Кловский Д.Д. Теория электрической связи. Сборник задач и упражнений (1990) (1151854), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Найти вероятности ошибки при оптимальном приеме по правилу максимального правдоподобия, пользуясь методом приведения небелого шума к белому, полагая, что длительность переходного процесса на выходе «обеляющего» фильтра тьер«Т. Найти энергетический проигрыш, связанный с наличием небелого шума, по сравнению со случаем приема при наличии белого шУма, имеющего в полосе (Тз+Р, Тз — Р) такУю же сРеднюю мощность.
6.4. АЛГОРИТМ ОПТИМАЛЬНОГО ПРИЕМА И ПОМЕХОУСТОЙЧИВОСТЬ ПРИ НЕОПРЕДЕЛЕННОЙ ФАЗЕ И АМПЛИТУДЕ СИГНАЛА Счнтаем, что межсимвольной ннтерференцней в месте приема можно пренебречь, интервал анализа Т.=Т, передаваемые символы равновероятны, а канальные сигналы, соответствующие передаче <-го символа, узкополосные, т. е. могут быть представлены в виде з,(1) =А[сов Ои<(1) — Мп Ой,(1)), О(1~Т, (6 26) где Π— фазовый сдвиг в канате; й — коэффициент передачи канала. Если фаза сигнала 8 (а может быть также амплитуда н другие параметры сигнала) неизвестна на интервале аналнза, то приемное устройство должно быть некогерентным ' (не требовать знания фазовых соотношеннй для своей реалнзацнн).
По правилу максимального правдоподобия алгоритм оптимального прнемного устройства в этих условннх с учетом (6 3) можно определить так: ь ш[г(Г)(Ь<, й, 8,...1 м в [г(11(ЬА ЬО,...), ьт где ш(г(1))Ь<, й, 8) — функция правдоподобна передачи символа Ь< прн заданном г(1) н фнкснрованных значениях параметров й, 8; черта наверху — знак усреднения по случайным (нензвестным точно) парал<етрам. Задачи б.4.1. Ансамбль сигналов в месте приема, соответствующий передаче т символов, определяется согласно (6.25), причем фаза О случайна и равномерно распределена на интервале ( — л, л).
В канале действует стационарный гауссовский белый шум с энергетическим спектром А1о. Определить алгоритм оптимального приема при анализе принимаемой смеси на интервале Т, показать возможность его реализации на базе корреляционной техники и на основе согласованных фильтров. * Аналнзмруются оптимальные приемные устройства прн неопределенной фазе, прнннмающне решения на основе анализа г(11 на всем временном нн. тервале (О, Т).
10Т 64.2. Показать, что если используется ансамбль сигналов с активной паузой (Е,=сонэ() в канале с белым стационарным гауссовским шумом, то при неопределенной равномерно распределенной фазе алгоритм оптимального приема независимо от закона распределения амплитуды сигнала выражается так: 52 )7! в 177, 1~:/, 57 (6.27) где Г т ла г т )7! = ~ l ~ )" 2 (1) и! (1) Й~ + ~ ( г (1) и1 (1) 4(1 10 о Таблица 6.6 Вврнант ~ 1 5 ) 1О 9 5!0-' Ра 6.4.5. Вычислить полосу частот, при которой будут обеспечиваться значения вероятности ошибки, заданные в табл. 6.5, если Л/0=10 — пВт/Гц, /22=10-7, а мощность сигнала Р, принимает значения, приведенные в табл, 6.6.
Таблица 6.6 Варнант 1О 6 !О 16 16 18 24 9 Ра Вт 27 6.4.6. По данным задачи 6.4,3 найти вероятность ошибки Р, при оптимальном некогерентном приеме сигналов т-позиционной системы с активной паузой, ортогональной в усиленном смысле. Показать, что в области малых ошибок р, = (т — 1)Р, . 108 и,(1), !1,(1) — /-н сигнал иа передаче и его сопряжение по 1ильберту. 6.4.3. Показать, что В каналах с неопределенной фазой и флуктуационной помехой типа «белый шум» максимальную помехоус.
тойчивость имеет система с активной паузой и ортогональными в усиленном смысле сигналами. Вычислить вероятность ошибки для двоичной системы р„при Р н1 кГц, 1470=10-!! Вт/Гц, я=10-4, Р,=10 Вт. Каков энергетический проигрыш, связанный с незнанием фазы сигнала? 6.4.4. Определить, при какой мощности сигнала Р, вероятность ошибки в двоичной системе передачи сообщений с активной паузой и ортогональными в усиленном смысле сигналачи будет принимать значения, приведенные в табл.
6.5, если Р=1 кГц, Ую= = 10-м Вт/Гц /22 = 10 — б 6.4.7. Составить алгоритм работы оптимального приемника сигналов двоичной ОФМ при неопределенной фазе сигнала н определить вероятность ошибки. Каков энергетический проигрыш по сравнению со случаем точно известного сигнала, если Р,=1 мВт, Р=500 Гц, й/0=5.10-7 Вт/Гц? 6.4.3. Вычислить вероятность ошибки оптимального приема сигналов двоичной ОФМ при неопределенной фазе сигнала и найти значения энергетического выигрыша по сравнению со случаем точно известного сигнала для числовых значений величин, заданных в табл. 6.7.
