Кловский Д.Д. Теория электрической связи. Сборник задач и упражнений (1990) (1151854), страница 20
Текст из файла (страница 20)
х~ [г(1) — 57(1)['4(1 — Аго)пР(Ь!) (6.9) о Показать возможность реализации алгоритма (6.9) с помощью не- линейной схемы, содержащей квадраторы. 6.1.7. Показать, что в условиях задачи 6.1.6 алгоритм оптималь- ного приема может быть записан в виде т бз [' г (1) з, (1) б(1 — [Ез+ /!/ 1п Р(Ь!))/2 о ь.
ь«т ~~ г(1)бг(1)с(1 [Е!+Ь/01пР(Ь,))/2, Ьг 0 т где Е,=)' э,зг/1 — энергия сигнала зб(1), и реализован с помощью о корреляционной схемы. Какие возможны упрощения в реализации оптимального приемника, если реализации сигналов 54(1) имеют равные энергии и равные вероятности? 6.1.8.
Покажите, что если в условиях задачи 6.1.7 для передачи используются двоичные символы 1 и 0 с вероятностями Р(1) и Р(0), то алгоритм оптимального приема может быть записан так: т 1 ( г(1) [5,(1) — аз(1)[6/ (/,, (6.11) о (/о = (Ез — Ез+ [п [Р (0)/Р (1)))/2 и реализуется одноканальной схемой. Чему равен оптимальный по- рог (/О, если Р(1) =Р(0) и используются двоичные системы: с пассивной паузой (АМ); 4 — 53 97 с активной паузой (Ег=Ез); с активной паузой и противоположными сигналами з1 (1) = = — з,(1) (например, ФМ с изменением фазы на и)? б.!.9. При заданной реализации принимаемой смеси г(1) (сигнал+шум) апостериорные вероятности передаваемых символов 1 и 0 Р(1(г) =0,6 и Р(О~а) =0,4.
Какой символ зарегистрирует приемник, оптимальный по критерию идеального наблюдателя? б.!.!О. Символам Ь, и Ьз, имеющим априорные вероятности Р(Ьг) и Р(Ьз), соответствуют на интервале (О, Т) принимаемые сигналы хг (1) и зг (1), заданные в виде точек зг и зз функционального пространства с метрикой Гильберта. В этом же пространстве точками г определены реализации принимаемой смеси г(1).
Разбить пространство сигналов на две непересекающиеся области Лг и Лю приписываемые решениям соответственно в пользу символов Ьг и Ь, (собственные области) в предположении того, что сигналы в месте приема известны точно, в канале без памяти имеется стационарный гауссовский белый шум с энергетическим спектром !«(о, принимаемое колебание анализируется на интервале (О, Т) оптимальным приемником Котельникова, минимизирующим среднюю вероятность ошибки. Как будет проходить граница между собственными областямн, если символы будут равновероятны? б.!.11.
На вход приемника поступает один из трех сигналов: иг (1) =асов от1, зз (1) =Ь з(п оз1, хз(1) =0 вместе с белым шумом. Поскольку эти сигналы принадлежат двумерному пространству )?з, их можно изобразить веьтораии на плоскоспг. Покажите разбиение пространства сигналов на собственные области для двух случаев: а=Ь и Ь=2а. б.!.12. Покажите разбиение пространства сигналов иа собственные области для четырех произвольных сигналов, принадлежащих пространству !?з. б.!.!5. Независимым и равновероятным двоичным символам 1 и 0 при ФМ с изменением фазы на и соответствуют в канале с памятью (Ь=!) ожидаемые элементарные сигналы зд (1) = д', (1) Ь (1)+ дз (1 — Т) й (1 — Т); зз (1) = — х, (1), (6.12) где д1(1) — сигнал, определенный на интервале (О, Т); дз(1)— сигнал, определенный на интервале (Т, 2Т) (рнс.
6.1); Р О~~~Т 11 О при х < О, х> Т. Сигналы д,(1) и хгз(1) известны точно в месте приема. Определить алгоритм оптимального приема на интервале Т,=2Т при флуктуацнонном шуме с энергетическим спектром Ао по критерию идеального наблюдателя. Наметить структурную схему приемника, реализующего этот алгоритм. б.!.14. Найти алгоритм оптимального приема в условиях задачи 6.1.13, полагая, чго имеется «идеальная» обратная связь по решению (можно восстановить сигнал хг„,(1) по зарегистрированным символам). Какова структурная схема приемного устройства? 98 Рис. 61. Сигивлы ФМ нв входе и выходе канала с памятью б.!.!5. Найти алгоритм оптимального приема в условиях задачи 6.1.14, полагая, что анализ принимаемой смеси г(1) ведется на интервале Т,=Т (1?=0).
