Кловский Д.Д. Теория электрической связи. Сборник задач и упражнений (1990) (1151854), страница 23
Текст из файла (страница 23)
7./.2. На вход канала поступает сигнал и(1). Процесс на выходе канала иа интервале анализа Т можно представить в виде г(1) =йи(1)+л(1), где /г — коэффициент передачи канала; и(/)— реализация гауссовского шума. Спектральная плотность мощности шума в полосе г" равна №. Полагая, что параметры сигнала в месте приема известны точно, а г(1) анализируется в дискретные моменты /ь кратные величине А/= 1/(2Г), найти максимально правдоподобную оценку коэффициента передачи канала. 7./.3. По каналу передается сигнал и(1) =[/мсоз(юо/+1ро) В канале действует гауссовский шум с равномерным энергетическим спектром Уо в полосе г=[,1 кГц. В результате наблюдения получено 11 независимых значений смеси сигнала и шума з(1): г~ = — 2,203 10 ' В; гг = — 1,104 10 — ' В; гз = 2,133.
10-' В; ач= =1,746 1Π— ' В; гз=6,180 10 ' В; за=!,129.!О ' В; гт= 1,770 10 ' В; га= — 1,285.10 ' В; яэ=7,215 10 ' В; г;с= — 3,115 10-' В; гы= = — 6,702-10 — ' В. Найти максимально правдоподобную оценку амплитуды сигнала на выходе канала, если /э=47,1 кГц, срс=О, [/ =0,1 В, а первое значение г(1) найдено при /=О. 1!! 7.1.4. Решить задачу 7.1.3 для следующих вариантов числовых значений величин: ~ро — — 30', оро = 57'; оро = 49', (ро = 15'. /о=37,93 кГц /о=51,72 кГц /о=49,3 кГц /о=27,2 кГц а) 1/о,=0,2 В б) (I„;=-0,3 В в) (/п,=О 4 В г) (I„,=0 45 В 7.1.5.
По условиям задач 7.1.3 и 7.1.4 найти ошибку оценивания амплитуды сигнала. 7.1.5. Найти максимально правдоподобную оценку коэффициента передачи канала из задачн 7.1.1 при неопределенной фазе О и составить структурную схему для оптимального измерителя. 7.1.7. На вход канала со случайно изменяющимся фазовым сдвигом поступает сигнал и(1) =(/,соз (оо1+оро). В канале действует гауссовский шум со спектральной плотностью й!о в полосе Е=1,7 кГц, В результате наблюдения получено 10 независимых значений реализации смеси сигнала и шума г(1): г~(1) =1,05 10 ' «.(1) = — 9,01 10' г~(1) =8,15 10 ' «4(1) =1,15 10 ' г (1) =1,19 10 ' го(1) = — 6,51 10 ' гг(1) =7,18 10 - 'го(1) =3,16 10 -' го(1) = — 2,!О 10 ' г ~ о (1) = 1, ! 6 10 ' сигнал-шум найти распределение для по, математическое ожидание и дисперсию этой величины. 7.1.10.
В результате измерения получено 10 независимых значений смеси сигнала и шума в дискретные моменты, кратные 51= = !/(2Е); «о=0,115 В го=0,158 В г~о — —.0,158 В г,=0,201 В го = — 0,292 В го= — 0,171 В гз = — 0,082 В гт=0,092 В «4 = — 0,126 В го = 0,0102 В Известно, что г(1) =й(/о, соз (оо1+ор), причем фаза имеет случайное значение, равномерно распределенное на интервале (0,2и); а(1) — гауссовский шум с равномерным энергетическим спектром Л'о в полосе В=1,5 кГц.
Найти максимально правдоподобную оценку фазы сигнала ~р, если й(/ =0,2 В, /=51,0 кГц. !!2 отсчитанных в моменты 1, кратные величине 51=1/(2Е). Найти максимально правдоподобную оценку коэффициента передачи канала /т, если /=47,! кГц, оро=45', а первое значение г(1) найдено при 1=0, Л'о=10 — 4 Вт/Гц.
7.1.8. Показать, что при больших отношениях сигнал-шум максимально правдоподобная оценка амплитуды сигнала при неопределенной фазе является состоятельной, несмещенной, асимптотически эффекгивной, а ее качество такое же, как при определенной фазе сигнала. 7.1.9 Найти максимально правдоподобную оценку фазы сигнала в канале с флуктуационным белым шумом.
