Кловский Д.Д. Теория электрической связи. Сборник задач и упражнений (1990) (1151854), страница 37
Текст из файла (страница 37)
С учетом правил векторно-матричных преобразований находим Х! (1) Х, (1) 0 1 0 0 0 1 Х(1) = 0 0 0 — а — а — а О ! 2 Х„(1) — а„, ; Н=(100...0(. Схема аналогового вычислителя показана на рис. Р.З.З. 3.5.3. Нетрудно убедиться, что цепи с заданным операторным коэффициентом передачи К(р) будет соответствовать операторное уравнение, связывающее между собой входное напряжение и(1) и выходной процесс у(1): Л! Р" ! 1/(Р).+ Лзр» — 2(/(Р)+ ... -1-Л» ! Р(/(Р)+ +Л.(/(Р)=Р У(Р)+Р- фГ(Р)+...+ + й — РУ(Р)+ф. У(Р). У!л] (Г) +тР У(л — !) (1) +тР У!л — 2! (1) 1 1 тР у!!! (1) 1 Р (1) = Л, и!» — '1(1)+ Л,и!»-21(1)+ .. Л, а!!! (1)+ Л„а (1) Рис. Р.З.З. Схема аналогового вычислителя (и решению задачи З 8,1) 183 Этому операторному уравнению соответствует скалярное линейное дифференциальное уравнение и-го порядка с постоянными коэф- фициентами: 184 Рис.
РЗА. Схема аналогового вычислителя (и решению задачи 35.3) Представим это уравнение в виде у)п)(1) )!> у!и†!)(1) ф у!п — 2)(1) трп у (() + Л и!и†)> (!) + Лз и!и — з>(1) 1 ... + Лп ! и!' > (М) + Л„ и (!) . Обозначим х„(1) = — тр„у (1) +Л„и(() . Интегрируя с учетом этого обозначения уравнение для у! )(1), получаем у)п — )) (!) )!) у!п — 2) (!) )!) у)п — 3) (1) тр у (1) +х„(1)+Л, и!" — ')(1)+ ... + Ли ! и(1). Примем, что х„,(1) = — )р )у(1)+Л )и(1).
После интегрирования уравнения для у'п '>(1) получим у!и — 2) (1) )р у)п — 3) (!) )р у!и — 4) (!) тр у (() +х ! (()+Л и)п з>(()+ ... +Лп зи((). Осуществив эту операцию л раз и приняв у(Г) =х)(1), получаем систему уравнений состояния (3.25). Фрагмент схемы аналогового вычислителя, реализующего эту систему, показан на рис, Р.3.4. 3.5.б. Нетрудно показать, что при прохождении белого шума М(1) через линейную цепь с операторным коэффициентом передачи К(р) =а/(р+а) (интегрирующая )сС-цепь) образуется гауссовский процесс 5(1) с корреляционной функцией В, ((), )з) = Р,ех р ( — а(! з — 1! ! ), Очевидно, что операторное уравнение для процесса 5(!) можно записать так: 5(р) =К(р)>)>(р) =Н(р)а>(а+Р) или Р5(р) = — а5(р)+а>))(р).
Такому операторному уравнению соответствует дифференциальное уравнение 5 (1) = — а5 (1) +а>)) (1). Белый шум со спектральной плотностью мощности 2Р,!а можно представить через белый шум У(() с единичной мощностью: М(1) =](2Р,(ау(1). Поэтому 3 (!) = — а5 (1)+ У 2аРс У(1). 3.5.7. Указание к решению. Представить производную х(1) в виде [х(1+И) — х(1) ])Ж и воспользоваться соотношениями (3.24). 3.5.8. Указание к решению. Сопоставьте закон Рэлея ц)(х) = х )' ха = — ехр ~ — — ) со стационарной плотностью вероятности из задачи (3.5.7). 3.5.У. Указание к решению.
Используйте методику решения задачи (3.5.4). РЕШЕНИЯ И УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ ГЛАВЫ 4 РЕШЕНИЯ И УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ $4.1. 4.1.3. Воспользуемся вспомогательным неравенством !ахах — 1, которое следует из того факта, что линия и=1пх касается прямой о=х — 1 в точке х=( (рис. Р.4.1).
