Кловский Д.Д. Теория электрической связи. Сборник задач и упражнений (1990) (1151854), страница 42
Текст из файла (страница 42)
Р.6.13,а). Величина Л(11'(2Р,) и определяется допустимой точностью аппро~ксимации. Если на вход (точка А) линии задержки с отводами через интервалы Л подадим в момент 1=0 импульс с длительностью Л единичной высоты и просуммкруем с весами аь значения сигналов в отводах линии (рис. Р.6.13,б), то на выходе сумматора получим сигнал з(1).
Фильтр нижних частот подавляет спект1ральные компоненты, лежащие вне полосы сигнала Г,. Если единичный импульс подвести к выходу линии (точка В), отклик будет зеркальным оиражением сигнала з(1), и схема рис. Р.6 13,б будет выполнять роль согласованного фильтра. Рнс Р 6 13 Реализация фнльтра, согласояанного с произвольным непрерыаным сигналом, на основе линии задержки с отводами н блокамя взвешивания: а — снгнал. б — согласоэанныя Фильтр " Такой аарначт согласованного фильтра назыаается коммутнруемыи В принципе, можно построить соглзсояанный фильтр н без коммутацнн параметроа В этом случае фильтр называют пассивным 21З б.2.9, Пусть на вход линейной системы, осуществляющей обработку сигнала в соответствии с алгоритмом у(1) = ] г(т)з(т)о[т, о поступает смесь сигнала и гауссовского стационарного шума г(1) =з(1)+п(1), причем з(1) чьО при 0~1(Т.
В момент окончания сигнала /=Т сигнальная компонента на,выходе заданной л|ит нейной системы у,(1) =] зо(т)г/т=Р,Т=Е (Š— энергия сигнала о иа входе). Шумовая компонента иа выходе заданной линейной т системы у. (1) = ] п(т)з(т)о[т предста|вляет собой гауссовский проо цесс с дисперсией уо,(1) =/|/оЕ|/2 (/1/о — спектральная плотность мощности шума на входе). Отношение сигнал-шум иа выходе заданной линейной системы в момент 1=Т роыо = у', (~)/у„' (1) = ~//[/о = 2" = 2 ~о Т/и/о = 2 РТ (Ро/~ш)вх.
Полученный результат справедлив для согласованного фильтра и коррелятора. б.2.10. Согласно (6.16) выигрыш в отношении сигнал-шум, даваемый согласованным фильтром, р, „/(Р,/Р ),„=2РТ=2 20Х Х10 '104=400. Решения и укА3Ания к Решению зАдАч й 6.3. б.8.1. Согласно решению задачи 6.1.1 правило решения приемь, ника имеет вид г~~(/о, где порог [/о= (о'/а)[п[Р(Ьь)/Р(Ь,)]+0,5а. ь, Отсчеты смеси детермини|рованного сигнала и шума г имеют гаус- совское:распределение, дисперсию о' и математическое ожидание а (при передаче символа Ьо) или 0 (при передаче символа Ь,).
Условные плотности вероятности отсчетов при передаче символов Ь| и Ьо равны соответственно щ(г[Ь~) = (2поо)-о оехр( — 05г'/о'); а|(г[Ьо) = (2ппо) ' 'ехр( — О 5(г — а)'|/оо). Найдем вероятности ошибочных переходов Р(б|]Ьо) и Р(Ь,[Ь|): Р(Ь,[Ь,) = Р (г) [/о[Ь,) = ]' а|(г[Ь,) о(г= иа = (2 по') —" ]' ехр ( — 0,5г'/о') ь[г = 0,5 [! — Ф ([/о/о)[; и~ Р (Ь, [Ь,) = Р (г ((/о[Ьо) = )' ц| (г[Ь,) Ыг = |О и, = (2 поо) — о о ]' ехр [ — 0,5 (г — а)'/о'] ь(г = 00 0,5 [1 — Ф ([(/ — а]/а)].
214 216 Здесь Ф(х) — функция Крампа. Средняя вероятность ошибки р„ = Р (Ь,) Р (Ьо[Ь,) + Р (Ьо) Р (Ь„[Ь,) = = 0,5 (Р (Ь,) [1 — Ф (1/о/а)] + Р (Ьо) [1 — Ф ([(/о — а]/о)]). б.З.4. Условия правильною приема символа Ь, в миогопозицион- ной системе, использую щей ортогоиальные сигналы с активной паузой, согласно решению задачи 6.1.7 такие: ~ г (1) з, (1) о[/ ) [ г (1) з; (1) о[/; 1 = 2, 3, 4, " , тп. о о т т Поскольку г(1)=з|(1)+п(|1), ] з|(1)зо(1)|(1=0 и ] зо,(1)й=Е, то о о т эти условия можно записать так: ] п(1) [з|(1) — зо(1)']г(1) — Е или о т 8о(8,+Е, где 8|=) зо(1)п(1)й.
