Кловский Д.Д. Теория электрической связи. Сборник задач и упражнений (1990) (1151854), страница 36
Текст из файла (страница 36)
Средняя вероятность ошибки параллельного модема л Рпар Х РА а=! где ра — вероятность ошибки в каждом частотном канале. Сред- няя же вероятность ошибки последовательного модема определя- ется вероятностью ошибки элемента сигнала рпосл=ро. Вероятно- сти ошибки ра и ро определяются отношением снгнал-сосредото- ченная помеха в обоих модемах. Для параллельного модема отношением сигнал-сосредоточен- ная помеха в каждом частотном канале (Рс/Рсш)пар=рлер/прсш В ТО ВРЕМЯ Как (Рс/Рс к) посл= Рлер/Рс л, ПОПВВ В ПОЛОСУ Й ГО ИНДИ видуального канала параллельного модема при (Рс/Рс.п)пер =,1, помеха обусловливает в этом канале значение раж!/2 и, следова- тельно, р„,-0,5, если даже по остальным частотным каналам ве- роятность ошибки близка к нулю. В последовательном же модеме помеха той же интенсивности обеспечивает значение (Рс/Рс л)поспел =п(Р,/Р, „) „,, которое при больших п может оказаться явно не- достаточным для существенного понижения верности связи.
ч 8.8.9. Вероятность ошибки ро=! — !7= Х Р(!), где Р(!)— 1=а+1 вероятность того, что помеха попадает в ! из М каналов. С уче- том биномиальной формулы (см. задачу 3.1,3) и ,=1 — ~ Сар!.(!-р,„)'-'. Г=!с+! Если М=2/!+1=5, то А=2 н 4 = 1 — (Сза Рс. л (1 — Рс,)'+ Смз Рс. и (1 — Рсш) + Сз Рс. и]. При р, „=0,1 !7=8,46 10 '.
3.8.11. Согласно биномиальной формуле вероятность переры- вов в передаче р р=Р/М=р",. Вероятность наличия связи р„= = 1 — р"., Вероятность того, что при наличии связи прием ведет- ся по п(М ветвям, Кл М вЂ” л ! л Р( ) !о Рс.п ( Рс.п) ! — р и В этом выражении числитель определяет совместную вероят- ность наличия связи и осуществления приема по п не забитым по- мехой ветвям, а знаменатель определяет безусловную вероятность связи. Средняя вероятность ошибочного приема символа в рас- сматриваемой ЧРСС р,ш= Х Р(п) р„.
л=! З.З.!3. Длительность импульсной помехи на входе (выходе) ог- раничителя т„ примерно обратно пропорциональна полосе пропус- !77 кания входного блока, т. е. энергия импульсной помехи после ограничения Е,,п=(/ао/А/ С другой стороны, Е,=(/Я Т/2. При [/ =(/о имеем Л/=ы 10/Т. 3.3.14. Указание к решению. Воспользоваться формулой для вероятности правильного декодирования, полученной в решении задачи 3.3.9. Решения и укАВАния к Решению зАдАч $ 3.4. „а й(2л/) = о )У (в' — ыо) + 4сс' са' где ото= 1/[/ ЕС, а=0,5/1//.
Энергетический спектр выходного процесса бр(/) =АЕо (вх — в~~) + 4сквма Рис. Р 3 2 Прохождение случайных воздействий через лйиейиую систему со случайно меияюШимися параметрами а — общая схема канала, б — пред. ставление «авала четырьмя параллельными ветвямн 178 3.4.1.
Произвольный случайный процесс Х(Е) можно записать как сумму центрированного процесса Х(1) и его математического ожидания: Х(1) =Х(1)+т„(1). Аналогично представляются и системные характеристики произвольной линейной системы; 6(1, т)=6(1, т)+д(1, т), где я(1, т)=б(1, т); К(/со, 1)=К(/в, 1)+й(/в, 1), где й(/в, 1)=К(/в, 1). С учетом сказанного отклик произвольной линейной, системы с характеристикой 6 (Е, т) или К(/в, Е) на произвольное воздействие Х(1) может быть определен суммой У~(1)+Уп(1)+Уз(1)+У,(1) (рис.