Рассмотрим разность к Н (А) — !ой К = — ~ Р (а!) 1он Р (а!)— г-! К К1 1 — ~ Р(а,) 1ояК= 2; Р(а,)!оц — КР (ай к Полагая х=ЦКР(а!), можно записать Н(А) — !од К( Е Р(а!) Х к ! 1 Х(ЦКР(а!)]!оде или Н(А) — 1одК( Е (УК вЂ” Р(а!)]!оде. Легк >=1 ко убедиться, что Х '!!!К вЂ” Р(а!)]=О. Следовательно, Н(А)— )=! — !оцК(0. Знак равенства будет только тогда, когда х= ЦКР(а!) = 185 м) -1и -ы -яв-во и вл дв гг йв г,о Рис, Р41. К поясненню Рис. Р.42. К определению вероятностей появления неравенства !п х(х †! уровней квантованного сигнала =1, поскольку при этом 1пх=х — !. Поэтому Н(А) =!одК при ' Р(а;) = 1/К.
4.1.5. Прежде всего найдем безусловные вероятности передачи символов нз соотношения Р(0) =Р(0)Р(0!О')+11 — Р(0) !Р(0[!'). При заданных значениях переходных вероятностей Р(0) =0,125; Р(1) =0,875. Можно убедиться в справедливости соотношения Р(1) = Р(0) Р(1/О') + (! — Р(0)) Р(1/!'). Энтропия источника Н (А )А') = — Р (0) [Р(0!О') 1ояв Р(0)0') + +Р(1/О ) 1ояеР(1!О )) — Р(1) (Р(0/1')!Од Р(0!1')+ + Р(1(1') 1оцв Р (1)1')) = 0,51 бит/символ. Избыточность источника х„=1 — Н(А !А')/Н„„,(А) =0,49. Для источника без памяти прн тех же безусловных вероятностях передачи символов Н(А) = — Р(1)!од Р(1) — Р(0) 1оп Р(0) =О 541 бит/снмвол, х, = 0,459. 4.1.?.
Заданный объем информации источник передает п=Т/т= =10' посылками. Средняя информация на символ Н=1/п= =1О'/!О'=0,1. Если избыточность полностью устранена, то каждый символ двоичного источника несет в себе Н„„,=1 бит информации и заданный объем передается п,=1/Н„,„,=10' посылками, или за время То=тле — — 10' с. Избыточность источника ха (и — по) /п=! по/п=1 То/Т= 1 — Н/Нм «с=О 9. Обратим внимание на то, что сокращение избыточности источника позволило бы на 90о/о экономичнее использовать во времени канал связи.
.1 86 Р(к ) 1,34. 1О-т 9 1Π— а 6 10-к 4,0 1Π— а 2,8 10 — а 1,8 1Π— а 1,2 1Π— а 8,0.10-а 8 Ю-а 1,2.!Π— к 1,8 !Π— а 2,8 1О-к 4,0.!О-а 6,0 1Π— а 9,0 1О-а 1,34 1О-т 2,0 1О-т 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 !,4 1,6 — 8 — 7 — Б — 6 — 4 — 3 — 2 — 1 о — 1,6 — 1,4 — 1,2 — ),Π— 0,8 — 0,6 — 0,4 — 0,2 0 По формуле (4.3) находим энтропию сс Н = — 2; Р(хс)1оцР(х,) = 3,46 бит/отсчет. )=.— са Избыточность находим по формуле (4.4): х„= 1 — 3,46/!ояв 17 = О,! 59. Скорость создания информации на выходе квантующего уст- ройства согласно (4.5) Н'(А) =Н(А) Т„. В данном случае Т„равно интервалу между двумя соседними отсчетами входного сигнала: Н'(А) =3,46/0,3=11,53 бит/с. 4.1.13. Энтропия символа укрупненного алфавита Ну=пН(А), где Н(А) — энтропия первичного алфавита с объемом К.
Объем !крупненного алфавита К„=К", поэтому Ну а«с=!оцКк= =пН „,(А). Избыточность источника с укрупненным алфавитом согласно (4.4) Оу агт' !А) х„— 1 1 — х„, у макс ломассс ! 4) где х, — избыточность первичного алфавита. Поскольку избыточность осталась неизменной, но устранены связи символов, приходится констатировать, что в укрупненном 187 4.1.8. Количество информации, содержащееся в одном элементе сигнала Н„,„,(А) =1оцг16=4 бит/символ. Число элементов изображения в одном кадре У=833 625=520625.
Количество информации в одном кадре 1=Л)Н„,„,=4.520625=2,083 1О' бит. Энтропия реального телевизионного изображения при 16 градациях яркости Н(А) ж 937 10'/5 2! . 10'=1,8 бит/символ. Избыточность реального телевизионного сигнала х,=! — Н(А)/ Н(А) „„,=0,55. 4.1.11.