т Случайная величина 8;= ]го(1)п(1)Ж распределена по гаусо савскому закону, имеет нулевое математическое ожидание и дис- пеРсию 8оо=/|/оЕ/2. ВеРоЯ|ность выполнениЯ неРавенства 8о(8,+ +Е будет ра|вна о,+з 1 / Е,'. '[ |а ) 2 аВ|~ ехр — — ~ ] |[8, =0 5 [1+Ф(1+ У2/ьо)], Утпд|оп || уо Е/ где 1 = 8,/$' /[/о Е/2; /ь' = Е/Ь/,, Вероятность того, что во всех по †,ветвях значения 8; не пре- высят значение 8|, равна (1/2) -ь[1 +Ф(1+ 'у' 26')1 -'. Усредняя это выражение по всем возможным значениям 8ь волучавм веро- ятность правильного приема Ророо — — — [ е — '~' (0|5 [1+ Ф(1+]т 2йо)]) ' б/.
)т 2я Вероятность ошибки в |и-повиц|ионной системе р,, =1 — Р,„=1 — — [ е — х — очо вп х ! — + 0,5 Ф (1+ ]|т2/ьй)~ ь[(. 12 П|ри больших значениях й' это выражение можно привести к виду Р ж 0,5 (ьп — 1) [1 — Ф)~'~~]. — зг (()!' Й+ 0,5 Л>,1п Р (Ь,) Вероятность ошибки определится вероятностью выполнения обратного, неравенства, т. е.
т т [' п (() [зг (/) — зг (()! >((( — 0,5 ~ [зг (()— о о зг (1/!' Й + 0,5 Л>, 1п — ' Р (Ь,) ' т т Обозначим ) и(/) [з>(/) зг(/))>//=6> )' [з (/) з (())г (( Е и за о о пишем полученное неравенство в виде 0 ( — 0,5 ~ Ео + Л/ 1п — ' 1 /' (ь ) ! Так как шум в канале гауссовский и имеет нулевое математическое ожидание, то тг является гауссовской случайной величиной г />>а с па>раметрами 6=0 и о'о — — — "Е,. Теперь можно зависать выра- 2 жение для вероятности Р(бг[Ь>): > Г Р>Ь>г Г >о Р >О,> Р (Ь,[Ь,) = [ и> (тг) >( то = -4 Ео+ Л'а1п — ' ['2Мо Е, Аналогично находим Р (Ь,[Ь,) = — ' 2!б 6.8.6.
Согласно решению задачи 6.1.8 можно записать алгоритм работы оптимального пр~иемника двоичных сигналов: )' з (/) [зг (/) — з, (/)! Ш 0,5 [ń— Е, +Л/ !п — ') 1 . о т Здесь Е,= ) зг>(()Г/( — энергия сигнала з>(/). о Если действительно был передан символ Ь» то з(() Г а>(()+ +и(/) н событию, заключающемуся в правильной регистрации переданного символа, будет соответствовать неравенство т т ( л (() [з (() — з, (()! Г(( ) — 0,5 )' [з, (/)— о а Средняя вероятность ошибки р.
=Р(Ь,)— 1 +Р (Ь,)— 1 (АМ) з>(() МО, Для системы с пассивной паузой т з, (()=О, Е,= ) з,' (1) Г(Г=Е,. Прн этом Рош Р (Ьг) ! О) + + р (Ь ) 1 При использовании ортогональных сигналов з>(() и аг(() с одинаковыми энергиями Е>=Ег=Е (система с активной паузой) имеем т т Е 2 [, (() з (()[об(= ( гав — 2Х з,(/)зг(()6(+ о о о т ОГ Зг (() Г[( = 2 Е И о /2Е+ Ь/а1п [Р (Ьг)/Р(Ьг)! )1 0 5 Р (Ь ) 1 ! — ф (2 и ~ 1 [Р (ь )/Р (ь )! )1 2 [> /г'о Е При использовании противоположных сигналов з>(Г)= — зг(() имеем Е, = ~ 4 зг (() Г(( = 4 Е и о 0 5р([ ) [! (р (4Е+Ма!п[Р(Ь>)/Р(ьг)! )1 + Рот= ~ г [ > 2 [/2/(> Е +0 5р([ ) [ ! Г[> (4 Š— Фа)п [Р(Ь,)/Р(Ь,)1 ) ~ 2 [>2Л'аЕ 6.3.7. Согласно решению задачи 6.3.5 вероятность ошибки в двоичной системе при точно известных сигналах н равновероятных символах определяется выражением ,о„ш — — 0,5 [1 — Ф( 0,5 Ео>Л/о)! 217 и тем меньше, чем больше Е,.
