Кловский Д.Д. Теория электрической связи. Сборник задач и упражнений (1990) (1151854), страница 44
Текст из файла (страница 44)
При ортогональиых сигналах величины Ло Л, с различными индексами независимы (8), независимы и величины Ль Лс вследствие взаимной ортогональности. Следовательно, независимы и величины Чс и $'с, -о Дисперсия величин Ло Лс равны г)еЕ)2. Для плотностей ~верояпности величины У» и У; имеем сиа (Ус) = — ехр ~ — — р йсо е йса П 2ус 1' К+С~Ее а с2йрс х пс, (У,) = — ехр ~ — ) 1, ~ — '). Васа ) '~ йса ) Вероятность ошибки для двоичной системы, одинаковая,при передаче любой позиции вследствие оимметр|ии канала, определится вероятностью невыполнения неравенства Ус)'Ус: СО В Р- рюс(УсЦ (У,) 2Ус (Ус. о Интегрируя по Уь получаем 226 Этот интепрал табличный 141 и равен Рош — — 0,5 ехр ( — Ь'/2); Ь' = Ь'Е1с)а — — Ьа Р,)Р .
Подставляя сюда числовые данные, получаем Ь'=10, р, = =0,5ехр( — 6) =3,37 10-'. В канале с точно известными параметрами такая же ве- ~роятность ошибни будет обеспечена цри Ь'=7,6. Следовательно, незнание фазы сигнала пр|ииодит к энергетическому цроигрышу 0=1,31. б.4.б.
Согласно результату задачи 6.4.2 алгоритм работы опти- мального приемника пс позиционной системы с а~наивной паузой, ортогональной и усиленном смысле, при неопределенной фазе можьс ио записать в виде )сс ~~ Уп ьс Прн передаче символа Ь; условием правильного приема являет- ся выполнение системы т — 1 неравенств Ус=> Ус п~ри всех 1Фс.
Ве- роятность выполнения этих неравенств равна вероятности правиль- ного приема: СЮ Г рс 1 ш-! Рпр, т = 3'гис (Ус) .Г сод (Ус) <(Ус с(Ус. о о Вероятность ошибки, характеризующая помехоустойчивость систе- мы при неопределенной фазе сигнала, ео г ус зт — ! Рош. т = 1 — Рпр. ш = 1,~пса (Ус) ~,~ гвс (Ус) ссУс~ Подставив сюда плотности вероятности величин У; и У; из за- дачи 6.4.3 и разложив после интегрирования яо Ус величину (1— — ехр(Уз|1'(ЕЛго)1) -' по формуле бинома Ньютона, получим гл-1 Рпш,т = 1 Х ( 1)" С" 1 ехР ! — Ь ), Ь" = ЕгсСтСо. ! Отсюда при т=2 следует результат, ~полученный в задаче 6,4.3 для двухпозицноиной системы. При больших отношениях сигнал-шум, заменяя обобщенное распределение Рэлея гауссовским распределением с соответствую- щими параметрами (см.
решение задачи 6.4.0), получаем х 1 — ехр — — ' с( У,. Используя для (1 — ехр1 — Узс7(1ЧоЕ) 1) ' формулу бинома Ньюто- на и ограничиваясь первым членом, находим, что в области малых ошибок Р, =0,5(т — 1)ехр( — Ь92) =-(т — 1)Ршш где р,ш — вероятность ошибки в двухпозицнонной системе. в* 227 б.4.7. При ОФМ информационный парамепр сигнала определя- ется двумя соседними посылками: (п — 1)-й на интервале (О, Т) и п-й,на интервале (Т, 27).
Поэтому оптимальный алгоритм, най- денный в задаче 6.4.2, можно в данном случае записать .ГГ 2т шах, ~// ~ )' г (1) з, (1) 2((~ + ~ (' г (1) з, (1) 2!1~ ~ , 1 = 1, 2 , о о ( г„, (1) при 0(1(Т, ( г„(1) при Т(1~(2Т. Если сигнал (и — 1)-й посыл~ни имеет вид Иl соз(а2о1+8), где 8 — случайная начальная фаза, неизвестная на приеме, то систе- му сигналов ~при ОФМ можно заыисать так: з2(1) =(/ соз(ше1+8) при передаче ! (п — 1)-й посылкой (О =Л =.Т), /2(/ соз (а!о!+8) пРи пеРедаче 0 и-й посылкой (Т «='1(2Т) — й(/ соз (аоо1+8) пРи пеРеДаче 1 и-й посылкой (Т =1(2Т).
