Кловский Д.Д. Теория электрической связи. Сборник задач и упражнений (1990) (1151854), страница 39
Текст из файла (страница 39)
Поэтому тахЬ(Х] Х) = =шахЬ(()). Если шум воспроизведения М(() имеет фиксированную дисперсию о', то гпах Ь(М) достигается при гауссовском распределении случайной величины М: !пах Ь(М) = 1оц )»'2п ео~, Следовательно, Н,(Х) =Ь(Х) — 1од)» 2пео' . 4.3.8. Максимум эпсилон-энтропии непрерывного сигнала будет достигаться при тахЬ(Х). При заданной средней мощности 7» 195 Р— "- й(Х) =1оЯЪ~ 2пеР. и достигается при гауссигнала Рс= о-„гпах совском распределении сигнала ( ). Х(/,. Следовательно, 11 Рс Н, (Х)„,„, = 1оЯ 1/2чеР« — 1оЯ)/2л еР„= — !оЯ ~ г е Р =о' — средняя мощность шума воспроизведения. 4.23) и и дискретном времени (с шагом кван- 4.3.9.
Согласно ( . ) при д тования во времени емени А/= 1/и ) эпсилон-производительность Н;(Х) = оа (й (Х) — !оЯ )/2л епо). Н' (Х) будет максимальной, когда й(Х) максиОч~~ид~~, что „( мальна. Но при заданной дисперсии (средней мощ достигается при гауссов у овском распределении процесса Х(1) (см. решение задачи 4.3.8). С учетом (4.17) имеем о 1 "с с„ Рс Но (Х)ооаас = оа 1оЯ = )оЯ а„ При непрерывном времени, полагая, что о =2Рш можно пользоваться формулой Нс (Х)масс = Рс 19Я ш где Ро†полоса частот сигнала. РЕШЕНИЯ И УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ $4.4 4.4.Е Поскольку спектр равномерный, то отсчеты входного сигнала и помехи, а следовательно, и сигнала на выходе независимы.
из решения задачи 4.3.6, получим ! (5, Х) =0,51оя(1+а',/па ) =1,68 сюда выражение /(5, Х) из решения задачи 44.1, получим ( со 1 '/'(5 Я)-и — 1оЯ 1+ — ' =1600 бит/с. 4.4.б. Согласно (4.29) при аддитивном шуме в канале /'(5, Х) =о«1/1(Х) — Ь(Ж) !. Очевидно, что минимальная скорость передачи информации будет определяться соотношением ш(п/ (, ) =, Если ансамбль входных сигналов фиксирован, то ш(п[/г( )— — й(й/)! будет иметь место при шах/г(Ж). Если дисперсия шума 196 фиксирована, то гпахй(/1/) будет при гауссовском распределении шума, причем тахй(Л) =!ояко' 2лео' .
Следовательно, при ука- занных условиях скорость передачи информации будет наимень- шей и равной /'(5, Х) =оа!/1(Х) †1оя !/ 2яео' ). 44.б. Согласно (4.30) С=гпах/ (5, Х). Как показано в реше- нии задачи 4.4.6 для гауссовского канала, /'(5, Х) =ва(п(Х)— — !о я )/ 2пеР ) . Отсюда следует, что пропускная способность гауссовского ка- нала С=сагпах(й(Х) — !оя у~2леР ). Если дисперсия шума фиксирована, то С=о,(гпах й(Я) — 1оя!'2пеР ], Дисперсия выходного сигнала и',=Р,+Р, так как сигнал и шум считаются независимыми.
Прн фиксированной дисперсии о', шах/1(Х) будет иметь место при гауссовском распределении процесса Х=5+Л/, а следовательно, прн гауссовском распределе- нии входного сигнала 5(/). В этом случае С = и„(!оЯ 1/ 2п е о,' — ! оЯ )/ 2 и е Р„) = —" 1оЯ (1 + Р /Р„). Полагая п„=2Р (в соответствии с теоремой Котельникова), можно написать выражение для пропускной способности гауссов- ского канала непрерывного времени С= Р )оя (1+Р,/Р ) .