При произвольных сигналах з!(1) г и зо(1) Е,=) [зо(1) — зо(1)1»Ш. Определим условия, при которых о Е, максимальна, полагая, что г г Е ]' ог (1) 5(1(Е Е ]" 55 (1) Ж( Е о о т ЗаПИСаВ Е.=2Е,+2Е» — ] 15,(1)+хо(1)15511, ЗаМЕтИМ, ЧтО дЛя о ПОЛуЧЕНня МаКСИМуМа ЭТОГО ВиражЕН~Ия НужНО СдЕЛатЬ Е5 И Ео ВОаможно ббльшими, а интеграл в правой части — как можно меньшим. Максимально возможные значения Е~ и Е, будут, если Е,= =Е,=Е. т Поскольку интеграл ) (55(1)+зо(1)]»ой принимает только полоо жительные значения, его минимум равен нулю и достигается при услоии~и з~(1) = — зо(1), т. е.
при горотивоположных сигналах. Гаиим образом, и двоичном канале с постоя~иными параметрами и аддитивным флуктуационным шумом минимальную вероятность ошибки обеспечивает система с противоположными сигналами, так кагк у них эквивалентная энергия максимал!»на (при фиксврова~н~ной энергии сигналов). 6.3.8. При приеме сигналов ОФМ по методу сравнения полярностей осуществляется когерентное (фазовое) детектиро!ва~ние смеси канального сигнала и шума с последующей лерекодировкой символов, которая осуществляется сравнением полярностей каждого принятого символа с предыдущим.
Очевидно, что вероятность р, сам ошибочной регистрации символов в системе ОФМ не совпадает с вероятностью появления искаженных знаков на выходе фазового детектора,или, что то же самое, с ~вероятностью ошибок р, о5м в системе еклассической» ФМ. Очевидно, что ошибочная регистрация символов при приеме методом сравнения полярностей возможна в результате одного из двух несовместимых событий: а) знак данного элемента принят ошибочно, а знак предыдущего — верно; ~б) знак данного элемента принят верно, а предыдущего— ошибочно. Каждое из этих событий имеет вероятность р ам (1 — р фм). Следовательно, рошоом =2р.щам (1 — рош~м).
В области малых ошибок, когда р, ем«1, получаем р, с»о„ж 2ро ам=1 — Ф()1 2155). При Р =0,5 Вт, й= 10 ', Т= 10 мс и А!5=10 ' Вт/Гц имеем й'=5 и р сам =16 1О '. 6.3.10. Сравнивая выражения для вероятностей ошибок, полученные в решении задачи 6.3.6, замечаем, что для сохранения вероятности ошибки неизменной при переходе от АМ к ЧМ необходимо выполнить условие Иочм=б,бйоом или (1,чм=(1 АМ1У2. 2!8 Изменение амплитуды колебания в )' 2 раз приводит к изменению и~иковой мощйости передат пока л 2 !раза. Отсюда следует, что переход от к АМ к ЧМ при неизменной вероятности ошвбки дает выипрыш по пиковой мощности, равный 2. Аналогично находим, что переход от ЧМ к ФМ дает выигрыш по пиковой мощности, равный 2, а переход от АМ к ФМ вЂ” 4.
При равновероятных сигналах в системе АМ (оистема с пассивной паузой) Р.=0,5Р,„. В системах ЧМ и ФМ (системы с активной паузой) Р,=Р„„,. Отсюда следует, что переход от АМ к ЧМ не дает выигрыша по средней мощности, при переходе от ЧМ к ФМ выигрыш по средней мощности равен 2, хори переходе от АМ к ФМ выигрыш по средней мощности также равен 2. 6.3.12. Полагая, что на вход прием~ника поступает процесс г(1) =з;(1)+п(1), для напряжения на выходе интегратора получаем г28 г ( 1)! ! йЕ соз ф+й — ) пасса(в»1+ф) А Очевидно, что 6 является гауссовской случайной величиной с математическим ожиданием поо =( — 1)5-'ЙЕсозф и дисперсией и'о —— йой(оЕ!12.
Условная плотность вероятности величины 6 при условии передачи сигнала з,(1) ! 5о» (В]З!) = -112 — »1~,6а! 12 х ехр ! '' '1 (6+1 — !)! ! лесооф]5 ] о 8Л!о Используя методику решения задачи 6.3.5, после несложных преобразований получаем для вероятности ошибки р, (ор) = 0,5 (1 — Ф(~ 2йосозф)] (й»=Е1У„ Ф (х) — функция Крампа). Сравнивая полученное выражение с вцраженвем, найденным в задаче 6.3.5, легко заметить, что несинфазность принимаемого сигнала и опорного колебания при ФМ ведет к энергетическому про~ипрышу: 5]= — = —. При т!(1,1 ф(18.
ьо 1 о Ь Со»от ОО5 ф 6.3.13. Полагая, что ф является случайной величиной, принимающей в моменты 1=пТ (п=1, 2, 3, ...) значения на интервале ( — и, и), можно найти среднее значение вероятности ошибки р, (ф), полученной в задаче 6.3.12, усреднив ее по всем возможным значениям ф: Р. (ф) = 1 р.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