Вероятности появления уровней квантованного сигнала определим по приближенной формуле Р(х;) =п))(хс)4=0 2Х Хехр( — !х;(/0,5), которая иллюстрируется рис. Р.42. Результаты расчета сведены в табл. Р.4.1 . Т а 6 л и и а Р.4.! алфавите отдельные символы более значительно отличаются своими априорными вероятностями. Устранение избыточности сообщения укрупненного алфавита возможно при неравномерном кодировании (см, решение задачи 4.1.14).
4.1.14. Обозначим источник восьмеричных символов через А, а источник, создающий двоичные символы неравномерного кода, через В. Энтропия источника А: Н(А) = — Хрс!одер;=1,781 бит/ ! символ. Избыточность источника В согласно (4.4) Н (В) "в Н (Н) х„(В) = 1 — — = 1— )ояс 2 ов оэ=)/Т„э — число символов источника В в единицу времени; Т,р а — средняя длительность символа источника, Чтобы не было потерь информации при кодировании, надо потребовать равенства производительностей источников А и В, т. е.
оэН(В) =оАН(А). Тогда х,(В) = 1— оо Н(А) Н(А) =! —— "в и где й=оа/о„=Т„„/Т„э — среднее число двоичных символов источника В на один символ источника А. В соответствии с табл. 4.5 я=Бр!в!= 1,825 и х.(В) = = 1 — 1,781/1,825. Избыточность составляет всего 2,4 $. РЕШЕНИЯ И УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ й 4.2, 4.2.1. В двочином симметричном канале со стиранием объем алфавита на входе т=2, а объем алфавита на выходе о!'=3. Энтропия шума согласно (4.11) з Н(В)В) = —;~ ~Р(Ь)Р(Ь))Ь!)!оцр(Ь!)Ь!)= ! оеьа - — Р(0)(1 — р,— р,)! а(1 — р,— р,) — 1(!)р,)ар,— — Р(0) Ро!оЯРо — Р(1) (1 — Ро Рс) !Ой(1 Ро Ре) — Р (О) р, )оа р, — Р (1) Р, !оц р, = =(1 Ро Рс) )ой(1 Ро Рс) Ро~ойро Рс юйрс Отметим, что ненадежность рассматриваемого канала не зависит от априорных вероятностей входных символов.
Перейдем к нахождению энтропии шума. В соответствии с формулой Байеса находим апостериорные вероятности: р (0)0) Р (о) (! — Ро — Рс) Р(о) (! — Ро — Рс) +)'0) Ро (88 р " Р (!) (! — Ро — Рд (1)1) = р (!) (! — Ро — Рд + р (о) Ро Р(0)1) = Р(0() — р,— р,)+Р(о) р,' Р(1)0) = Р (О) (! — Ро — Ре) +Р (!) Ро Р(0)?) =Р(0); Р(1)?) =Р(1). Совместные вероятности символов входа и выхода: Р(0, 0)=Р(0)(! — р,— р,); Р(0, 1)Р(0)рд Р (1, 1)=Р(1)(1 — р,— р,); Р(1, 0)Р(1)'р;, Р (0, ?) = Р (О) рд Р (1, ?) = Р (1) р,.
Подставив найденные совместные и апостериорные вероятнос- ти в (4.7), получим для ненадежности двоичного симметричного канала со стиранием Н (В)В) = — Р(0) (1 — р, — р,) !ок р (о) (( — Ро Рд + р (!) Ро 1 (1) Ро)ой РВ)(! — Ро — Рд+ р(о) Ро — Р(0)р,!оц )р' -Р(1)(1 — р,— р,)х Р(!) Ро+ Р (О) (! — Ро — Рс) х 1оц р' р' — Р(0) р,!оар(0) — Р(1)р,1оцр(1). 1 (!) (! — Ро Рс) + Р (О) Ро Если р, О, то Н(В~!В)= — Р(0)рс!оцр(0) — Р(!)р,!оцр(1)= =р,Н(В). Ненадежность канала зависит как от вероятности стирания, так и энтропии источника на входе канала, 4.2.2. Суммарная вероятность ошибки р — это вероятность то- го, что при передаче фиксированного символа Ь! будет принят лю- бой символ, кроме символа 6!. Поскольку всего может произойти оп — 1 ошибочных переходов при фиксации символа Ь; на переда- че, а канал симметричен, то вероятность приема фиксированного символа Ют при передаче символа Ь! будет равна р/(т — 1).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
