Кловский Д.Д. Теория электрической связи. Сборник задач и упражнений (1990) (1151854), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Вычислить спектральную плотность мощности шума на выходе приемника ФМ-сигналов и построить ее зависимость от индекса фазовой модуляции рФм. ?.2.5. Показать, что ОМ нельзя строго отнести к прямым системам, а дисперсия произвольной координаты шума на выходе оптимального приемника прн «слабой» флуктуационной помехе н канале определяется для этой системы формулой оза=- ' Прямыии называются системы иодуляпни, а которых модулированный сигнал з[Ь(!), !) в момент ! зависит от значений сообщения в тот же момент времени Остальные системы модуляции относят к непрямым.
В частности, непрямыми являются интегральные системы модуляции, в которых модулированный сигнал з[Ь(!), !) в момент ! зависит от интеграла модулирующей функции. К пряиыч системам чоду.тяции можно отнести ДМ, БМ, ФМ и т. п, н непрямым ЧЫ !!б =А?о((2Тнз[!з ) и, как для произвольной прямой системы, не зависит от частоты.
7.2.7. Найти предельные значения выигрь!ша и обобщенного выигрыша в отношении сигнал-шум прн известной форме сигнала и слабом шуме в канале. 7.2.8. Найти общие выражения для предельных значений выигрыша и обобщенного выигрыша прямых систем модуляции при слабом шуме в канале. 7.2.9. Найти общие выражения для предельных значений выигрыша интегральных систем модуляции при слабом шуме в канале 7.2.!О.
Определить выигрыш и обобщенный выигрыш для системы АМ при слабом шуме в канале. Построить зависимость выигрыша от коэффициента глубины модуляции. 7.2.11. Найти предельные значения выгрыша и обобщенного вы. игрыша для системы БМ при слабом шуме в канале и показать, что они реализуются при синхронном детектировании БМ-сигналов. 7.2.12. Найти предельные значения выигрыша н обобщенного выигрыша для системы ОМ. 7.2.И. Определить предельные значения выигрыша и обобщенного выигрыша для системы ФМ при слабом шуме в канале.
Построить зависимость выигрыша и обобщенного выигрыша от индекса модуляции, Убедиться в том, что при слабом шуме в канале используемая на практике схема детектирования ФМ обеспечивает предельную помехоустойчивость. 7.2.!4. Найти энергетический спектр шума на выходе детектора интегральных систем модуляции при слабом флуктуационном шуме в канале и известной форме сигнала. 7.2.15.
Определить выигрыш и обобщенный выигрыш для системы ЧМ при слабом шуме в канале и построить зависимость их от индекса частотной модуляции. Сравнить полученные зависимости с соответствующими зависимостями в системе ФМ. 7.2.!5. Показать, что при слабом шуме в канале распространенная схема частотного детектирования обеспечивает предельное значение обобщенного выигрыша.
7.2.17. Показать, что для системы АИМ предельное значение выигрыша тглим =1/(т,Е,), а обобщенного выигрын!а и'лим —- 1, где тя — длительность импульса, Г, — ширина спектра сообщения. 7.2.18. Показать, что для системы ФИМ предельные значения выигрыша и обобщенного выигрыша определяются формулами йФим Па (Б ) 1 8Фим Пз (р ) где Š— ширина спектра сигнала. 7.2.19. Найти значения обобщенного выигрыша для систем двойной модуляции: ОМ вЂ” АМ, ФМ вЂ” БМ, ЧМ вЂ” БМ, ОМ вЂ” ФМ, АМ вЂ” ФМ, БМ вЂ” ФМ, БМ вЂ” АМ.
7.2.21). Используя соотношение для выигрыша идеальной системы связи и реальных систем, показать, что пороговый эффект 117 (7.20) 'х(Е) =1(Е)х(Е)+й(0«(Е), (7.22) [7.17) — Оа [Е) Ом (Е) вз [Е)— Оз (7) + Оее (7) (7. 16) (7.26) (7. 19) выражен тем резче, чем больше частотная избыточность канального сигнала. 7.2.21.
Определить пороговое отношение сигнал-шум для реальной системы ЧМ в канале с гауссовским белым шумом, полагая, что качество втой системы резко падает, когда огибающая шума превышает амплитуду сигнала. 7.2.22. Найти максимально возможное значение индекса модуляции системы ЧМ, при котором обеспечивается работа выше порога, найденного в 7.2.21, если требуется обеспечить отношение сигнал-шум на выходе детектора р,„„=4600. Пик-фактор сообщения П=З. 7.3. ОПТИМАЛЬНАЯ ЛИНЕИНАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ ПО КРИТЕРИЮ МИНИМУМА СРЕДНЕГО КВАДРАТА ОШИБКИ При непосредственной передаче сообщений В(Е) (без мод1 ляцин) принамаемое колебание 2(Е) (сигнал плюс шум) 2(Е) =5(Е)+Е«(Е), 500 =В(Е).
(7.16) Полагая, что 5(Е), ЬЕ(Е) — стационарные, несвязанные случайные процессы с энергетическими спектрами О,(Е), О«0), оценим качество передачи непрерывного сигнала 5(Е) (сообщения В(Е)) средним квадратом ошибки вз (Е) = [5 (Е + 'т) — 5 (Е) ) з, (7. 16) где 5(Е+т) — оценка сигнала в момент Е+т; т — время запаздывания в устройстве оценки (фильтре). В классе линейных фильтров * передаточная функция оптимального фильтра Колмогорова — Винера (обеспечивающего вз ««) К(12 1) =Озйехй( — Ейпгт)3(О«[Е)+Ол([)), а средний квадрат ошибки такого фильтра (достигаемый при т-«оо) Реализуеман часть К(12пе), определяемого (7.17), дается формулой «««« К(1 2п[) =Кт(12п/) ) ) К 02пч)О (0)егз" Ев 11с[тд7 Примем, что 1Е[Оз(Е)+Он(Е))=К1()2п[)К«1(Ея2[) — нереализуемая харак. теристика обеляющего фильтра; К,(р) — реализуемая передаточная функция (все нули и полюса лежат в левой полуплоскостн); К,*(р) — нереализуемая переда.