Составить схему оптимального измерителя. В области больших значений отношения Рис. 7.!. К определению оптимальной оценки вре- мени приходо сигнала 7.1.11. На вход приемника в пределах интервала анализа (О, Т) поступает смесь гауссовского белого шума с энергетическим спектром Мо и сигнал в виде радиоимпульса з(1) =а(1 — т)соз(гп1+ +ор) -й(1 — г) (рис. 7.1) с известной огибающей а(1 — т), частотой ы, длительностью т„случайным временем прихода и случайной фазой, 1 при 0<хает., й (х) = 0 при то<х; 0>х.
Найти оптимальную по критерию максимума апостериорной вероятности оценку времени прихода сигнала т, полагая, что этот параметр равномерно распределен на интервале (О, Т), а случайная фаза гр не зависит от т и равномерно распределена на интервале ( — и, и), При большом отношении сигнал-шум найти распределение апостериорной вероятности оцениваемого параметра, математическое ожидание и дисперсию оценки. 7.1.12. На вход приемника в пределах интервала анализа (О,Т) поступает смесь гауссовского белого шума и сигнала в виде прямоугольного радиоимпульса (см, задачу 7.1.11) с то= Т и известным временем прихода т=О, со случайной равномерно распределенной фазой с1, известной амплитудой а и случайной частотой ы, Найти оптимальную по критерию максимума апостериорной вероятности оценку частоты /=оо/2и, полагая, что этот параметр имеет равномерное распределение в пределах интервала (/.о., /„,„,).
Параметры ор н оп считать независимыми. Наметить структурную схему оптимального измерителя частоты. При большом отношении сигнал-шум, 1 — /о< 1/Т, /оТ»1 (/о — истинное значение частоты принимаемого сигнала) найти распределение апостериорной вероятности оцениваемой частоты сигнала, математическое ожидание и дисперсии оценки. 7.1.13. Прямоугольный радиоимпульс з(1, а) =асов(ео1+~р), 0</о =1Юо+то<Т принимается на фоне гауссовского стационарного шума. Корреляционная функция шума В(т) =о'ехр( — а)т!). Определить дисперсию оценки амплитуды а импульса, приняв т.=- !13 =1О ' с, /о=20 кГц, о'=00! Вт, а=10-' с ', 10 ' с ', 10 ' с ', 10 — ' с — '. 7.1.14.
Найти-дисперсию оценки амплитуды А импульса гауссов- ской формы а (1, а) = А ехр [ — 2,8 (! — т,)'(т„'1, Ос.'т, .-.Т, принимаемого на фоне гауссовского стационарного шума с экспо- ненциальной корреляционной функцией В(т) =агехр( — а!т[). 7.1.15. Решить задачу 7.1.13 при условии, что сигнал принима- ется на фоне узкополосного шума с корреляционной функцией В (т) = о' ехр ( — а(т[) [соз в, т+(а з!п в,[т~)/вг), Упростить результат для случая в=в! = [! гоо + а'. 7.1.16. Найти дисперсию оценки временного положения т им- пульса гауссовской формы з (!, т,) = А ехр [ — 2,8 (т — т,) '/т„'1, принимаемого на фоне белого шума, если импульс практически полностью располагается внутри интервала наблюдения. 7.!.17.
Решить предыдущую задачу для случая, когда в канале действует шум с корреляционной функцией В(т) =аз ехр( — а[т[). 7.2. ОПТИМАЛЬНАЯ ДЕМОДУЛЯЦИЯ НЕПРЕРЫВНЫХ СООБЩЕНИИ. РАСЧЕТ ПОМЕХОУСТОЙЧИВОСТИ АНАЛОГОВЫХ СИСТЕМ ПЕРЕДАЧИ При передаче непрерывных сообщений принимаемое колебание г(!) на интервале (О, Т) представляет собой аддитивную смесь сигнала известной формы з[Ь(!), «1, зависящего от одного меняющегося во времени параметра Ь(!) (сообшення), и аддитивного шума и(!): г(!) =з[Ь(!), «1+и(!). По принятому колебанию гГО необходимо наилучшим образом решить, кчкая реализация сообщения Ь(!) передавалась, т е в этом случае также можно ставить вопрос об оптимальной в определенном смысле оценке 6(!). Оптимальный прием меняющегося во времени параметра (непрерывного сообщения) можно свести к задаче совместного оптимального приема многих параметров.
