Кловский Д.Д. Теория электрической связи. Сборник задач и упражнений (1990) (1151854), страница 43
Текст из файла (страница 43)
(ф) в (ф) 6 ф. 2!9 Подставляя сюда выражения для р, (1р) из предыдущей задачи и выражение п41(4р), находич рош(р) = — ~1 — ]' Ф9 2Ь'соэ1р) х Г 1 Х вЂ” Š— " + = Р (а СОЗВР) Š— О З'* 'а*а~ 4( — о, Ва' 44 ООВ 'т' 12л ')/2л 'р Полученный интеграл в общем виде не вычисляется в элементарных функциях. В частном случае при а= У2ЬВ имеем 1 Рош (1Р) = [1 !' Ф(зтт2 Ьасоз4р) 2 [ — е — и*+ + г" ()'2Ьсоз1р) е-"' ' 'о )/2 а соыр Узл 41 1р = — е — "'. 1 2 Полезно отметить, что пр~и сделанных предположениях помехоустойчивость системы ФМ такая же, как и системы ОФМ при приеме по методу сравнения фаз (см. задачу 6.4.7). 5.3.14. .. 4.
Используя алг!эритм работы корреляционного приечника сигналов ФМ при точно известных параметрах канала (Р.6.6) можно записать с учетом неточности синхронизациями: ти 1 г (1) зоа (1) 411 О„г (1) = з, (1) + п (1). о Полагая, что на интервале (О, Т) передается сигнал з~(1), а на интер~вале (Т, 2Т) — сигнал зо(1), записываем т т+4 1 ]' (аз(1)+п(1))зоа(1)41+ )' (за(1)+п(1))а..(1)41 ~ О. т о В данноч случае ошибка будет иметь место при выполнении условия т Т+В ( (; (1) + и (1)! Воа (1) Ж + ] (з.
(1) + п (1)! зоа (1) 41 ( О. т Подставляя сюда выражения сигналов з1(1), зо(1) и з,„(1) и осуществляя простые преобразования, получаем т~. и (1)Р 'У.Е~Тсоз (а,1+ 4РВ) 411( — Е (1 — 2т)Т). Как и в задаче 6.3.12, величина интеграла в левой части неравенства представляет собой гауссовскую случайную величин с дисперсией о'= Е)1о!2.
Вероятность ошибки равна вероятности -и! — ВЧ т1 выполнения полученного неравенства и определяется выражен тек р иием р, = ) газ(0)410, где В= ] п(1Я2ЦТсоз(ао1+4ро)411. 220 С учетом гауссовского распределения вел~ичины ат получаем Рош = О 5 (1 — Ф 1)т 2 Е1)УВ (1 — 2 т!Т)!) =- = 0,5 (1 — Ф [~2Ь' (1 — 2т1Т)!) Сравнивая полученное выражение для вероятности ошибки с выражением для случая точной синхронизации (Т=О) (см. задачу 6.3.6), замечаем, что неточная синхронизация приводит к энергетическому проицрышу 41=ЬВЯ~ЬВ(1 — 2ц/Т)]о= (1 — 2т)Т) '. При 41<1,1 т<2,5 10 'Т.
5.3.15. Легко показать, что в данном случае вероятность ошибки будет определяться соотношением раш = 0 5 (1 — Ф ~ 2 ЬВ соз 4р (1 — 2 т)Т)!). Отсюда энергетический про~игрыш 41= [соз 1р(1 — 2т!Т)]-'. Задаваясь величи~ной 41=1,1 (потеря мощности передатчика составляет 10о7о), находим, что при Т=О 4р=18' (этот результат получен Л. М. Финком в 114]). Если положить 1р=О, то т=0,025Т, т. е.
допустимая рассинхрон~изация составляет 2,5% от длительности элементарной посылки. Очевидно, что при грФО и тФО допустимые погрешности будут соответственно ченьше: 18' и 0,025Т. В табл. Р.6.1 при~велены значвн~ия 1р и т/Т, при которых энергетический проигрыш т1=1,1. Таблица Р61 1В' 1З'ЗО' 1З"О4' 1О ЗО о'4В' 5 1Π— В 10-4 1,5 10 2.10 2,5 10 — В бЗ.!7. Воспользуемся алгоритмом работы когерентного приемника, найденным в задаче 61 7. При передаче сигнала з! (1) ошибт ка произойдет в том случае, когда ) г(1)ааа(1)411(О, где г(1) = о =а!(1) +п(1).
