Прокис Дж. Цифровая связь (2000) (1151856), страница 145
Текст из файла (страница 145)
Читателю оставляется в качестве упражнения показать, что эта вероятность определяется (14.4.15), где р определяется (14.4.30). Если у, »1, вероятность ошибки для ЧМ с квадратичным детектированием можно упростить, как мы это делали раньше для других двоичных многоканальных систем.
В этом случае вероятность ошибки хорошо аппроксимируется выражением (14.4.33) Вероятность ошибки для ФМ, ДФМ, ортогональной ЧМ с некогерентным детектированием иллюстрируется на рис.14.4.2 при 1=1, 2 и 4. Качество определяется как функция от среднего ОСШ на бит у„которое связано со средним ОСШ на канал у, формулой уь =~у (14.4. 34) Результаты рис.14.4.2 ясно иллюстрируют выгоду разнесения как средство для преодоления тяжелых потерь в ОСШ, вызванные замираниями.
б7б дополнительно увеличение ОСШ на 3 дБ для достижения неизменного качества в канале с постоянными параметрами. Следовательно, условная вероятность ошибки ДФМ, определяемая (14.4.24), остается при квадратичном сложении справедливой и для ЧМ если у, заменить на ~~у„. Результат, полученный при усреднении (14.2.24) по статистике замираний и даваемый (14.4.26) также применим для ЧМ с заменой у, на ~~у,. Но мы также установили прежде, что (14.4.26) и (14.4.15) эквивалентны. Следовательно вероятность ошибки, даваемое (14-4-15) также справедлива при квадратичном сложении ЧМ с параметром и, определяемом так р — й (14.4,30) 2+у, Альтернативный подход, использованный Пирсом (1958) для получения вероятности того, что У, > У, так же прост, как метод, описанный выше.
Он начинается с ФПВ р(У,) и р(У,). Поскольку комплексные случайные величины (а„е '~'), (У„) и (У„) распределены по Гауссу с нулевыми средними, величины для решения У, и У, распределены согласно хи-квадрат распределению с 2Е степенями свободы. Это значит г 10-а сс 5 10-5 5 2' 10-6 5 10 15 20 25 30 35 40 Ср д ОС1117, (дБ) Рис. 14.4.2. Качество двоичных сигналов с разнесением 14.4.2. Миогофазные сигналы В приложении С детально рассматривается передача многофазных сигналов через канал с релеевскими замираниями. Наша основная цель в этом разделе привести общие результаты для вероятности ошибки на символ в М-ичной ФМ и ДФМ и для вероятности ошибки на бит в четырехфазной ФМ и ДФМ.
Общий результат для вероятности ошибки на символ для М-ичной ФМ и ДФМ агсс1я где (14.4. 3 6) для когерентной ФМ (для ФМ при когерентном приеме) и 12 — — а— (14.4.37) .1+у, для ДФМ. Опять у. это среднее значение ОСШ на канал. ОСШ на бит 7, =Ьу,/А, где о62 Вероятность ошибки на бит для четырехфазной ФМ и ДФМ получена в предположении, что пара информационных бита отображается в четыре фазы согласно коду Грея. Выражение для вероятности ошибки на бит, полученное в приложении С, равно 677 (14.4.38) (14.4.39) Рм = для ДФМ и (14.4.40) для ФМ. Таким образом, при больших ОСШ когерентная ФМ на 3 дБ лучше, чем ДФМ, в канале с релеевскими замираниями.
Эта разница также сохраняется при увеличении А. Вероятность ошибки на бит отображается на рис. 14.4.4 для двухфазовой, 1О-' 5 четырехфазной и восьмифазной ДФМ при 1=1, 2,4. — + 2 '10-' 5 0,5 2 !О-' 5 од 1О-' а я 5 2 М 10-2 И о 2 5 а о 1О-' о г г О 10-з 2 1О-' 5 1О 15 20 25 30 35 40 Среднее ОСШ уа <дБ) 5 10 15 20 25 30 35 Ср д ОСШт, 1ди> Рис. 14.4.3. Средняя вероятность ошибки на символ для ФМ и ДФМ в релеевсюм канале Рис. 14.4.4.
