Кловский Д.Д. Теория электрической связи. Сборник задач и упражнений (1990) (1151854), страница 33
Текст из файла (страница 33)
2.1.8. Очевидно, что при У,~ос Р, (У„У,; 1„Ц) = 1 — ехр ( — У,'/У', (!)) = Р, (У,; Ц). Из (2.5) следует, что пзз (У,; 1,) = — ' ехр ( — Уг/К (1)). 2 Уз и,' (О Точно так же при Уг-О со Рз (У„У,; 1„!,) = 1 — ехр ( — Уг!/Узг (!)) = Р, (У,; 11) н га,(У1; 1,) = ' ехр [ Уг/Уг(1)] Ог(0 Согласно (2.5) заг (У„Уз! 11 (з) = ' ехР [ — Уг/Е~~(!)] ехР [ — Угг/Угг(1)]= и,(0 уг 03 = пз1 (У1! 11) пзз(Уз! (г), что доказывает независимость двух сечений помехи. 2.1.9, Указание к решению.
Для определения плотности вероятности в каждом сечении воспользуйтесь соотношением ОО газ(пз)= )вг(лз, л„; т)ь(ла. ОО $57 При интегрировании по неннтересующей нас переменной дополнить показатель степени экспоненты до полного квадрата. 2.1.1!. Указание к решению. Воспользуйтесь соотношением 424(л! л2', т) — ш! (л!))э(лг/л)1 т). 2.!.И.
Математическое ожидание дискретного случайного прок цесса найдем по формуле Х= л рохь В нашем случае Х=р)х)+ 4=! +Ргхг+Ргхг+Рохх+Рохо = О, Дисперсию дискретного случайного процесса находим по формуле (Х вЂ” Х)'= Х рг(х; — Х)'. 4=! В нашем случае 2 2 2 2 (Х вЂ” Х)2 = ргх)+ ргхг+ Ргхо+ Ро«4 + Рохо = 1,2. 2.1.17. Найдем математическое ожидание процесса Х(1) = = — 0,5И+0,5И=О.
Следовательно, В. (1, 1+т) =Х(1)Х(1+т). Зафиксируем произвольный момент 1 (см. рис. 2.1). Интервал, отделяющий точку 1 от ближайшей точки, в которой может произойти изменение знака процесса Х(г), распределен по условию задачи равномерно в промежутке (О, Т): и) (Л1) =11Т, О(Л1(Т, Рассмотрим сечение процесса Х(1) в моменты ! и !+т при т~ ФО. Если т(Л1(Т, то Х(1)Х(1+т) =И'. Если и)е т Л1, то Х (1) Х (1+т) =0,5«2 — 0,5И2= О. Поэтому В. (1, 1+ т) = р (т ( Л 1) Ио + Р (т > Л 1) 0 = х = Из~и)4(Л1)4((Л1) =Из(1 — — ]. Т/ Распространяя это выражение и на т(0, получаем В.(т) = к =И, ~! — — ~.
По формуле (2.!0) получим т.=Т12. 121) т~' 2.1.18. Нормированная корреляционная функция заданного сигнала В(т)=ехр( — []]т]). По формуле (2.10) находим т,= =,] ехр( — рт)4[т=11р=100 с. Во втором случае т находим из о условия 0,1=ехр( — ])т,). Отсюда т.= — !п0,1)р 141 с. 2.1.20. Указание к решению. При определении корреляционной функции винеровского процесса воспользоваться фильтрующим свойством б-функции: )" б (х — а) [ (х) 4[х = [ (а). )88 2.1.24.
Корреляционная функция АМ-сигнала В«м(1 1+т) =зям(!) зом(!+т) =(1 ~1+ — "Х(!)~ Хсоз(в,(+4р)(1,„~1+ — ом — Х(1+т)~соз[в,(1+т)+ор]- = ИАМВ (т) сов (в!4 1+фо) соз [во (1+т) + фо]+ +(1' соз(в,1+гр,)сов[в,(1+т)+гр,]. Усредняя полученное выражение по 1, находим «гам 1)' В))м(т) = — В (т) Созго т+ — Созо! т. 2 к о о В этом выражении первое слагаемое представляет собой корреляционную фун!кцию случайной составляющей АМ-сигнала, а второе — корреляционную функцию несущего колебания.