Подставляя сюда значения з1(1) и з,„(1), получаем после очевидных преобразований т ]' и (1) )7 2Е(Т соэ Иа, + Ьа) 1+ 44! 411 ( — Е (Т да) — ' з)п Ьа Т. о С учетом оказанного в решении задачи 6.3.12 для вероятности ошибки в данном случае можно записать рошам — — 0,5 [1 — Ф(У2ЬВ (ЬаТ) — ' з)п ЬаТ)!. Для энергетического проигрыша в этом случае имеем = (ЛаТ) зз1п ВЬаТ. Задаваясь допустимой величиной 41=1,1, получаем для допустимой величины частотной 1расстронки Ла= = ~0,5477.
221 б.8.19. Как показано в задаче 63.6, при корреляционном приеме двоичной ФМ р, =0,5[1 — Ф()т2/22)). Найдем вероятность ошибки при интевральном приеме. При передаче сигнала зо(1) = = Р'2Е/Тсозг»»1 на выходе интегратора имеем т т 6= [ )/2Е/Т сов»2»Ы/+ [ п(1) й. о о Если 9)0, то фиксируется символ, соответствующий сигналу з1(1), в противном случае фиксируется си»»вол, соответствующий сигналу зо(1).
Если при этом передавался сигнал з2(1), то произойдет ошибка. Таким образом, условием ошибки является выполнение неравенства т т ~ п (1) 4[1( — )' )'2 Е/Т соз в, Ы1 о о или т ,[' и (1) «[1( — ~2 Е/Т »2» ~ з!и »2» Т. о т Величина Х= ) а(1)а/ является гауссовской, имеет нулевое матео матическое ожидая~не и дисперсию о2=0,5г/»Т. Поэтому Ъ 2Е(ТО 1 О!ПО» Т о Р о щ ~ и ~ 2 ( А ) — ОО 0 5 [1 — Ф [У2Е/Т (О 5/уо Т) ' о»о зш »2» /Ц = = 0,5 [1 — Ф ( [/ 2~Р во ' Т ' з! и во Т) [; т! = 0»5»22 Т' вш — ' »2» Т. о 6.3.20. Аналогично решению задачи 6.3.12 мажем записать для условия ошибки при передаче сигнала з1(1) т [х(1)з„(1)2(1(0, где г(1)= о = )/2Е(Т ехр [ — ро (1 — 0,5Т)') соз оэ»1+ и (1) или т т ЕТ ' [" ехр [ — [р(1 — 0,5Т)о) б/+ 72Е/Т~ п(1) созе»о Ы/(0.
После простых преобразований находим т )22Е/Т) п(1)созв, И( — 0,5Е1/пТ ' [Г' Ф(Т[)/Р'2 ). о 222 т Учитывая, что ) п(1) !/2Е/Тсоз»2»Ы1 представляет собой гаусо совсхую случайную величину с диаперсией а»=Е[/о/2, находим вероятность ошибки Рош = 0 5 [1 — Ф [0»5 ) /2пЕ/Р/о Ф (ТМ 2 )/ТК [ = = 0,5 [1 — Ф [0,5 )»» 2ю~Ь'Ф (Т [3/~2 )/Т ~Ц. Энергетический проигрыш по сравнению со случаем отсутствия линейных искажений составляет величину т! = [0,5 Р' пФ (Тр/ у' 2) / Т6)-2, Например, при 5=0,1Т ' 2)=1,89. б.8.21. Квадрат модуля комплексного коэффициента передачи «обеляющего» фильтра, найдем как Ко(»2) =а/Со (/) =0,5аа 1[а»+ (о» вЂ” 4»о) 2), а=сопя[.
Спектральная плотность мощности шума на выходе «обеляющего» фильтра №= Со(/) Ко (х») =а. Комплексный ~коэффициент передач~и «обеляющего» фильтра можно записать К (1 4») = )/ 0,5а/а [а+1(»2 — о»о)). Учитывая, что умножение на 1»2 в частотной области эквивалентно дифференцированию во временной области, для сигналов на выходе «обеляющвго» фильт!ра получаем з, (1) = )/ 0,5а/а ~а и (1) + — и, (1)]; зо (1) = — Ь~0,5а/а ~ сси, (1) + — и, (1)1. Используя тепер~ь формулу для вероятности ошибки при оптимальном когерентном приеме противоположных сигналов (см.
задачу 6.3.7), находим вероятность ошибки при использованни метода выбеливания в заданных условиях; Найдем теперь спектральную плотность мощности белого шума, имеющего в полосе /о-ЕР такую же среднюю мощность, что и заданный небелый шум: !»+" а /»+т 2пР 1/о= — У С(/)4= — [... = — агс1а —. 2Р Н в Р / Р 4по(/ — /о)о+а» 2яР а 223 Вероятность ошибки при оптимальном когерентном приеме 1 — Ф ()/ — " )]. Энергетический проигрыш, связанный с наличием нвбелого шума, а+ мо/а 2пР а и/о 2нР г / т) = агс(д — = ~ — + — / агс16 —. 4пР а 4нР аР а РЕШЕНИЯ И УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ 6 6.4.