Вероятность ошибки иа бит для ДФМ в релеевсюм канале с разнесением Выражение для вероятности ошибки на бнт восьмифазной ДФМ с кодом Грея здесь не дается, но она имеется в статье Прокиса (1968). В этом случае мы видим, что качество для двух- и четырехфазной ДФМ приблизительно одинаково, в то время как восьмифазная ДФМ на 3 дБ хуже . Хотя мы не привели вероятность ошибки на бит для когерентной ФМ, можно показать, что 2- и 4-фазные когерентные ФМ имеет примерно одинаковое качество.
14.4;3. М-позиционные ортогональные сигналы В этом подразделе мы определим качество М-ичной ортогональной системы сигналов, передаваемых по каналу с релеевскими замираниями, и оценим выгоду сигналов с 678 где р-снова определяется (14.4.36) и (14.4.37) для ФМ и ДФМ соответственно. Рис.14.4.3 иллюстрирует вероятность ошибки на символ для ДФМ и когерентной ФМ при М =2; 4, 8 и Л =1. Заметим, что разница в качестве между ДФМ и когерентной ФМ равна примерно 3 дБ для всех значений М, Действительно, когда уь»1 н Е =1, (14.4 35) хорошо аппроксимируется так (14.4.45) где ~1 — набор коэффициентов. Тогда (14.4.44) приводится к виду ( )ие1 (~ — 1).
=1 (1+т+тУ,) я=о ~к1+т+тУ ! Если нет разнесения (Л 1),, вероятность ошибки (14.4.4б) приводит к простой форме ( )ие! М-1 = Г (14.4.47) 1+ т+ ту, оя 10' 5 2 Го 5 минимум Р, получается, когда у, = у,/Е = 3. Оказывается, что этот результат не зависит от объема алфавита М. 10' 2 3 3 10 20 30 50 Порядок резнеоеяня, Ъ Рис.
14.4.5. Характеристика двоичных ортогональных сигналов при квадратичном детектировании с разнесением 680 Вероятность ошибки символа Р можно преобразовать в эквивалентную вероятность ошибки на бит, умножая Р, на 2' '/(2 -1).- Хотя выражение для Р, (14.4.4б) находится в замкнутой форме, оно затруднительно лля вычислений для больших значений М и Е. Альтернативно можно вычислить 1 Р„ численным интегрированием, используя выражение (14.4.44). Результаты, иллюстрнруемые ниже на графиках, были получены из (14.4.44).
Сначала рассмотрим вероятность ошибки для М-ичной ортогональной системы сигналов с квадратичным 1 сложением, как функция от порядка разнесения. Рис.14.4.5 и 14.4.6 ИЛЛЮСтрИруЮт ХараКтЕрнотИКИ РМ дЛя о' 2 М=2 и 4, как функция Е, когда и 10' суммарное ОСШ, определенное как И у = Щ„остается фиксированным. Эти результаты указывают нато, что имеется е 10. оптимальный .порядок разнесения для каждого у 'Это значит, что для любого 8. ое 2 у имеется величина Л, при которой Рм 10е минимальна. Тщательное исследование 5 этих графиков обнаруживает, что 1 О,5 0,2 ю' 5 г ю' 5 В,= ' =!ОК,М' г 1О' 2 3 5 10 20 ЗО 50 то результаты, показанные на Порядок разнесения, Л рис.14.4.7, указывает на то, что Рис.