Если представить сообщение Ь(!) на интервале Т обобщенным рядом Фурье в, Ь (!) = Х Ль Фь (О (7. 6) ь=! (здесь (гр,(!)) — система ортонормнрованных функций; 1ь — координаты (параметры) непрерывного сообщения Ь(!)! В, — база сообщения), то принимаемое колебание О) =з(Л, !)+л(!), где Л=(Ль Ль ..Лв 1 — вектор параметров сообщения Ь(!). !14 Совместные максимально правдоподобные оценки координат сообщения определяются из условия д д — (! (г[Л)) = О нли — (!п !(г!Л)) = О, (7. 7) дйа дЛд где !(г/Л) — функционал отношения правдоподобия. При флуктуационном белом шуме и известной форме сигнала з(Л, !) 9 т т ! (г ! Л) = ехр — [ г (!) з (Л, !) г«! — — )' Зз (Л, !) !«! й'о о й«з о (Т.В) Зная оценки параметров Лю можно найти оценку сообщения вс Ь Р) = 2. Ль фь (!) . (! .9) ь=! Ошибка е=ь(!) — Ь(!) может рассматриваться как помеха (шум) на выходе приемника (детектора).
Спектральная плотность мощности шума на выходе детектора при оптимальном приеме н больших значениях отношения сигнал-шум в канале определяется формулой овмх(/) = й'о/~ (з[а 0) «1)~ (7.10) где Л! — координаты разложения Ь(!) в обычный ряд Фурье. Качество непрерывных систем связи часто оценивают выигрышем модема в отношении сигнал-шум д=Р */Р *. (7.11) Здесь р~,= (Рч(рм) вх — отношение средних мощностей сигнала и шума нз входе приемника; где Е, — полоса сообщения Ь(!); Š— полоса сигнала з[Ь(!), «]! а=р/Е,.
' В дальнейшем везде сообщение будем считать нормированным, Рзых = Ь'(О/ [ Овых(/) !«/ е — отношение средних мощностей сигнала и шума на выходе приемника (детектора). Величину р,, удобно выразить через пик-фактор сообщения П = ! Ь(!)!макс/ Ф Ьз (О ° При (Ь(!) [„„„,=1' Рвых=) П' ) Овых(/)д/ о Очень часто качество непрерывных систем связи оценивают обобщенным выигрышем и' р,м,Р,(р.зр=йрс(д=й(а, (7.13) Обобщенный выигрыш систем с двойной модуляцией (прн условии, что иа второй ступени используется прямая модуляция), может быть изйдеи иак произведение обобщенных выигрышей (?.14) где и'и — обобщенный выигрыш при лемодуляции несущего колебания; обобщенный выигрыш при демодуляции поднесущего колебания. В широкополосных системах модуляции при некотором пороговом отношении сигнал-шум на входе приемнииа рррр качество связи резко падает (пороговый эффект).
Пороговый эффект выражен тем резче, чем больше частотная избыточность сигнала, определяемая отношением ширины полосы сигнала и сообщении а. Задачи 7.2.1. Записать ортогональные разложения для ограниченного интервалом Т сообщения Ь(1) на передаче, б(1) на приеме и помехи с(1) на выходе приемника (детентора). Считать, что полоса сообщения равна Гс Выбрать в качестве базиса разложения систему ортонормированных функций ~?2 сов(2йиЦТ) п $' 2э(п(2йп!)Т). 7.2.2.
Показать, что прн слабом белом гауссовском шуме в канале и известной точно форме сигнала помеха на выходе оптимального приемника е(1) — стационарный га)ссовский процесс с некоррелированными координатами и энергетическим спектром 6 Щ = Нз!(8з (й, 1)11) й)'. 7.2.3. Найти спектральную плотность мощности шума на выходе детектора прямых систем модуляции при слабом флуктуационном шуме в канале и известной форме сигнала. 7.2.4. Вычислить спектральную плотность мощности шума на выходе приемника сигналов амплитудной модуляции н построить его зависимость от коэффициента глубины модуляции и, от амплитуды несущего колебания. 7.2.5.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