Таблица 67 5 ~ б а ! 9 Варнвнт !о 2.7 4ОО 2 ° О а Р, нВт Р, Гц 70„ В47тц 0.5 500 гл 350 5 10- 1.5 450 4 !О ! 500 5 10-' 12 1О 4ОО ГВО 5 10 7 ° 10 1,5 475 !о ' 550 „— а боо !о ' 109 6.4.2. При неизвестных законах распределения фазы и амплитуды сигнала часто используется правило обобщенного максимального правдоподобия, сущность которого состоит в том, что из нескольких гипотез с неизвестными априорными вероятностями выбирается та, для которой максимум функции правдоподобия п7(т(Ь!) больше, чем для других гипотез, причем максимум берется по всем параметрам, определяющим плотность вероятности. Показать, что для систем с активной паузой алгоритм приемного устройства, соответствующий этому правилу, не отличается от (6.27).
6.4.10. Определить среднюю вероятность ошибки прн оптимальном некогерентном приеме сигналов двоичной ЧМ в канале с неопределенной фазой и медленными замираниями в соответствии с обобщенно-рэлеевским законом ,распределения. Каков энергетический проигрыш (требуемое превышение мощности передатчика) при заданной вероятности ошибочного приема р„=!О ', связанный с замираниями по обобщенно-рэлеевскому закону по отношению к каналу с неопределенной фазой, ио без замираний при значениях 4/га аг /па=2; 4; 5; 15; 20; 25; 40; 50. 6.4.11. Решить задачу 6,4.10 для случая замираний сигнала по закону Рэлея при вероятности ошибочного приема р, =1Π— ', 1О-', 10 ', 1О-', 10-'.
6.4.12. Решить задачу 6.410 для случая замираний по односторонне-нормальному закону при вероятности ошибочного приема 10-2. 10 — а. 10-4, 10-5. 10-5 6.4.13. При приеме сигналов двоичной ЧМ распространена схема рис. 6.2, в которой ПФ, и ПФ, — полосовые фильтры, пропускающие область частот Р, около частот нажатия и отжатия; Д— амплитудный детектор. В определенный момент на интервале Т выбирается тот нли иной символ, в зависимости от того, в какой ветви мгновенное значение огибающей окажется больше.
Полагая, Рис. 62. Схема неоптимального некогерентного приема ЧМ.сигналов что полоса фильтра Г,=л/Т (л)1, Т вЂ” длительность элемента сигнала), а в канале действует гауссовский белый шум, найти вероятность ошибки и сравнить ее с вероятностью ошибки при оптимальном некогерентном приеме. 6.4./4. В условиях задачи 6.4.13 построить график зависимости энергетического проигрыша от параметра и при переходе от оптимального некогерентного приема к неоптимальному. Г л а в а 7. ПРИЕМ НЕПРЕРЫВНЫХ СООБЩЕНИЙ 7.1. ОПТИМАЛЬНАЯ ОЦЕНКА ОТДЕЛЬНЫХ ПАРАМЕТРОВ СИГНАЛА Задача оптимальной оценки (измерения) параметра сигнала состоит в определе- нии некоторым наилучшим образом значения параметра Ь по принятой смеси сиг- нала з(Ь, 1), зависящего от этого параметра, и алдитивного шума /У(1): М[Е[=Ь вЂ” Ь=О или Ь=Ь. Оценка называется эффективной, если дисперсия ошибки классе всех возможных оценок: (7.
1) минимальна в Р [Е] = (Š— Е)з = пп'п. (7. 2) Оценка б называется состоятельной, если при увеличении интервала анализа Т она сходится по вероятности к оцениваемому параметру !!гпР([Ь вЂ” Ь! ~е) =О, т-~- прн этом !пп Р[Е] =О. г-ь П.з) 110 л (1) = 3 (ь, 1) + ьг (О, О < 1 ( т. Из-за наличия шума в канале и конечного интервала анализа оценка параметра б отличается от истинного значения парвметра Ь, причем ошибка е=б — Ь имеет случайный характер. Качество оценки проверяется обычно на выполнение условий несмещенности, эффективности и состоятельности.
Если среднее значение ошибки равно нулю (зто означает, что среднее значение оценки равно истинному значению параметра), оценка называется несмещенной: для нахождения оценок широко применяется правило максимального правдоподобия, в соответствии с которым в иачестве оценки параметра принимается такое его значение , к б, оторое максимизирует функцию отношения правдоподобия 1[я[э(Ь)], т, е. Ь' определяется из условия д/[г!з (Ь)] д /ю [г!з(ЬЛ ~ (7.
4) дЬ дЬ 1 ю (и) Полученная таким способом оценка называется максимально правдоподобной. Часто уравнение, определяющее максимально правдоподобную оценку (уравнение правдоподобия), записывают в виде д( !и/[г!э(Ь)]] (7.5) дЬ Если существует несмещенная эффективная оценка максимального правда- подобия, то, как правило, уравнение правдоподобия имеет единственное решение, а полученная оценка состоятельна и асимптотически (при стремлении време- Т ни анализа Т или объема выборки к бесконечяости илн же при ограниченном прн стремлении отношения сигнал-шум к бесконечности) эффективна и распределена нормально.
Задачи 7././. Принимаемый сигнал можно представить в виде з(й, 1) = =йи(1, 0), где й — коэффициент передачи канала; Π— фазовый сдвиг. Найти максимально правдоподобную оценку коэффициента передачи канала, полагая, что сигнал и(/, 6) точно известен в месте приема, а в канале действует гауссовский белый шум со спектральной плотностью мощности №. Составить структурную схему оптимального измерителя. Найти распределение ошибки измерения, ее математическое ожидание н дисперсию.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