2.1.25. Для заданного сигнала Вон(1) определяем Вом(1, 1+ т) к Вом(1) Вам(1+т) = = В. (т) соз (о)2 1+ гро) соз [во (1+ т) + )р,] + Вт(т) з!п (во 1+ гр,) а[п х х к х [во (! + т) + ф ] — В, т (т) соз (в, 1+ )р ) з!п [в (1+ т) + )р ]— кк — Вт.(т) ьйп(в 1+ф ) [созв,(1+т) +4р ]. Осуществляя усреднение по времени, получаем Вом(т) = 0,5В.(т) соз вот+ О,бт(т) созв,т— к х — 0,5В.т(т) з!пво 2+0,5Вт, (г) з!пвот. кх кк Приняв во внимание, что Вт(т) = В. (т) и В. -.
(т) = — Вт. (т), найк к кх «к дем Вом(т) = В. (т) созвот — В.-. (т) з!ив, т. «к 2.1.26. Представим ФМ-сигнал соотношением Яфм(!) = [! соз х д [во ! + «фм Х (1)], Корреляционную функцию найдем как Вфм(уэ 1+т) =Вфм(1) Вфм(1+т) = и' = — (соз [2во !+ во т+ «фм Х (1) + «фм Х (1+ т)] + + соз [во т — «фм Х (1) + Ифм Х (1+ т)]).
189 Выполняя усреднение по времени, получаем Вочч(~) =0,50~ М(сов[а т — О(1, т)О= =0,5(1' сова,тМ [совО(1, с)]+ +0,5(1о в]па,тМ[зйпО(1, т)]. Здесь обозначено 9(1, т) =йо»м [Х(1+т) — Х(1)]. Если одномерное распределение величины 6(1, т) является четной функцией, то »» М [вйпО(1, т)] = ]'в1дО(1, т)свс(О)с(8=0. Поэтому при гауссовском модулирующем процессе усредненная корреляционная функция ФМ-сигнала Вам(т)=0,5(1' М[созб(1, с)]соваот. Поскольку величина 9(1, т) распределена по гауссовскому закону как линейное преобразование модулнрующего сигнала Х(1), для математического ожидания 9(1, т), используя 141, находим (» Зв 1 о'1 ]'сов 8а„(8) ИО - ]'ехр ~ — — ~ сов ОНО = ехр ~ — — ! .
»» )~2 ос — о 2 Найдем дисперсию величины 6(1, т). Так как при фазовой моду- ляции 9(1, т) =йем [Х(1+т) — Х(1)1, то о'- = йсм [Х(1 + т) — Х(т))о йо и [Хо(1+т)+ +Хв(1) — 2Х(1)Х(1+т)]=2А~~ В.(0)[1 — Й*(с)]. В этом случае усредненная корреляционная функция модулированного сигнала Вем (т) = 0,5(1~, сов а,т ехр ( — йо В» (О) [1 — В» (т)О. 2.1.28.
Указание к решению. Для доказательства подставить в (2.14) выражение для се(х,; 11хо, 1») с учетом заданных значений м,(1) и оо„(1). 2.1.29. Указание к решению. Решить уравнение (2.18), используя выражения А1(1) и Ао(1) из задачи 2.1.28. РЕШЕНИЯ И УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ $2.2. 0 (~) =2)со ] (1 — 4Т) сов атс[т. о Интегрируя, находим, что 0 (1) йоТ в1о (Я1Т) ( 1Т)в Ширину энергетического спектра найдем согласно (2.25), приняв во внимание что 0о(1) =20()) в(61 ав рв 0»ссвк» 26» Т 2Т Произведение 1 Т 1 Гв т„= — — =— 2Т 2 4 Отметим, что на частотах, кратных значению ЦТ, энергетический спектр синхронного случайного телеграфного сигнала имеет нулевые значения. »» 2.2.2. В соответствии с (2.24) В(т) = — )с'о ]' сов 2п1тс(Т.