б.4./. Подставив (6.25) в выражение функции правдоподобия, найденное в задаче 3.1.16,,после простых преобразований получим для известных /» и 6 2й - . лвЕ»ч п»,(г!Ь»)о,в=К,ехр ~ — (У,созй — У»з!пО) — — »~ - Л»о Уо или, обозначив У,= )/ У',+Рг» и»р,=агс!д— р» 2/о /»оп» 1 и», (г!Ь»)л, в = К ехр ~ — У» соз (Π— »р;) — —, (. »во '1о т г Здесь У,= ) г(1)з,(1)Ж; Р,= ) г(1)й»(1)п»1; К, — нормирующий коэффициент, не зависящий от». Усредиив ю(г!Ь»)л, в по всем значениям 6, прои равномер~ном,распределении фазы на интервале ( — и, и) получим и»(г!Ь») = — ]' ю(г~Ь)о, в»16= К ехр» — — ~ / ( — '~. 2 ' ~ »У~ ~ (,»Ч~ 1 Здесь /о(х) — модифицированная функция Бесселя первого рода нулевого порядка.
В соответствии с правилом максимального правдоподобия (6.4) находим алгоритм оптимального приема при неопределенной фазе: гпах, ~1п /, ~ — »~— (Р.6.11) 'кл»о / Уо' Величины У» и Р, можно получить иа выходе корреляторов с опорными сигналами з,(1) и й»(1) соответственно. Структурная схема оптимального при неопределенной фазе приемника на базе корреляционной техники показана на рис. Р.6.14. На этой схеме Г, — генераторы опорных сигналов з»(1) с точностью до фазы; »р»г — фазовращатели иа»о/2 (генераторы сопряженных сигналов); БОМ вЂ” блок определения модуля вектора 1',= )/ уг,+ у', по ортогональным компонентам; НУ вЂ” нелинейные устройства с характеристикой мвык=!п/о((2/»//Ро)пвк] ° 224 Рис. Р,6.14. Соруктурная схема оптимального приемника при неопределенная фазе сигнала (каадратурная схема) Как показано в решении задачи 6.2.12, величины У» не зависят от начальной фазы сигналов з»(1) и определяются огибающей (в момент окончания сигнала Т) на выходе фильтра, согласованного с сигналом з»(1).
Поэтому алгоритм (Р.6.11) можно реализовать и на базе согласованных фильтров в соответствии со схемой рис. Р.6.15. Здесь СФ— фильтр, согласованный с сигналом з»(1); Д вЂ” детектор огибающей. 6.4.2. Указание к решению. Учтите монотонный характер зависимости функции 1п/о(х) от аргумента х. 6.4Л. Как показано в реше нии задачи 6.2.!2, Гг т ъо»г - кв 1/, = 1 / ~]' г (1) з» (1) с(1) + ( )' г (1) з» (1) й~ . Если шум в канале отсутствует и нарицается символ Ьь то г(1) =й Ез»(1) з!па,(1) и У»=й ~'Е. В этом случае /» т т хв У = ~ ~~й озйз»(1) ~(1)»/1 — ~ йз1 О (1М(1)»11~ + о о / т т о (»о,о,,»о,,ща- »ов о,,»о,,»ол]', о о Согласно (6.25) наиболее помехоустойчиной является та система, для которой при передаче символа Ь» значение У» оказывается наибольшим„а значения У,„» — наименьшими.
Так как У;:)О, то минимально возможное значение У» равно нулю. Нетрудно заметить, что У, будет равно нулю лишь при выполненни условий т т ) з»(1)з/(1)»11=0 при 1~=1', ) з»(1)з/(1)»11=0 при любых 1, 1. Но это о о есть не что иное, как условия ортогональности»в усиленном смысле (см, $2.5). Следовательно, а каналах с неопределенной фазой 8 — бз 226 Рнс. Р.б.16. Реализация оптимального приемника при неопределенной фззе сигнала на основе согласованных фильтров максимальную помехоустойчивость будет иметь система с активной паузой и ортогональнымн в усиленном смысле сигналами. Определим вцроятиость ошибки при приеме,по алгоритму ьс У; ~ ~Уь При передаче символа Ьс ьс У,=1' (Л +ХЕ)'+(Лс+УЕ)', Х=Ьсоз6, У=Ьз(пй; т Ус- У' Лс+Л,'; Лс=уЛс(1)зс(г)а; Лс=у У(г)зс(1)ж о о Величины Ль Лс имеют гауссовское распределение и нулевые математичесине ожидания.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