4.4.9. Воспользуемся формулой для пропускной способности га- уссовского канала, полученной в решении задачи 4.4.6. Полагая, что Р =ос, можно записать С=Р!оЯ(1+ — ') = Г!оЯе!и( 1+ — с), сс/о / Рьо /' Найдем предел С при Р- со С = 1пп С = 1оЯ е 11гп Р!п ( 1 + — ' г-к г « ско / Поскольку 1и(1+е) же при е сс, можем записать, что С =!оЯ е Р— ' = — ' 1оЯ е. РА'о Уо Легко показать, что пропускная способность гауссовского канала монотонно растет при расширении полосы канала Р и асимптотнчески стремится к величине С .
4.4.10. Допустим, что сообщение передавалось в течение времени Т. Так как скорость передачи информации по каналу с любой полосой не больше, чем С, можем записать, что количество 197 переданной по каналу информации удовлетворяет неравенству ТГ(Е, 2)(ТС или, с учетом результата задачи 4.4.9, ТГ(Б, 2) <!од еТР /Уе. Отсюда следует, что для передачи ТГ(5, 2) =1 бит информации необходимо, чтобы сигнал имел энергию Р,Т, удовлетворяющую условию Е=Р,Т .Уе/!опте=Ус!п 2=0,69Уа.
4.4.1Е Средняя мощность заданного сигнала Ь ье,нр Рс = А )" ехр ( — рв (! — !е)в) г(! = 46,5 10 — ')Вт. п-о,вр Средняя мощность шума в канале Р =Р/т/с=3,! 10 ' Вт. Пропускная способность канала С=Р)опт(1+Рс/Рш) =1,24 10' бит/с. Теперь по формуле (4.31) находим !Ув СТ»=1,24 10» 3,6 10'=4,46 1От бит. 4.4.14. Мощность теплового шума может быть определена по формуле Р 4йТР, где Т вЂ” абсолютная температура приемного устройства; й — постоянная Больцмана, равная 1,37 10-"Дж/град. В данном случае Р=!0 кГц, Т=273+!'С=293'. Следовательно, Р =4 1,37 1О " 293ж1,64 10-" Вт. Прн средней мощности сигнала 10-е Вт С= 104!оп(1+10'с/1,64) 3,26 10' бит/с.
4.4./б. Из условия основной теоремы кодирования Шеннона Н'(А) (С следует, что в гауссовском канале оптимальное кодирование возможно только тогда, когда источник сообщения выдает за одну секунду и„(Р)оп,(1+Р,!Р )/Н(А) символов. Если источник выдает двоичные равновероятные н независимые символы, то ев Р!опт(1+Р,/Р ). Очевидно, что условие п„(2Р может быть выполнено при Р,/Р:3. Если же Р,/Р »3, то скорость выдачи символов источником можно сделать значительно больше 2/ю т.
е. при Р,/Р,„»3 предел Найквиста можно превысить. Следует, однако, отметить, что на практике этот результат пока не достигнут. 1с1 РЕШЕНИЯ И УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ ГЛАВЫ б РЕШЕНИЯ И УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ $ 6.1. ьа рвьр 199 5.1.Е Число информационных символов согласно (5.2) й= =!оцяУр — — 1одяК=1одя32=5. Число проверочных символов г= » п — А=З. Используемый код содержит Ур — — К=32 разрешенных кодовых комбинаций и У вЂ” К=2' — 32=96 запрещенных кодовых комбинаций.
5,1.2. Согласно (5.3) н,=! — (1оц32)/8=3/8. Согласно (54) /!,=! — 3/8=5/8. 5.1.5. Код содержит Ур — — 2" разрешенных комбинаций из общего числа У=2" комбинаций. Поскольку из-за ошибок при передаче любая из 2" разрешенных комбинаций может превратиться в любую из 2" комбинаций, всего имеется УрУ=2""" переходов, включающих Ур — — 2" случаев безошибочных переходов. При передаче разрешенных комбинаций происходят Ур (Ур — 1) = =2" (2а — 1) переходов в другие разрешенные комбинации, что соответствует необнаруживаемым ошибкам.
Переходы в запрещенные комбинации, число которых Ур(У вЂ” Ур) =2" (2" — 2е), соответствуют обнаруживаемым ошибкам. Следовательно, доля обнаруживаемых ошибок Ур(У Ур)/УрУ= — Ур)(У вЂ” ! 2а-и б.йб. Если принятая запрещенная комбинация принадлежит подмножеству Вь считается, что передана комбинация Ьо Ошибка будет исправлена в тех случаях, когда принятая комбинация действительно образовалась из Ьь Таким образом, ошибки исправляются в (У вЂ” Ур) случаях. Доля исправляемых ошибок (У вЂ” Ур)! Ур(У вЂ” Ур) =1/Ур. Любой код может применяться в качестве исправляющего при условии Ур(У.