Р.3.2). Независимость откликов У,(Е), У,(1), У,(1), У,(1) следует из статистической независимости детерминированной и флуктуирующей частей любого случайного процесса, а также из предположения независимости между входным воздействием Х(1) и свойствами системы, через которую это воздействие проходит. 3.4.4. Энергетический спектр от- з(рлр хЕе/ т(т! клика линейного четырехполюсника с постоянными параметрами связан ю с энергетическим спектром воздействия следующим соотношением: 6„(/) =/са(2л/) 6„(/). Модуль комплексного коэффициента передачи колебательного контура Совершая переход к корреляционной функции по (2.24), полу- чаем В„(т) = Аеоваоа — 'ехР( — а[т[) [соз)/в,'— а'т+ а (вз ая) — о,о з[п ттт вт ав [т[[ Если Я» ! (т.
е, во»а), с учетом того, что в'оа '=2/1о/1., Вр(т) =2Ато/1о/. 'ехр( — а[т[)сов вот. 3.4.6. Усредненный энергетический спектр входного сигнала 6,(/) =0,5АРб (/ — /,). Учитывая, что В (1, 1+т) =В„(т) В„(т), получаем В„(1, 1+т) =аехр( — а,[т[) 0,5Л' )ехр(/2л/т— — а, [/[) б(/ — /,) г//= аехр( — ат [/о[ — а, [т[) А'созвот. 3.4.8. Коэффициент передачи идеальной длинной линии с ли- нейно меняющейся во времени задержкой /г (/в) = а ехр ( — /Ев/), где а, 1 — константы. Корреляционная функция отклика Вр(1, 1+т)=а' ~ехР( — 11в1)ехР[ — /1в(1+т))6„(/)ехР(/вт)с(/= = а'В„[(! — 1) т).
Такой корреляционной функции соответствует энергетический спектр 6(/) = аа 1В„[(! — 1) т[ехр( — Евт) б(т = = а'(1 — 1) — ' 6„[//(! — 1)). Отсюда видно, что задержка процесса, пропорциональная вре- мени, приводит к сдвигу средней частоты спектра на величину 1/о (доплеровскому смещению частоты), к соответствующему расши- рению (при 1 — 1(!) или сужению (при! — 1) !) его, а также к изменению интенсивности в 1/(! — 1) раз. Впрочем, в системах свя- зи при [1[ ~ ! в области достаточно высоких частот /о практиче- ски во внимание следует брать только доплеровское смещение частоты.
3.4.9. Перемножив 2(Е) и ис(Е) и выделив из произведения только низкочастотный продукт, получим У(1) = Ящ Ез(1)соз(ор — ф„)+ 1 1 + — [/,Х,(1) р„- — (/„У, ! ф„. 179 Процесс У(!) имеет гауссовское распределение с параметрами: т (!) = () хм Ь(!)соз(арс — «р„); ог (!) = — ()а РсЛс Корреляционная функция для флуктуирующей части выходного продукта 1 ()гР А а!п2пРс'а 4 2пасст а энергетический спектр равномерен в полосе частот Р, и равен а„()) = 1 и'„А(с.
Отношение сигнал-шум на выходе синхронного детектора пар (1) )сдм с с(1) спа (аГс — 'Гр) г Г а„ ~сдс Отношение сигнал-шум на входе детектора в полосе канала Г,=2Р, лг ьг 0) (Рс)!Р )„,=. 2~с )((с Выигрыш модема квм =2соз'(агс — ф„). При ч~с — — ар„значение двм максимально н равно 2. д.а).1А При квадратичном преобразовании случайной величины каждому значению У, которое всегда положительно, соответствуют два значения случайной величины Х: Х,= )«У, Х« — — — )«У. Тогда в соответствии с методикой нахождения распределений функционально связанных случайных величин получаем для одномерного распределения па, (д) при условии, что известно распределение па1(х) [1О]: (д) = — ( (Уд)+ ( Ьгд)) При гауссовском распределении входной величины Двумерная плотность вероятности входного процесса [1О! 1 1 оаг (х„х,) - ехр ) — х 2ппг ~/1 — )(а ! 2п~ (1 — )(а) х ]х'+ х' — 2)гха х,] ~, Корреляционная функция выходного процесса согласно (3.19) В (т) = ] ](х~ — д) (хг — д) и|а (ха ха) с(хапха, После несложных преобразований получим В„(т) - 2В« (т) = 2о4 Вг (т) = 2о', е-г'*(а(.