Так 2 »» как ]' сов 2п(тй=б(т), для корреляционной функции белого шума получим В (т) =О,бй(аб(т), по=В(0) = со. 2.2.8. Указание к решению. За т„принять такое значение с, при котором В(т) впервые становится равной нулю. 2.2.4. Указание к решению. Воспользоваться табличным интегралом »» ] ехр( — 5с)сов ато(т= р((])с+4пс1с), о а также решением задачи 2.1.18. 2.2.б. Подставляя выражение В„(т) в (2.23), получаем с учетом четности В„(т) 0о([) = 2]' В„(т) сов аотсов аЫт.
о После простых преобразований получим 0о (1) 1 В (т) соз (а — а,) т с(т+ 1" В, (т) сов (а+ о о +ао) ™т= — О. (1 — 7о)+ — О. (/+1о). 1 1 На положительных частотах 161 2.2.1. Подставив найденное в решении задачи 2.1.17 выражение корреляционной функции случайного синхронного телеграфного сигнала в (2.23), получим 166 0о(1) о= 0. (1 — 1о). 6 — 63 2.2.8.
Для энергетического спектра при ОМ имеем бом(1) = [' В;(т) сова,те-!"'Нт — )" В (т) з)п а„те — !"'4(т. к — ао кк После простых преобразований находим бом (/) = О б [б (/ — /к) + б„ (/ + /4) + 1 б. (/ — /,) — 1 6 (/, /,)[. к к кк Здесь 6 (/) — взаимный энергетический спектр двух сопряженкк ных процессов. Известно, что — 16;(/) при /> О, 6.. (/)= 16;(/) при /(О.
С учетом этого — [26„(/ — /к)+26;(/+/4)) при !/<>[/4[. бом (/) = < [О пРи [/[«14[. [ 26„(1 — ~,) при /)/к [0 при /(/,. 2.2.9. Усредненной корреляционной функции ФМ-сигнала найденной в задаче 2.1.26, соответствует усредненный энергетический спектр: Ф уз б (/) = — ). сов а,т соз ат ехр ( — йфзм В. (0) [1 — В (т))) 4[т. Если Й'емВ;(0)»1, то Л„(т)=В„.(т)/В;(0) целесообразно раз- ложить в ряд Маклорена: Е(,2) (О) тз В (т) = 1 + к 2! Ф,'>(0) т' к т + 4( кк Вторая производная )т ° (т) = — ) 6. ())соватн/ при т=О оп- =В.
(О) ределяется соотношением РР (0) = — —" 1" б (/) /'4 = — аз, В (0) 162 При определении спектра ОМ-сигнала только по положительным частотам ПРи йзфмВ*(0) »1 ненУлевые значениЯ Ф Ки Вфм (т) = —" сов а т ехр [ — й~~, В. (О) + й' В. (т)) лежат в области, где В ° (т) ж1, т.
е. тжО. к Сохраняя поэтому только первые два члена разложения нормированной корреляционной функции, находим < аф~ В. (0) Вфм (т) = — соз а, т ехР ~ — " ат т' а'= — ",)' 6 (/)/кг(/ в . (0) Корреляционной функции гауссовской формы зфм В (0) В (т) = ехр — ф а' т' 2 соответствует энергетический спектр той же формы: б (/) = ехр Решения и укАзАнии к Решению 3АдАч 5 2.3. 2.8.1.
Приведем заданный сигнал и(1) к виду (2,28): ()т г (1) = —" (сов а, ! соз 11 ! — з!п а,1 ейп 111+ сов а, 1 соз 11 1+ +з!па,1з(п(11)= У соз(41соза,1. В этом случае квадратурная компонента х(1) = У сов Ы, а квадратурная компонента у(1) =О. В соответствии с (2.30) имеем для огибающей г(1) = <х(1) [= =У [созй1[ и для мгновенной начальной фазы ~р(1)=агс(ЕО= =О.
