Кловский Д.Д. Теория электрической связи. Сборник задач и упражнений (1990) (1151854), страница 46
Текст из файла (страница 46)
дЬ удвоенной верхней частоты спектра сообщения Ь (Е) (фуавкции »р'в, (Е)). Так как функции с нвперекрывающ»емися опектрами ортогональны, среднее значение их цроиэведений,равно цроизведепию их средних значений. С учетом ортонормцроваиности функций »р»(Е) имеем — [ь(Ь(Е), Е)]1 = [ — [ь(Ь(Е)„Е)]]»р»(Е) = = (" [ь(Ь(Е),Е)])*, Подста!вляя это соотношение в формулу (7.10), получаем а »»! и/[О !»»К»щ 7.2.б. Сигнал ОМ в месте приема можно зааисать в виде ь(Е) =Е»У Ь(Е)соь(сооЕ+»ро) — Е»(/т5(Е)ь]п(о»оЕ+сро), О где 5(Е) = — ]' Ь(Е)/(Š— т)»Ет — сигнал, соп!ряженный сообщению -ОО Ь(Е) О. Отсюда следует, что одно|полосную модуляцию, нельзя стро- го считать прямой.
Если записать в Ь (Е) = ~ Л„, ]» 2 ь!п (2 Š— 1) — Е+ Лз! ']» 2 соь 2 !' — Е, »=! то в, Ь (Е) = ~', Л,», ~'2 соь(2 ! — 1) — Е— »=! Т вЂ” Лв! 'рг2 ь[п2! — Е, — оо(Е(оо. . 2п Тогда Е вс и(Е)=ЬЕ/„! ~ Л»н ]Г2соь (го,Е+»р,— 2!' и Е) + »=! в + ~ Лм з ]г 2 э[п ] (2 ! — 1) — Е+»оо Е»рз] ° Т ' Фактически сообщение фннитно и определено лишь на интервале одного периода, а его преобразование Гильберта, строго говоря„ отлично от наин. санного. 239 Дисперсия координаты шума на выходе оптимального приемника о'=Л)г =й)0/2Т / — 1 =05У0/Тйг(/г 728 Указание к решению. Ввести обозначение т(1) =)" Ь(1)511= =ЕЛ, ) срс(1)Ж и учесть, что () хр,(1)5(1]5=1/саго 7.2.!1.
Указание к решению. Принять опорное колебание синхронного детектора зис(1) =2 сов(5001+(рс). 7.2.!2. Средняя мощность шума (дисперсия шума) на выходе приемника с учетом решения задачи 7.2.6. Рш вых = Всо', = 2Рс То', = №Рс/й'(/'т. Такпм образом, рвых = Ь013гм/ПгХаГс Средняя мощность сигнала ОМ (см, задачу 7.2.5) Р,,х = йг(/г Ьг(1) /сг(/г /П' поскольку Ьг(1) =бг(1), а ] Ь(1)Б(1) Х а Хз)п(20501-р~р)Ж пренебрежимо мал по сравнению с Ь'(1). Поэтому р,„=йг(/г„,/Пг№Р„так как прп ОМ Р=Р,. Следовательно, ром —— рвых,)рвх=1, 8 ои:=1.
7.2.17, Система АИМ относится к прямым системам модуляции. В качестве переносчика в этой системе используется импульсная последовательность (рис. Р.1.2,а), которую при отсутствии модуляции на интервале длительности сообщен|на можно записать 0,5Т)ги /(1) = Х Р(1 — /Т,), где Е(1) определяет форму импульса, а Т.= х= — 0,5Т~Т =0,5/Е„((0,5/Р, — период следования импульсов. Сигнал АИМ в месте приема (рис. Р.1.2,6) можно записать РЬ(1), 1] =ЬЬ(1)/(1). Средняя мощность этого сигнала Р,„=(з (Ь(1), 1))в=й' Ьг (1) /г (1) = йг/г (1)/Пг, а ,' — „( (Ь(1),1)) ) =й'/ (1) 7.2.18. Система ФИМ относится к прямым системам модуляции, а сигнал ФИМ (рвс.
Р.1.3) можно записать в виде 0,5 Т)ти з (1) = й в Е (1;), Š— 0,5 Т)Т и где 1,=1 — (Т„+Л1„,„,Ь((Т,) определяет временное положение модулнруемого импульса; Л1„„,Ь((Т„) — мгновенное значение в~ременного сдвига импульса от среднего положения; Л1„, — максимальное отклонение импульса, соответствующее Ь„,„,(1) =1. Величи,на а,ахи Р.... = ( (1))' = †," Г " Р' (1) 81. -0,5х и Определим функцию — )з(1) ]; д дЬ и )) д дт" (0) Р )) д дР ()) )в Так как при ФИМ г1 — ] = [ — ], число импульсов на дй ] [ д) интервале Т равно Т/Т„и они не перекрываются, то можно запи- сать д ]10 ) а схи сзи())10 — 0.5х С учетом этого результата находим 1 Л )ывис х Здесь к,= [ ) ' ищи]/[, коэффициент, определяемый формой импульса.