зе (1) = Эти сигналы являются ортогональными в усиленном смысле. Поэтому с учетом выражения для р. из задачи 6.4.6 получаем р офм=0,5ехр( — Л'), где учтено, что для реализаций сигналов з! (1) и зе(1) отношение энороии сигнала к спектральной плотности шума на интервале 27 !равно удвоенному значению этого же отно- шения при длительности элемента сигнала Т. Полезно заметить, что полученное выражение совпадает с вы- ражен~кем для средней вероятности ошибки в системе ФМ при учете фазовай нестабильности (см.
задачу 6.3.13). Согласно числовым данным й'=4, Р, офм —— 0,5е-о=9,15Х Х10 з. Для обеспечения такой же вероятности ошибки при прие- ме сигнала ОФМ в канале с точно известными параметрами (см. задачу 6.3.10) необходимо, иметь й'=3,5. Т~аким образом, переход от когерентного приема двоичной ОФМ к некогерентному сопро- вождается энергетическим проигрышем т(= 1,14. б.4.9. Функцию араадоподобия п22(г(Ь!) запишем в виде н2 (г(Ь/) =К ехр ( — (хУ/ — уУ, — — ' (ха+уз)1~, 2 т т Где У,=,( г(1)з,(1)241; г;= ! г(!)3!(1)Ш; х=йсоз8, у=йсоз8. о о Будем искать максимум функции )п но, (г ! Ь,) = — ~х У, — у У вЂ” — ' (х*+ у*)1 + !п К,. /оо [ Согласно обобщенному правилу максимального правдоподобия следует !регистрировать символ Ь» если для всех /Ф! выполняют- ся неравенства шах!пи!!(г(Ь!) )шах!и м2! (г(Ь,), 228 где максимум ищется по параметрам х и у. Параметры, обращающие 1п п2(г(Ь,) в максимум, определяются из условий: = — (У, — х Ее) = 0 или х = Уе/Е,; дк Яо = — ( — Уо — у Е,) = 0 или у = — Уе/Е» др Жо Найденные значения х и у называют максимально правдоподобными оценками этих величин.
Учитывая их, получаем 1п п2, (г(Ь) = ' ' +!пК,= — '+1пК,. Е! Л2о Е;Уо Отсюда оптимальный алгоритм принимает вид шах,(У'о2Е,). Для систем с активной паузой (Е;=Е) найденный алгоритм сводится к алгоритму (6.27). б.4.10. В соответствиями с решением задачи 6.4.3 вероятность ошибки при оптимальном приеме сигналов с двоичной ЧМ в канале с неопределенной фазой р„=0,5 ехр ( — /22Е/1!/о) . Для определения вероятности ошибки в случае замираний амплитуды сигнала необходимо данное выражение усреднить по всем значениям йи р = — )" ехр ( — А'Е/Л' ) о22 (й) 2(Л.
ош Подставляя для щ,(й) обобщенное распределение Рэлея, получаем (81 ехр ( до/2!/12(! ! Чо! ! Ь2!( Рош— — Р 2+ Лед! + Чо! Положив 2/' = 5, получим ехр ( — 6 /г /((2 + Ь- ! рош = 2+ /2 /6 При р, =10 ' энергетический проигрыш равен 10 (10 дБ). б.4.13. Если эффективная полоса пропускания разделительного фильтра Г,=п/Т, п)1, з разнос между частотами нажатия и отжатия имеет порядок величины Е„то при передаче частоты нажатия амплитуда сигнала на выходе ПФ. определяется только помехой в канале и имеет.распределение Рэлея: п2, (г,) = ' ехр — ' 1 л2оро !, 2л'оео / где й/ор, — дисперсия помехи на выходе фильтра. 9' — 63 229 Ама!лвтуда же сигнала на выходе ПФ, обусловлена сигналом и помехой и распределена по обобщенному за!кону Рэлея: 2 ! Га ! ге+1/м 1 ггнСгпв и!,(г)= — ехр ~— ЯоРв (, 2лгврв ( ~ АгвРв / где (/ — амплитуда сигнала на входе приемника.