Такой корреляционной функции соответствует энергетический спектр 4аа+ 4па)а Обратим внимание на то, что хотя отклик и воздействие имеют различные распределения (выходной процесс не является гауссовским), форма корреляционной функции и энергетического спектра флуктуаций на выходе системы такая же, как и на входе.
3.4.12. Огибающая входного процесса В(!) = (У (1+тЬ(1)+Х,(!)]«+У« (!), На выходе неискажающего ФНЧ с граничной частотой Р,=Р./2 продукт линейного детектирования Унч(() =КЯ(1), где К, — коэффициент пропорциональности; примем далее К~ — — !. Процесс Унч(1) имеет обобщенное распределение Рэлея с математическим ожиданием т„„ч (!) = о 0,5 и ((1+ 0,5аг (() о — «) 1с (0,25 аг (!) о — г) + + [0,5а' (1) о — г] !а (0,25аг о-') ехр ( — 0,25аг (!) о — ')) (ог =Г„АРс — средняя мощность шума на входе детектора; 0,5агр(!) =0,5У«, [1+тЬ(())г — средняя за период высокой частоты мощность АМ-сигнала) н дисперсией ',ог (() = Уг„ч — т' (!) = 2о'+ аг(!) — т„'(!), оа (д) = ехр 1 / У 2пп~» 2 ~/у 1, 2ог 180 181 Математическое ожидание выходного продукта согласно (3.20) д = т„= ]"ха паа (х) с(х = ог. которую примем за среднюю за период высокой частоты мощность выходного шума.
Если величину трнч(!) Усреднить во времени, то получим постоянную составляющую выходного продукта, которая не несет информации. За полезную (сигнальную) составляющую выходного продукта следует принять сигнал У,(1) =та„„(1) — трнч(1). Для упрощения анализа рассмотрим асимптотическое поведе- ние тя (1) для двух крайних случаев: большое значение отноше- 2НЧ ния сигнал-шум на входе р,„=0,5азо(1)/оз»1 и малое значение отношения сигнал-шум на входе р,„«1. В первом случае, воспользовавшись аснмптотикой, /„(х) = (2пх) "(1+Л/х)ехрх; Л=1/8 при п=О, Л= — 3/8 при а=1, получим ав(1)„Р,„„,~и тзйз(1), Р ххжо~, у=р,ых/р„.=2т'~ь(1)(1+т Ьь(1)Г Во втором случае, воспользовавшись аснмптотикой /о (х) 1+ (0,5х) ', /, (х) ж 0,5х, получим т„„„(1) = )/ 05по(1+05азр(1)/о']; Р.ллхж0,5!!' тзпХ ХЬ2(1)/оз; """ Р,„„жО 43п', у=3 7 2 (/2»тзЬ2(1) (оз(1+тзЬ2(1))1 Обратим внимание на то, что в рассматриваемой нелинейной схеме (лннейном детекторе) сильная компонента на входе подавляет слабую.
Это сказывается, в частности, в том, что значение параметра д при рл„«1 уменьшается по сравнению с его значением прн р»х»1 в аз/(3,7(/2,„) »1 раз. РЕШЕНИЯ И УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ $ Ззь 3.5.1. Дифференциальное уравнение цепи запишем в виде утл!(1)+ал !у!" '>(1)+ ... +а!у!и+азу=1(1).
Введем переменные состояния Х! (1) =у(1) Хз(1) =у!'!(1); ...; Х„(1) =у!"-'1(1). При замене переменных исходному дифференциальному уравнению цепи и-го порядка будет соответствовать система дифференциальных уравнений первого порядка: Лхт т!хо их» ! си я л! 3" »! = л~ — — а» ! Хл — ໠— 2Хл — ! .. — аОХт+ 1 (1), ш Эта система представляет собой скалярные уравнения состояния заданной цепи. Скалярное уравнение наблюдения для данной цепи Х1(1) =у(1). 182 Полученные уравнения состояния и наблюдения можно представить в матричной форме: — Х(1) =- ГХ(1)+»21„ 2'(1) = НХ(1).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