точная функции **. ' Применение нелинейного фильтра не уменьшает е', если з(Е) и Де(Е) — гауссовские процессы. " Нереализуем также фильтр с передачочной функцией К«с()2п[)Оз[Е). 116 х еализуемого линейного фильтра, обеспечивающего в ( ) 3! Ет арактеристики р (яри несмещенности оценки а(Е) =О) даже при т=О и нестационариых процессах 5(Е) и ЬЕ[Е) с корреляционными функциями Ва(гь Ез), Вя [го Ез) можно получить на основе метода стохастическнх дифференциальных уравнений.
Представим 5(Е) как первую комповенту многомерного марковского про. цесса с уравнением состояния где с (Е) — порождающий гауссовский процесс с нулевым математическим ожны 1 Е, Е оп еделяются дани анием и единичной спектральной плотностью, матрицы ( ), и( ) р корреляционной функцией процесса 5(Е). Уравнение наблюдения г (Е) = О (Е) х(Е) + ЬЕ(Е). (721) При О(Е) = [1О ... 0 ... О[ из (7 21) получим (7 1б) .
Фильтр Калмана, обеспечивающий минимум среднеквадратической ошибки между х(Е) и ее оценкой х[Е) при подаче на вход (7.21), определяется уравне- нием „ [Е) = г (Е) х (Е) -)- х (Е)О-„' [г [Е) — с [Е) х (Е)), где Оя — спектральная плотность ш»ма Ет'(Е), который считается белыьь Величина х(е) =е«(е) = [2(е) — х(е))' определяется дифференциальным уравнением Риккати: и [е) — 1 (е) 1т [е) + й [е) 17 [е) и О) Π— е йт [е) + б [е) бт [е) (7.
23) Реализуемые схемы для оптимальвого приема [оценкн) непрерывного сообщения Ь(Е), содержащегося в модулированном сигвале з(Ь(Е), Е), принимаемого на фоне аддитивного шума л(Е) по критерию минимума среднего квадр«- та ошибки а'(Е) = [6(Е) — ЬОВ)', можно получить на основе теории нелинейной фильтрации. Пусть сообщение Ь(Е) описывается уравнением состояния и (е) = — аВ 00+ У(е), где у(Е) — стационарный белый шум с характеристиками ! У (Е) = О; У (Ей У (Е,) = — Ог 6 (Е, — Е,). 2 Коэффициент сноса А,(Ь, Е) = — аЬ(Е), диффузии Аз(Ь, Е) =О«/2.
Принимаемое колебание 2(Е) на интервале (О, Т) представляет собой сумму сигнала 5(Е, Ь) и стационарного белого шума ЬЕ[Е): 2 О) = 5 К, Ь [Е)) + М.[Е); У(~) = 0; д( (11) В(Е«) = б(Е* — Ез) )та[2 (7.26) Изменение во времени плотности вероятности ш[б[Е), Е[ прн данном г(!) подчиняется уравнению Колмогорова — Фонкера — Планка, которое при доста- 119 точно больших значениях отношения сигнал-шум н времени наблюдения приво- дит к следуюшнм уравнениям для оптимальной оценки н дисперсии 'ошибки: др (Ь, 1) Ь(1) = — а Ь(О+к (1) дЬ дгЕ(Ь, 1) ! к (О =- — 2ак(11+ка(0 ' + — б, дЬ' (7. 27) Задачи 7.3.1.
Энергетические спектры сигнала и адднтивного шума оп- ределены на положительных частотах соотношениями [ А//Е прп 0~/ =Е, [0 при />Е, [А — А//Е при О(/«=Е, бк(/) =- ~ [О при />Е. Определить коэффициент передачи (модуль) оптимального фильтра Колмогорова — Винера и найти энергетические спектры ошибки, полезного сигнала и шума иа выходе фильтра, средние мощности трех этих компонент, а также параметр р,„„(отношение сигнал-шум). 7.3.2.
Сигнал и шум, энергетические спектры которых даны з предыдущей задаче, поступают на идеальный фильтр нижних час- тот с амплитудно-частотной характеристикой Ка 1 при 0</<Е, К(оз) = 0 при 0>/, Е</. Найги средний квадрат ошибки и отношение средних мощно- СтЕй СИГНада И ШУМа Ранк=9'/9'к На ВЫХОДе ЭТОГО фнЛЬТРа. СОПО- ставить эти параметры с соответствующими параметрами опти- мального фильтра. 7.3.3. Заданы б,(/) =2иР, (аз+юг) — ' и бл (/) =0,5 Ме.
Найти квадрат зюдуля коэффициента передачи нереализуемого (при Т=О) обеляющего фильтра и показать, что его реализуемая часть Л~(/ш) = [ 2/Мо(1+/ша ') (]11+Л+1ша ') ', Л=4Р,а 'Мс '. Най- 120 где Е[Ь'(1), 1]= — 1и ш(г)Ь) — пронзвоцная по времена к концу интервала обш работки логарифма функции правдоподобна. Прн белом шуме в канале с точностью до константы Е[601, 1]= — (г11) — з[1, б1))]]'/кк (7.28) Если Ь(О являезся незнергетнческнм параметром для з[б Ь(1)] (например, прн Фм н ЧМ), то можно прннять Е[б(1), 1] =2г(1)з[б д(1)1/Хс.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
