениях. Альтернативно, мы можем использовать вероятность ошибки, определяемую (12.1.3), для сигналов двоичной ДФМ, передаваемых по Ь неизменных во времени каналам, и усреднить ее по релеевской статистике замирающего сигнала.
Таким образом мы имеем условную вероятность ошибки Р1ъ)=Я г '~ь,У, где у, определяется (14.4.9) и 1 ь ' 121-1 -0 (14.4. 24) (14.4.25) Усреднение Р,(у,) с учетом ФПВ р(у,), определяемый (14,4.13), легко приводит к результату ь-~ Р~ =,, ь ~ ~ЬЯŠ— 1+1с)~ — ' . (14.4.2б) г"-'((.-1)!(1+У,)',, ' 1+7. (14.4.29) 675 Отметим, что результат (14,4.26) можно преобразовать к виду (14.4.15), который применим также для когерентной ФМ и ЧМ. Для двоичной ДФМ параметр и в (14.4.15) определяется так (смотри приложение С) р — 6.— (14.4.27) 1+у, Для 'у, >> 1 вероятность ошибки в (14.4.26) можно аппроксимировать выражением -~4'Г ~ (14.4.
28) Последний тип сигналов, который мы рассмотрим в этом разделе, — это сигналы двоичной ЧМ с некогерентным детектированием. Такие сигналы подходят как при медленных, так н при быстрых замираниях. Однако анализ качества, проведенный ниже, основывается на предположении, что замирания достаточно медленные, так что канальные параметры ~х е ~~" ~ остаются постоянными на сигнальном интервале.
Сумматоры многоканальных сигналов являются сумматорами квадратов выходов согласованных фильтров. Их выходы определяют две величины для решения У, ="„Г~28а,е ~~'+У„~ ~г=~ т о, =Ям„~, ь! причем считается, что У, содержит полезный сигнал. Вероятность ошибки это вероятность того, что У, > У,. Как и в случае ДФМ, мы имеем выбор из двух подходов в определении качества ЧМ при квадратичном сложении. В разделе 12.1 мы указали, что выражение для вероятности ошибки двоичной ЧМ при квадратичном сложении сигналов такое же как для ДФМ с заменой у на ~~у,. Это значит, что двоичная ЧМ требует р(У,) =, У,""ехр -~~ 1 (14.4.31) где а,' = — Е( 26Ы е ~ ~ к м~ ) = 25М (1 ~ у ). Аналогично (2п,') (с-1)! 1, 2о'~) (14.4.32) где Вероятность ошибки и есть вероятность того, что У, > У,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
