Кловский Д.Д. Теория электрической связи. Сборник задач и упражнений (1990) (1151854), страница 34
Текст из файла (страница 34)
Следовательно, при Т- ао и ', 21 (1) = У соз 1 в,! — — ~ = У„ып в, 1, 2 г,(1)=У яп (в,1 — — "~ = — У„созв,1. 2.8.8. Заданному спектру соответствует согласно (2.37) комп- лексный сигнал Согласно (2.32) г(1)=)2ег(1)= ' '; г(1)=!афпг(1)= л2 С05 я, 2 — С05 я, 2 л1 Воспользовавшись (2.35), получим для огибающей и мгновенной фазы: г (1) = — )I (51п 022 ! — Яп 022 1) + (соз «02 ! — 005 022 !) 1 л)1! Ьо~ 5)п 2 3/ 4 51П' л ! 1! у' 2 л — (005я22 — саея50 я«+я« 1 «р (1) = агс!н ЯП «02 1 — ЯП Я5 1 2 2,3,У. При симметричных квадратурных компонентах, усредняя (2.39) по «р, находим ш,(г)= ) ехр 2 ло' 0 202 (сЯп'Р— тр)' ~ 2 02 Осуществив простые преобразования, получим 52+0«2+я2 «) 2 ло' 205 20 ! С)/«02+„,2 х ) ехр ~ ", "соз(ф — ф ) «(ф, г)0, о яр где ф,=агс1я —.
тх ВВЕДЕМ ПЕРЕМЕННУЮ И=ф — фр И ОбОЗНаЧИМ У' П52х+Л22р=ар. В этом случае можно записать 1 2л 1 го — )' ехР— Р соз («Р — «Рр) 5(ф = 2л 0 ~02 «ар 1 ' — 'Рр —, се«и 1арс« — е ' «(и=10~ 01. 2л р Здесь 15(г) — модифицированная функция Бесселя первого рода нулевого порядка. Таким образом, а« 2а',, ах 2.3.10.
Указание к решению. Учесть, что 10(0) =1 2.3.11. Условие т„=022=0 означает, что процесс 2(1) можно представить в виде 2(1) = У(1)з!п 0201. Но тогда его огибающая согласно (2.30) )с(1) = ~ У(1) ~. Поскольку та=О, плотность вероятности квадратурной компоненты у(1) имеет вид Сот(У)= ехр — —, — 00(у<00.
1 уе'« р' 2ло2 ~ 2а2) Эта функция относительно у четная, поэтому конкретному значению модуля г=(у~)0 могут соответствовать значения у=г«н у= — гь имеющие одинаковые плотности вероятности. С учетом сказанного получаем искомое распределение для огибающей. 2.3.12. Двумерная плотность вероятности огибающей и фазы узкополосного гауссовского случайного процесса при а',=а' =о' и пр«0 трчьО определяется соотношением (2.39), откуда (с с05 ф — ях)2+ (с 5)п ф — я„)5 2лае 205 После простых преобразований получаем 2 а ехр — — а и, («р) «20~ ! )' г ехр ~ р 005(ф фр) 2 пах 0 2о' тр ГДЕ ар= и22х+трр И фр — — аГС!Н вЂ” ".
Их Дополняя показатель экспоненты в подынтегральной функции до полного квадрата и вводя функцию Лапласа Р (г) = — )' ехр ~ — — ) «(1, ')««2л, '«2 / находим п«2(ф) = — ехр ( — †" ) + р 1 фр~ Р )( (а, 1 / арлп' (ф — фр) х ~ — соз (ф — «р )~ ехр )~ — р ), !«р — «р ! ( л, При т„=тр=О следует равномерное распределение для фазы в интервале (О, 2л): а««(р) =!/(2л). 2.3.14. Указание к решению.
Воспользоваться асимптотикой ех 1 15(г) = =(1+ — + ...) и ограничиться двумя первыми слага) /2ле 82 емыми. 23.15. При «р — фр(л/60 можно считать соз(ф — «рр) ж1, 5!п(«р — «рр) жф — ф,. Если, кроме того, ар/о)3, то ехр( — арр/(2ор))ж 1ьт жО, а функция Лапласа Р((ар/о)сов(ф — фр,1~ ж !. В этих условиях из результата задачи 2.3. )2 следует ар ! "р (ф — фр)' ! и!, (ф) = р ехр [— т.
е. закон распределения фазы является гауссовским с математическим ожиданием фр и дисперсией (и/ар)'. РЕШЕНИЯ И УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ $2зп 2А.1. Норму вектора в в п-мерном пространстве Эвклида найдем по формуле (2.4!). В данном случае коэффициенты ряда Фурье, представляющего сигнал з(1), есть не что иное, как координаты сигнала з(1) в пространстве, координатный базис которого образован функциями вида )Г2сов(2/глЕ/Т) и )Г25)п(2йл1/Т), Поэтому ЦвЦ= 1/ Х (а»+5») .
ЦвЦ'= Х (ар+52) У »=1 где агд и 52» — квадраты эффективных значений /г-х членов разложения сигнала з(1). Это есть средняя мощность соответствующих слагаемых ряда. Сумма средних мощностей всех членов ряда дает полную среднюю мощность сигнала з(1), Таким образом, квадрат нормы вектора имеет смысл средней мощности, а норма— смысл эффективного значения сигнала.