Какой схемой можно его реализовать? 6.2. РЕАЛИЗАЦИИ АЛГОРИТМА ОПТИМАЛЬНОГО ПРИЕМА ПРИ ТОЧНО ИЗВЕСТНОМ СИГНАЛЕ НА ОСНОВЕ СОГЛАСОВАННЫХ ФИЛЬТРОВ Линейным фильтром, согласованным с сигналом з,(0, называют фильтр с постоянными параметрами и импульсной переходной характеристикой (6.13) д(1) =аз,(1,— 1), 1с — Т~)О. (6.141 Нз прзктике выбирают ззпзздывзние «,=Т. Комплексный коэффициент передвчн К(!ы) соглзсовзнного фильтре К(!ы) = ( аЬОехр( — !ыт)г(т=а5',(!ы)ехр( — гы!а), о гзе 5, («ы) — хочппексно сопРЯхгеЯный спесгР снгзазз з,(Г). 4* (6 16) т. е.
форма последней зеркальна (относительно осн ординат, смещенной в точку гс) форме сигнале Здесь а — произвольная постояннзя Если длительность сигнала равна Т, то из условия физической ревлнзуемостн следует, что г с ~з с(О = ~ 1гз(Ои(с — х!бх ~ +~ (з(с)«(! — х)с(х ~ а о (6. 19) Задачи 6.2.1. Сигнал з(1) задается функцией (й1 при 0(1(Т, ! 0 при 1)Т, 1<0.
Построить график импульсной переходной характеристики фильт- ра, согласованного с сигналом з(1), при условии 1о=Т. 6.2.2. Построить графики импульсных переходных характерис- тик фильтров, согласованных с заданными сигналами при условии 1п= Т (Т вЂ” длительность сигнала): ! а ехр ( — сс 1) при 0( 1( Т, ] 0 при 1<0, Т<1; ехр ( — ](1') прн 0 =1(Т, (О при 1<0, 1)Т; ~ а (1 — ехр ( — а 1) при 0(1 = Т, (О при 1<0, 1>Т; 4) (1)= ~ ( — ехр( — Р()] при 0(1(Т, (О при 1<0, ()Т; ~ А сов ю1 при 0(1(Т, Т=20л/еп (0 при 1<0, 1)Т.
106 согласованный фильтр в момент сз при флуктуационной помехе типа «бе- лый шум» обеспечивает на выходе максимально возможное отношение пиковой мощности сигнала к среднее мощности шума гт»» « =26'=2Р«ТТИ«=2РТР— »«. (6.16) Если С,=Т, то в произвольный момент времени сигнальную компоненту на выходе согласованного фильтра можно найти как с р«(!) =о) 3, (х)5,(х»ьт — с)ссс=аВз,(т — сс, (6.17) а где Вз (С) — корреляционная функция сигнала з,(С). В момент окончания сигнала на входе фильтра С=Т сигнал на выходе согласованного фильтра достигает максимального значения р«(Т) =и ] з(С)5,(С)Ж, о которое совпадает с точностью до множителя о с сигнала, и на выходе карре.
лятора в момент окончания сигнала (см. алгоритмы оптимального приема, по. лучеиные в задачах 6 ! б — 6 ! 6). Эта позволяет в схеме оптимального прием- ника для точна известного ансамбля сигналов заменить коррелятор, состоящий из перемножителя н интегратора, согласованным фильтром.
Огнбаюшая отклика согласавзннаго фильтра, имеющего импульсную пере- ходную характеристику В(С) на сигнал з(С), определяется соотношением 6.2.8, Двоичные равновероятныесимволы передаются поканалу без памяти сигналами з,(1) =А из,(1) =Она тактовом интервале Т. В канале действует аддитивный стационарный белый шум. Построить структурную схему приемника на основе согласованного фильтра. 6.2.4. Двоичные равновероятные символы передаются посредством ЧМ в канале без памяти. В месте приема на интервале анализа Т,=Т им соответствуют сигналы зс(1) =(1, соз(юс1+срс) и зз(1) =(1 соз(юз(+срз).