В этих условиях при симметрии канала <о ов Ртп =,) и!х (гн) .~ и! (го) г('о !тгн. н Интеприруя, получаем р, = — ехр ~— 2 ~ 2'2!Ув/гв / Обозначив Ьв=(/! Т/2№ и учтя, что Г,=!а/Т, получим ро =0,5ех!р( — Ьв/2п). Эта величина больше вероятности ошибки при оптимальном некогерентном приеме в РЕШЕНИЯ И УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ ГЛАВЪ| 7 РЕШЕНИЯ И УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ й 7Д. 7.1.1. Прн гауссовском белом шуме функционал отношения правдоподобия определяется соотношением 1 (г) й) = ехр ~ — ) г (1) и (1, 6) !(1 — — 1 .в, т где Е= ) и'(1, 6)г(т — энергия сигнала.
Уравнение правдоподобия с (7.5) в этом случае выглядит так: д(!пщг!АЦ 2 = — )' г(1) и(1, Е)г(à — — ' =О. 2ае д» /в'в о А'в Решением уравнения будет величина /в =- — 1' г(1) и (1, с!) Ж, о которая и представляет собой максимально правдоподобную оценку коэффициента передачи канала при точно известном сигнале. Оптимальный, измеритель, реализуется согласованным фильтром или коррелятором (рис. Р.7.1). 230 Рис.
Р.7.1. Структурная схема оптимального измерителя ковффнниента передачи канала прн точно известном сигнале Та~к как г(1) =ми(1, 6)+и(1), имеем т й = й+ — ) л (1) и (1, 8) г(1. а Следовательно, ош!и~бка измерения т е=л — й= — )' и (1) и (1, 6)г(/. о Пря гауссовском шуме с,нулевым математическим ожиданием и спектральной плотностью мощности № ошибка распределена нормально, имеет нулевое математическое ожидание и дисперсию В(Е1=Уо/2Е.
Следовательно, полученная оценка является несмещенной (М1Е1=0), состоятельной (В[Е)=Ув/2Е-в0 при Т- со, Е-!-со). Поскольку при Т вЂ” все В(Е)-вО оценка коэффициента передачи канала является асимптотически эффективной, так как значение дисперсии ошибки, !равное нулю, является минимально возможным. 7.1.2. Используя (3.13), можно записать т мв- ! !=х,-в(- — ! ! !и-!.в!!'в) . в Учитывая, что анализ осуществляется в дискретные моменты 1ь находим п! 1 п~ (и в (г1/г) =- — — Х гв (1!) + — Х г (1;) йи (1!)— 2 1Ув Р г=! Ув г 1=! — — 2; /гвин (1,).
2 Л'вР Составим ура!внение правдоподобия: = —;~ г(1,) и(1!) — 2; ив(1!)=О. дл 17вР г, /Увр г, Отсюда /г = 2, г (1!) и (1,) / 2; и' (1,). г=! ! ! 7.1.3. Указание к решению. Принять интервал между отсчетами 51=0,5/Е и воспользоваться результатом задачи 7.1.2. 7.1.6. При неопределенной фазе сигнала функционал отношения правдоподобия 1 (г ~ й) = ехр ( — йв Е//!/в) 1, (2 й (//Аг,), 9'в 23! где Iг г ~э ~т )й У = ~ !" г (1) и (!) д! ~ + ~ [ г (!) и (!) дг~ о о Составим уравнение правдоподобия по (7.4): так как д7о(х)!дх=1, (х), Отсюда Е= У7~ (2%У)7э'о) (Е7о(2%'г!Лго). Структурная схема измерителя (рпс.
Р.7.2) содержит согласованный фильтр, детектор огибающей, блоки, выполняющие операции умножения и делен~ни, нелинейные оппрации у,=7,(х), уз= =!о(х), вычитания. Оптимальная оценка амплитуды соответствует тому значению множителя л, при котором на выходе вычптающего устройства достигается нулевое значение напряжения. 7,!.7. Указание к решению.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