5.1.18. Если при передаче некоторой разрешенной кодовой комбинации произошло г/ ошибок, то,расстояние ~по Хеммппгу между принятой и переданной комбинациями п)=д. Так как между лю- ь ° ь ь быми двумя разрешенными кодовыми комбинациями расстояние а»»» по Хвммингу не меньше г(„, то вввю а) кодовая комбинация, отличающаяся от переданной в а= ь'рвьр =г(ввв — 1 разрядах, является за- рва„„„-г ала„„,-г прещенной, и ошибки будут обнаружены.
Сказанное поясняется на рис. Р.5.1,а. в'»»» Для доказательства того, что Э код с расстоянием с! „может ис- р рб править д„(0,5с( „— 1 ошибок, щей (а) н исправляющей (б! способ- достаточно убедиться, что среди ности корректирующего кода узз уаз узв= ! ум= ! узз 0 уев= ! у|в = О уз| узв= ! уз! = уев= 1 ув =0 О 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 0 1 0 ° 1 1 0 1 0 0 ! Таблица Р51 Состпяпяе Спстоянзп источника, канала н способ декодирования з а В 111 Символ источника Переданная кодовая кембииа цня Принятая кодовая комбинация Расстояние пе Хеммингу пе нестертым символам Декодирование с неправ|синем стираний н обнаруженвем ошибок Декодирование с неправ|синем сшибок и стираний Декодирование с исправлением стираний и ошибок, обнаруже вием ошибок В !!1 В 1!! А 000 А 000 В 1!1 А 000 А 000 1з? 1 ? ?? О?? ?10 0 000 3 000 0 ? 11 0 010 2 А (ош) В (сш) А (ош) В (ош) А (ош) В (ош) В или А (еш) ? А или В (ош) ? А(ош) А А(ош) 20! разрешенных кодовых комбинаций имеется только одна, которая могла бы превратиться в принятую запрещенную комбинацию.
Допустим, что существуют две разрешенные кодовые комбинации Ь~ и Ьз, которые при искажении 0,5|1„,„— 1 символов превращаются в одну и ту же запрещенную кодавую комбинацию Ь. Это означает, чта с1(Ьз, Ь) =0,5|1 „„— 1<0,5с(„„„и с((Ь|, Ь) = =0,5|(мпп — 1<О,амин. Для того чтобы из комбинации Ь| получить комбинацию Ьз необходима изменить не более |1(Ъз, Ь)+с((Ьз, Ь) символов, так как выполняется условие б((Ь|, Ь)+|1(Ь|, Ь) <б((Ь„Ь|) (см. 3 2.4). Поскольку при сделанном допущении сй(Ьз, Ь)<0,5б) „и |((Ьз, Ь) <О 5|(мнп~ имеем сХ(Ьз, Ьз) <с(мип, чта противоречит определению б(м „.
Следовательно, пРн числе ошибок с)„<0,5с(„„„— 1 принятой за|прещенной комбинации может соответствовать лишь одна разрешенная комбинация. Но эта означает, чта,все с), ошибок могут быть иоаравлены. Правило декодирования в этом случае можно сформулиравать так: если пр~инята запрещенная ком. бинац|ия, то считается переданной ближайшая к ней разрешенная комбинация. Сказанное поясняется Рис. Р.5.1,6.
5,1.14, Указание к |решению. Учесть, что кодовая комбинация в данном случае декодируетая пра|вильна, если число ошибок в ней не более двух. 5.1.15. Из восьмв комбинаций заданного кода выбираем в качестве разрешенных комбинаций 000 и 111. Из-за ошибок (переход 0 в 1 и 1 в 0) |и стираний (появление на приеме третьего символа «?») принятая комбинация отличается ат переданной. Из 27 комбинаций на првеме 25 являются запрещенными и, следавательно, позволяют обнаружить некоторые апзибки и стирания, а часть из них исправить. Возможные ситуацнл ла выходе деко- дера для различных состоя|ний кодера, канала и способов декоди- рования приведены в табл. Р.5.1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