2.4.3. Представим сигналы з! (1) и 52 (1) в виде 2гг 21л2лР(! — »ДО 2 л Р (! — д д О 2рг ' 2 Р(! »ДО 2лР(! — »ДЕ) В координатном базисе (дд(1)) = ~ ! Ел 2лР(г — )гд О ) 2лР(! — »ДО координатами сигналов будут отсчеты з(/гДЕ). В соответствии с (2 40) находим зх (1) =з! (Й»1)+52(ЙМ). Норма суммарного сигнала по формуле (2.4!) Г2рг Ц вх Ц = 1/г ~, '[з', (/г А 1) + з', (/г Ы) + 2 з» (й 1) 1) з, (й Е) 1)[ . » ! 2РГ Величина Х зг(/гДЕ)52(л/»1) есть скалярное произведение сиг»=! палов з!(1) и 52(Е). Оно равно нулю, так как по условию задачи сигналы ортогональны. Поэтому Ц вх Ц = [ГЦ в! Цр+ [[52 Цр.
188 Расстояние между сигналами по (2.46) Грвт г((в, в,) =Цв,— в,Ц= ~/ ~, '[з, (йДЕ) — з (йЬЕ)[д ЦзхЦ. »-! 2АА. Указания к решению. Выбрать в качестве координатного базиса совокупность функций гр, (1) = )I 2 сов [(2 и/Т) 1[; гр, (1) = ф" 2 яп [(2 и/Т) 1[; гр, (1) = )Г2 яп [(4 л/Т) 1[; гр, (1) = )Г2 сов [(6 и/Т) 1[; гр, (1) = Р 2 яп [(6 и/Т) 1[. Воспользоваться формулами (2.46) и (2.43).
2.4.6. Проверим первое условие (2.5!): — [' ад соз [ й — 1+ф ~ соз ( 1 — 1+ф + —" ~ г(1= ар ~ Т г лт яп ~(/г + 1) 2 л + 2 гр, + — ~— 2Т (Д+02л 2 ~ Т . Т яп (2гр, + л/2) + яп [(й — 1) 2 л — л/2)— (!г+ О 2л (гг — О 2л Т в(п л/2 ) =О, йФ1 . (Д вЂ” !) 2л Следовательно, сигналы з!(Е) и 52(1) согласно (2.50) являются ортогональными. Теперь проверим второе условие (2.5!): т — )" з,(1) в, (1)!ЕЕ= — )" и'сов (й 2л 1+ф,) Х 2л ха!п [й — Е+ф) 61=0. т Аналогично т — [' з, (1) з, (1) г(1 = О. т Следовательно, сигналы зг(1) и з,(1) являются ортогональными в усиленном смысле.
Расстояние между сигналами з!(1) и 52(1) найдем по формуле (2А6): гЕ(вг, 52) =а. 2.4.9. Указание к решению. Принять во внимание, что число сигналов ортогональной системы равно ее базе В. Число возможных сигналов в биортогоиальной системе равно 2В, а в ортогональной в усиленном смысле системе — В/2. 24.12. На рис. Р.2.2,а показаны сигналы зг(1), з,(1) и зг(1) в виде точек некоторого пространства. Эти точки представляют собой вершины некоторого треугольника АВС. Для сторон треуголь- 189 Рис. Р 2 2 К решению задачи 2 4!2 Рис. Р 2 3 Двумерный ансамбль биоргогональныз сигналов ника справедливо соотношение АС(АВ+ВС (условие треугольника).
Длина отрезка АС равна норме вектора разности сигналов 3| (!) и зз(1): АС = ))зз — зз!! = с! (з„зз). Аналогично АВ=|1(зь зз) и ВС=с((зг, зз) Следовательно, с((зь зз) (|1(зь зз)+с((зз, зз), причем равенство достигается только в том случае, когда все три сигнала лежат на одной прямой (рис. Р.2.2,6). 2.4.18. Указание к решению. Воспользоваться соотношениями (2.51). 2.4.14. При М=4 биортогональный ансамбль сигналов является простейшим. Сигналы имеют одинаковые энергии и находятся на одинаковом расстоянии от начала координат.
При заданных базисных функциях сигналы искомого ансамбля согласно (2.47) имеют вид з, (1) = )Г2Е/Т соз (о|о 1+ з|/4) ' зз (1) = ~l 2 Е/Т соз (шо! — и/4); зз (1) =~12Е/Т сов(ш„! — Зп/4); и (1)- Р'2Е/Т сов(о|о!+3 п/4). Эти сигналы на плоскости образуют квадрат (рис. Р.2.3).
Согласно (2.46) расстояние между ближайшими сигналами этого ансамбля и' 2Е/Т, а между противоположными — 2)ГЕ/Т, 2.4.!8. Найдем расстояния между заданными комбинациями Ь| и Ь, по формуле (2.53): с!(Ь|, Ьз) = Х (хыФхз|) =5; сХ(Ь|, Ьз) = |=| =6: с((Ьз, Ьз) =5. Легко заметить, что с((Ь!, Ь,)(с((Ь!, Ьз)+с((Ьз, Ьз), так как, 6(5+5. Аналогично с)(Ь!, Ьз) (|1(Ьз, Ьз)+|1(Ь!, Ьз), так как 5( (6+5, с((Ьз, Ъз) (|2(Ьь Ьз)+с((Ь|, Ьз), так как 5(6+5. 5(/оз) = ) з (1) е — им с(1= )" ае-Реп е — 1"'с(1= чч 0 = (а р'л/р) ехр ( — 0,5озз/!)з). Поскольку полоса пропускання фильтра имеет величину Г, определим по формуле (2.56) относительную погрешность представления колокольного импульса рядом Котельникова: ) ехр ! — О,бозе/Рз) и/ 6 = т ) езр ! — О,б озз/()з) б/ о Умножая числитель и знаменатель этого выражения на 1/)~2лф' и принимая во внимание, что )" ехр ( — 0,5 озз/рз) с(/ = 0,25/и, У2 нрз о находим бг=2п(! — Ф(2пГ/5) ), где Ф(г) — функция Крампа.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