Для обычно используемых импульсов плавной формы Кфж0,1, Рж1/т . Поскольку Л1мвис(0,5Т0=0,5/Ри(0,25/Р„то ( — — "ви"-'1 ( — 1 — ) Г$редельные значения выигрыша и обобщенного выигрыша при ФИМ 241 240 Согласно (7.11) Р а /01 и Р Ылим —— ыввы кс П кв/вр) кс тита Рис. Р.7.5, Зависимость выигрыша системы модуляции от отношения сигнал-шум в канале для идеальной ( — — 1 и для реальной ( †) систем а ГР гв ЗР 4Р ЭР Рд /йл 7.2,19.
Указание к решению. Принять пик-фаастор промежуточного сигнала при ЧМ и ФМ равным ~~2, при АМ вЂ” ]гг2(1+т)/ 'рг 2+я', при ОМ вЂ” П, при БМ вЂ” 7' 2П. Учесть, что на второй ступееи во всех системах осуществляется прямая модуляция. 7.2.20. Для идеальной система| связи при гауссовском источнике и канале согласно 17] выигрыш и= [(1+р„))"-11/р„. Зависимость д(р„) при некоторых значениях коэффициента а=Р/Р, дана на рис.
Р.7.5. Для всех рассмотренных нами реальных систем модуляции пр~и слвбом шуме д=ло не зависит от р,„(непрерывные линии на рис. Р.7.5). Предельные минимально возможные значения порога р„„при заданном Кр ~можно определить как точки пересечения непрерывных и штриховых красивых рве. Р.7.5 или из у|равнен|ия [(1 + Рпор) 1)/Рпор = 3о. Для системы ОМ (без частотной избыточности, а= 1) это соотношение удовлетваряется при любом значении р„,р (в том числе при р„,р — — 0), т. е. для этой системы пороговый эффект отсутствует.
Для системы БМ а=2, до=2, р р=О. При а»1 (системы с большой частотной избыточностью) следует величина порога 1!а Рпор йо Отсюда видно, что с ~ростом частотной избыточности системы падает порог, стремясь к 1 при а-рос. РЕШЕНИЯ И УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ й 7.3. 7.3.1. Коэффициент передачи оптимального фильтра [//Р при 0 /(Р 1О при />Р. Согласно 112] энергетические спектры в полосе (О, Р) равны; для сигнала ошибки 6,(/) =А(//Р— /'/Рт), для полезного сигнала 6„,(/) =А/а/Р', для шума б„п(/) =А(/т/Рт — /'/Гт) 242 Средняя мощность сигнала ошибки и' = ]' б, (/) А/ = АР/б. о Средняя мощность полезного сигнала д',= )' бр (/) с[/=АР/4.
о Средняя мощность шума 0„' = ]' бдп (/) 3/= АР/121 Рама = 3. о 7.3.2. н ... В полосе (О, Р) энергетический спектр сигнала ошибки б, (/) = 6, (/) [К (ш) — 1)'+6„(/) Ка (ш) =(К,— 1) А//Р+ + Кт А (1 — //Р). Дисперсия сигнала ошибки во= 0,5АР [(К,— 1)а+Ко[. 1,5 При К,=0,5 ив=АР/4 (это минимальное значение), что в раза больше, чем для оптимального фильтра. Легко показать, что рапп=у в/ц и= 1. Эта величина в 3 раза меньше, чем для оптимального фильтра. 7.3,4. П усть на входе заданной схемы действует напряжение с комплексной амлитудой бь а на выходе бь Тогда передаточная Р,(1 ) =(),/[),=([),— [),) н(/ш)/б,=н(1 ш) — н(/ш)Р,(/ш). Отсюда Н (1 ш) = Рр (1 ш)/[ 1 — Рр (1 ш)) .
7.3.б. Ук азание к решению. Воспользоваться методикой решения задачи 7.3.4 для определения коэффициента передачи ной схемы. едачн задан- 7.3.7. Пусть 5(1) — гауссовский случайный стационарный процесс с корреляционной функцией 8(/ь /т) =Р,ехр( — а[1т — 11[), а А/(1) — стационарный белый шум со спектральйой плоти ~ о/ . роцесс 5(1) можно задать дифференциальным уравнением 1-го порядка 112] г[5/с[1+ а5(1) =У 2аР,[/(1), 5( — со) = 0„ Здесь 1~г/1 — е ( ) — ц нтрированный белый шум с единичной спектральной плотностью мощности.