В канале действует стационарный белый шум. Изобразить схему оптимального приемника на базе согласованных фильтров. 6.2.5. Показать, что согласованный фильтр для сигналов произвольной формы, в принципе, можно построить на основе неискажаюшей линии задержки на время Т (Т вЂ” длительность сигнала). 6.2.6. Составить схему согласованного фильтра на базе длинной линии с отводами для однополярного и двуполярного двоичных сигналов, соответствующих последовательности символов 110010101. Нарисовать сигнал на выходе согласованного фильтра. 6.2.7.
Составить схему согласованного фильтра на базе длинной линии с отводами и построить графики импульсной переходной характеристики и отклика для однополярного и двуполярного сигналов, заданных следующими двоичными последовательностями: 1) 1010101; 2) 1110011; 3) 110!101; 4) 0110!10; 5) 0001100; 6) 0010010; 7) 1111000; 8) 0001111; 9) 000!000; 10) 1110111; 11) 0100010; 12) 1100011; 13) 1000001; 14) 0111110; 15) 0011001. 6.2.8. Сравнить форму огибаюших сигналов на выходе коррелятора и согласованного фильтра в случае подачи на их вход одиночного прямоугольного впдеоимпульса.
6.2.9, Показать, что результат (6.16) справедлив для любой линейной системы, для которой выходной процесс определяется соотношением у(!) =]' з(т)г(т)с(т. о 6.2.!О. Какой выигрыш в отношении снгнал-шум может дать Фильтр, согласованный с сигналом, имевшим д:ппельность Т= =20 мс и полосу частот г =-1О кГц? 6.2.11. Определить, какой выигрыш в отношении сигнал-шум могут дать фильтры, согласованные с сигналамп, заданными следуюшимн двоичныыи последовательностями: 1) 0101; 2) 1010; 3) 10101; 4) 010!О; 5) 010101; 6) 101010; 7) 1010101; 8) 0101010; 9) 10111011; !0) 01000100; 11) 11001100; 12) 01010101; 13) 1010101010; 14) 00001111; 15) 11110000. 161 Принять во всех последовательностях длительность элементарного символа т=б мс.
6.2.12. П к . По азать, что огибающая отклика согласованного фильтра на сигнал я(1) =з(1) =м(сов В„и(1) — з(пйкй(1) "1 (й, 6„— коэфнию фазы О,. фициент передачи и фазовый сдвиг канала) инвариантн а к измене- 6.3. ПОМЕХОУСТОЙЧИВОСТЬ (ВЕРОЯТНОСТЬ ОШИБКИ) ОПТИМАЛЬНЫХ СХЕМ ПРИЕМА ПРИ ТОЧНО ИЗВЕСТНОМ СИГНАЛЕ При заданных системе сигналов, канале и способе анализ анализа принимаемой смеси сигнала и ш ма (п т у ( о о дельным отсчетам или по континууму значений «а тактовом интервале) оптимальный приемник обеспечивает минимальную ве оят- роятВероятность ошибочного перехода Р(бз!Ьз) (вероятность регистрации символа б, при условии пе е а р д чи символа Ь<) определяется вероятностью невыполнения системы не авенств, р , задаваемых алгоритмом приема. Средняя вероятность ошибки для двоичной системы при произвольных значениях априорных вероятностей передачи символов Х Р (Ь;) Р (ЬВ Ь!), 1 ш' ! ° (6.20) Если априорные вероятности передачи г р, = — ~'Р(ь!(ь!), 2 г=! Для двоичного симметричного канала перехода не зависит от того, какой символ символов одинаковы, то (6.21) в котором вероятность ошибочного передавался, (62«) р«ш, „- (и.— 1) р.ш, 102 рош=Р(ь!!Ь!)* ! 1= ! ° 2 (6.22) Из двоичных систем для неискажающего канала с белым гауссовским шумом особый интерес представляет система с противоположными сигналами (например ФМ с изменением фазы на и).
Однако ввиду реализационных трудностей (случайного перескока фазы опорного колебания и появления «обратной работы») на практике широко применяется двоичная система с ОФМ, в которой информация закладывается в разность фаз соседних посылок. Платой за устранение «обратной работы» является (в условиях надежной связи) удвоение вероятности ошибки, обусловленной шумом в канале: Р«шг»ПМ ! «ш ФМ' (6.26) Вероятность ошибки для миогопозиционных систем в общем случае определяется сложнее, чем для двоичных. В области надежной связи вероятность ошибочного приема многопозицнонного символа р«ш, при использовании системы сигвалов с активной паузой в симметричном канале где р,ш — вероятность ошибочного приема двоичного символа в том же кана- ле и при том же способе анализа смеси я(!!.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