14,4.6. Характеристика ортогональных сигналов с Я = 4 Увеличение А более эффективно *1ем ' прн квадратичном детектировании с разнесением соответствующее увеличение М. Как мы увидим в разделе 14.6, кодирование является эффективным по полосе частот средством для получения разнесения сигнала, переданного по каналу с замираниями. Граница Чернова. Перед окончанием этого раздела, мы определим верхнюю границу Чернова для вероятности ошибки двоичной ортогональной системы сигналов с разнесением Е-го порядка, которое будет полезным в нашем обсуждении кодирования для каналов с замираниями, что является предметом раздела 14.6. Наша исходная точка это выражение для двух величин для решения У1 и У„определяемых (14.4.29), где У, содержит слагаемые сигнала и шума при квадратном суммировании, а Уг содержит только слагаемые шума при квадратичном суммировании.
Вероятность ошибки двоичной системы сигналов, обозначенная здесь Рз(А), равна РЯ = Р(Уг — У1 > О) = Р(Х > О) = ) Р(х)сй, 114.4,48) где случайная величина Х определена так В разлеле14.6 мы покажем, что М-ичную ортогональную систему ЧМ с разнесением можно рассматривать как блоковый ортогоналънмй кол.
Во-вторых, рассмотрим вероятность ошибки Рм как функцию от среднего ОСШ на бит, определяемого у, =2.7,/1с, (Если мы интерпретируем М-ичную ортогональную ЧМ как форму кодирования, а порядок разнесения Л как число повторений символа в коде с повторением, тогда «, = «.!11,, где Л, = Ф/А- скорость кода). Зависимость Р, от у, для М=2, 4„8, 16, 32 и 2.=1, 2, 4 показаны на рис.14.4.7. Эти результаты иллюстрируют выигрыш в качестве по мере роста М и А. Сначала заметим, что достаточный выигрыш в качестве получается при увеличении Л.
Второе, мы заметим, что выигрыш в качестве при росте М относительно небольшой при малых г.. Однако при увеличении Ь выигрыш, получаемый с ростом М, также растбт. Поскольку увеличение любого из этих параметров влияет на полосу частот, так как 2 ю'* 5 я 2 в в г ю" 4 8. сз 2 ю' 5 Р (у)~ 1 У~~ (14.4.58) ю' г '. ю* еЗ 5 е 2 ) и' о 5 2 10" 2 ю' 10 15 20 25 30 35 40 45 Среднее 0СШ т, 1дБ) Рнс. 14.4.8.
Сравнение границы Чернова с точным значением вероятности ошибки В заключение мы напомним, что вероятность ошибки для М-ичной ортогональной системы сигналов с разнесением можно оценить сверху объединенной границей Р ~(М-1)Р,~Ь), (14.4.б1) где Р, ф определяется или точным значением (14.4.бО), или границей Чернова (14.4.58). Интересно отметить, что (14.4.58) можно также выразить так ° Р, (Ь) ( 14Р(1 — Р)1 (14.4.
59) где р = 1/(2+ у,) — вероятность ошибки для двоичных ортогональных сигналов в канале с замираниями без разнесения. Сравнение границы Чернова (14.4.58) с точным значением вероятности ошибки для двоичной ортогональной системы сигналов, прн квадратичном сложении по Е каналам разнесения, определяемым формулой Р,(А) = — ~ — ' = Р~ ",1 (1 — Р), (14.4.60) обнаруживает достаточную плотность найденной границы. Рис.14.4.8 иллюстрирует сравнение.
Мы видим, что верхняя граница Чернова отличается примерно на 6 дБ от точных значений вероятности ошибки при 1=1, но по мере роста Л она становится плотнее. Для примера, разница между границей и точным значением вероятности ошибки равна примерно 2,5 дБ при Л = 4. 14.5. ЦИФРОВАЯ ПЕРЕДАЧА ПО ЧАСТОТНО-СЕЛЕКТИВНОМУ КАНАЛУ С МЕДЛЕННЫМИ ЗАМИРАНИЯМИ . Когда фактор рассеяния канала удовлетворяет условию Т В, «1, возможно выбрать сигналы, имеющие полосу И'«(ф), и длительность Т «(5~),. Это значит, что канал частотно-неселективен и с медленными замираниями. В таком канале можно использовать технику разнесения, чтобы преодолеть тяжелые последствия замираний.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