Энергетический спектр б (/) 2аг'а а'+ 4иа/' 243 Сравнивая уравнение состояния для 5(1) с (7.20), находим [(1) = — со, д (1) = У2аР,, В установившемся режиме уравнение (7.23) примет вид О= — 2охк — к'2(Л'о+ 2аР, Решая это квадратное уравнение, получаем к "(Л(о)2) ()/ 1+ Л вЂ” 1) = 0 5 а Л'о д (1) где Л = 4РО(и77о, С учетом полученного результата уравнение (7.20) принимает вид Юо[1 =- — ее5(1) + а ()7 1+ Л вЂ” 1) [з (1) — 5 (1)).
7.3.8. Указание к решению. Воспользоваться уравнением (7.23), положив его левую часть равной нулю в установившемся ре ' жиме, 7.3.14. Пусть линейный фильтр имеет комплексный коэффици- ент передачи К()оэ) =К(ео)ехр [(ер(ы)). При подаче на вход тако- го фильтра сигнала з(() известной формы с комплексным спект. ром 5([ы) =5(оэ) ехр [)0(ео)1 для отклика фильтра получим з,ы (1) = ) 5 (оэ) К (ео) ехр (! [ео1+ 0 (оо) + ф (оэ))) а[. О Если спектральная плотность белого шума на входе фильтра Л'о/2, то средняя мощность шума на выходе Рыл.х = 0,5Л(о,[К'(о~) е[) — О Предполагая, что пик полезного сигнала на выходе наблюда- ется в некоторый момент То, запишем з,„,(1,) = Я5(оо) К(ео) ехр(1'[оо1,+0 (оэ)+ р(ео))) е(7.
— О Отношение пиковой мощности сигнала и средней мощности шума ( )в [8 (ы) К (ы) ахр П [ы )о + В (оо) + Ч (ы) Ц о[1 х [ааых((а)( шв О, З )4о ( Кв (<о) а[ ОР Найдем максимум этой величины. Для этого воспользуемся неравенством Буняковского — Шварца [12): ! [[ ( )[ (х)е(х~~~ [[[ (х)[хе(х [[[о(хН~бх Ю вЂ” О О причем равенство достигается при [,(х) =а[,(х), а — постоянная. 244 Примем 7~(х) =5(оэ) ехр (1[ооо(-[-0(оэ)+р(оо))), у (х) =К(м). С учетом неравенства Буняковского — Шварца имеем 2 г' ( — [" 5о (оэ) ф, )во ОО где ) 5х(вв)т1)=Е=Р,Т вЂ” энергия сигнала. Поэтом — ОО му г' .. 2Е7М 2Р, Т[Л), = г'„,„,, гх,„, = 2йо = 2р РТ.
Величина гх достигает максимума при 1х(х) =а)1(х) или при К(/оэ)~ а5(оэ) ехр (1[во(о+0(ео)+)р(ео))). Но это возможно лишь при К,(оэ) =а5(ео) и ео(о+0(ео)+юро(ео) =О, т. е. при оро(оэ) = = — оэо( — 0(оэ). Это означает, что комплексный коэффициейт пере- дачи оптимального фильтра К,(1 оэ) = а5(оэ) ехР( — 1 [ее(о+ 0(оэ))) = а5( — [оэ) ехР( — 1оэ[о), где 5( — )оо) — комплексно-сопряженный спектр сигнала 5(~). Фильтр с таким комплексным коэффициентом передачи называют согласованным с сигналом з(7) (см, 0 6.2).
7. ч, .3.15. Комплексный спектр заданного сигнала о+о 5()оэ) =й [ ехр( — уоэ[)о[1= ~ 7 ) [1 — ехр( — 'вт )). Коэффициент передачи согласованного фильтра Коз(!ео)=а5( — )оэ)ехр( — )оэ1о)ОΠ— Г[е " — е 1)е )~О )оо Пот еб ем ! =т р у ,= „+Л или получения пикового значения сигнала на выходе фильтра в момент окончания входного сигнала (если Л Тогда меняется в пределах (О, Т вЂ” т„), то (о меняется в предела ', Т).
— х ст„, Ко,в0ы) = —,[! — е '""~. / оо рис. 7.б,б. Фильтр с такой передаточной функцией реализ уется схема й Согласно пешению за ч да и 7.1.1 максимально правдоподобная оценка амплитуды видеоимпульса на фоне белого ш м циональна величине оне елого шума прапора+в К А [" г(1)ат, которая определяется напряжением на выходе согласованного ств фильтра в момент,(о окончания сигнала на входе. С йу согласованного фильтра в этот момент его выхо н оде. огласно свой- жение максимально.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