Мгновенная фаза процесса и(1) ф(О=аа1+<р(1) =авй Мгнод венная частота а(1) = — ф(1) =аа. лг Согласно (2.31) для комплексной огибающей получим г (!) = г (!) е(вчо = г (1) = У„[сов Ш[. Подставляя это выражение в (2.32), получаем для комплексного сигнала и (!) = У„[соз !41[сов а,(+1 У [сов !11[в!и а, й 2.3.2.
Осуществив простые преобразования, приведем процесс к следующему виду: 163 и (1) = У„, соз во ! — — соз И! соз в,1+ ри„ 2 + — 51П Иг 51П вдг+ — соз И! соз 0151+ рсгт Рггт 2 2 + ~ " япй15!п~,!=У„созе!,1+[)У япй1ыпв,1, ри„ В соответствии с (2,29) имеем для квадратурных компонент х(1) =У; у(1)=рУ з[пйй По формулам (2.30) находим огибающую т(1)=Р'У.'+р У.' !и И)=У„~!+рз!пдй! и мгновенную начальную фазу р(1) =агс!дфз!пй().
Мгновенная фаза гр(1) =в01+агс[й(~ яп И1). Мгновенная частота в(1) = — Ф(1) =в.+ 01 1 + 85 5105 ГД 1 В соответствии с (2.32) комплексный сигнал и(1) =У ]г 1+ рдяп'й1соз[в,1+иге!д(р ыпй1)]+ + 1 У У1+ Рг з!п' И! ып [в,1+ агс1я (р ып И 1)]. 2,8.8. Относительно частоты во сигнал з(1) = 2, и, сов (о!5+И,) (=созо!,! 2; и, созй11— 1=1 1=! е — япвд1 Х игяпй,!. Квадратурные компоненты сигнала х(1) определяются соотношениями е е х (1) = 2; иг соз И11; у (1) = ~ и! 51п й, 1. 1 ! ! ! Для огибающей по формуле (2.30) получим выражение Ггь т (1) = ~/ ~ Х иг соз йг 1~ + ~ 2, 'иг 51п И, 1~ 1 ! ']/2; иг+ ~ ~, 'иги„соз(й,— йд) 1, й~1. т 1 ! 1=15=! Мгновенная начальная фаза иг 5!о 1)1 1 гр (1) = агс(я 01 005 01 1 Мгновенная частота в (1) = во+ [гр (1)] = во+ Ж е е Х Х Ягигидаоз(Я!+Яд)1 + 1-! Д=! 01 ид соз (и! — Яд) 1 1=1 Д=! Сопряженный сигнал рассчитывается по формуле (2.32): е з(1)= ~гт ~ и',+ 2; 2; иг ид соз(И1 — Ид)(х 1=1 1=! Д=! е и!май! 1 в„1+ агс1Я 01005 5111 1=! хып (1) 2 ] 101 8) во в!1 — нов!1 .
00!в 1 — созв 1 Р1 г =2)' е 1 Р, 211 я1 1 тгг соз вд т 2.8.7. Согласно (2.34) 2! (1) = — )' ' !!т. -т/2 Введя переменную 1 — т=х, получим ут 1+т12 созвох 21 (1) = —" соз вд( ]' ' Е[х+ и 1 — тг2 У 1+т12 5|а в + — з!п в,! ]' ' дх. 1-тег При Т-д-00 первый интеграл от нечетной функции в бесконеч- ных пределах обращается в нуль, а второй равен и !4). Следова- тельно, йг(1) =У япв01 при Т-!.ао. Аналогично можно показать, что при Т- 00 22(!)= — У соевой Соотношение 8;()в)=!5,()в) при ~)0 (см. формулу (2.36)) означает, что любую спектральную составляющую сопряженного сигнала на положительной частоте можно получить из соответствующей компоненты самого сигнала путем фазового сдвига на и/2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
