Кловский Д.Д. и др. Теория электрической связи (1999) (1151853), страница 84
Текст из файла (страница 84)
Представим условие (8.60) в виде [Яг)-Я(в)~-У(г — т) =0 для всех т из у. Отсюда с учетом (8.59) Я(г)У(г — т) = о(г)У(г — т) = ) Я(г — х)4г — т)8(х)а!х или В (т)=) В,( -х)а(М. (8.61) ' В том случае, когда сигнал Б(г) и помеха Л((г) некоррелированы, (8.61) принимает вид Вг(т) = ЯВ (т- х)+Вн(т -х)~(х)с(х. (8.62) 7 Это основное интегральное уравнение теории линейной фильтрации называется уравнением Винера-Хопфа. Его решением является искомая функция ф~), минимизирующая средний квадрат ошибки Е'(г) . Не следует путать оптимальные линейные фильтры, определяемые (8.б1) или (8.б2), с согласованными фильтрами, рассмотренными в а 5.4. Если основное назначение рассматриваемых здесь фильтров состоит в наилучшем еоснроизвеоении неизвестной формы сигнала, то задача согласованных фильтров заключается в формировании максимально возможного ника сигнала известной формы в момент отсчета на фоне шума. Уравнение (8.62) легко решается для нереализуемых фильтров, т.е.
когда у е(-сз,со). Для этого случая, применив преобразование Фурье к обеим частям (8.62), получим в частотной области ',(~) =(а,(~) ~.(~))К(~). Отсюда коэффициент передачи оптимального линейного ФКВ в,(Х) (У) = а,(у)",а.(у) Докажем, что дисперсия ошибки Е(г) = Я(г) — Я(г+т) при оптимальной нереализуемой линейной фильтрации в общей постановке 1оя+о я~г СПМ для случайного процесса Е(г) = Б(г) — Яг+т) = ) [Я(т)+ У(т)]8(т)Ж- Яг+т) г б,(~) = К'(1')6„(~)+/К(1')-е"' ~ 6,(~), где К(~) = К(~)е""т).
.ЗаПИСаВ б,(Г) = Кф)6„(~)+бг(1)~К'(1)+1 — 2К(~)СОа(Ср-сат)1, МОЖНО Вндстъ, что О,„г (~) обеспечивается лишь при ФЧХ оптимального фильтра ~р = аг и, стало быть, при передаточной функции фильтра К(~) = ' е'"' а,(х) бг г +бн .г 327 а,(г а„(Х) Нетрудно видеть, что б,(~) = ~, а минимальная дисперсия а,(у)+ а„(у) ' ошибки Е2 ) Д Яц~ ~ 3Я м(У) (8.66) а,(у +а„(у) Легко заметить, что ошибка Е'. = О только в том случае, когда Сф')б„(~) = О, т.е.
когда спектры сигнала и помехи не перекрываются. Во всех других случаях оптимальный фильтр пропускает различные частоты с тем меньшим весом, чем больше отношение б„(~)/6,(~) при данной частоте. Мы не будем здесь обсуждать вопросы реализации фильтра, характеристики которого приближаются к характеристике нереализуемого ФКВ, поскольку известен всегда реализуемый вариант фильтра, оптимальный по среднеквадратическому критерию, определяемый методом переменных состояния (см. ниже 8 8.7).
Результаты оптимальной фильтрации можно существенно улучшить, если применить так называемое предыскажение сигнала с последующей его коррекцией на приеме. Сущность метода предыскажения состоит в том, что на передающей стороне сигнал 2(г) пропускается через фильтр с коэффициентом передачи К,(~) . Полученный таким образом видоизмененный сигнал передается по каналу.
На приемной стороне включен другой фильтр К2(Г) . Характеристики фильтров К,(~) и К (~) выбираются так, чтобы обеспечить минимум среднеквадратической ошибки. Расчеты показывают, что предыскажение дает тем больший выигрыш, чем меньше относительная ширина полосы перекрытия спектров сигнала и помехи. Предыскажение позволяет перераспределить мощность полезного сигнала в полосе частот канала так, чтобы обеспечить лучшие условия согласования источника сигнала с каналом (в общем случае полезно стремиться к тому, чтобы сумма спектральных плотностей мощности сигнала и мощности помехи была постоянной в пределах полосы частот канала).
Это означает, что предыскажение можно рассматривать как некоторое "линейное кодирование" непрерывного сигнала, позволяющее уменьшить ошибку и улучшить использование пропускной способности канала. Линейное предыскажение широко используется в современных системах связи.
Характерными в этом отношении являются системы, в которых используется частотная модуляция. Согласно (8.41) плотность мощности шума на выходе ЧМ демодулятора увеличивается пропорционально квадрату частоты„так что верхние частотные составляющие сообщения подвержены шумам сильнее, чем нижние. Метод предыскажения и последуклцая коррекция позволяют снизить шум на верхних частотах и тем самым создать примерно одинаковые условия для передачи как нижних, так и верхних частот сообщения. Следует отметить, что в результате предыскажений формируется новый сигнал е необходимыми свойствами. Так в радиовещании и многоканальной радиорелейной и спутниковой связи с частотной модуляцией несущей используется предыскажение, близкое к дифференцированию.
В этом случае на вход частотного модулятора поступает не первичный сигнал Ь(г), как это делается при ЧМ без предыскажений, а его производная ЫЬ/й. Поэтому пропорционально Ь(г) изменяется не мгновенная частота, а мгновенная начальная фаза несущего колебания, т.е. формируется не ЧМ, а ФМ сигнал. Так как спектр шума на выходе демодулятора ФМ сигнала равномерный (8.39), то тем самым в многоканальных системах обеспечивается одинаковая помехоустойчивость во всех частотных каналах, а в случае радиовещания — более качественное воспроизведение речевых и музыкальных передач [23]. 328 8.7. ОПТИМАЛЬНАЯ ЛИНЕЙНАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ НЕПРЕРЫВНЫХ СООБЩЕНИЙ.
ФИЛЬТР КАЛМАНА Из предыдущего параграфа следует, что нереализуемый фильтр Колмогоро- ва-Винера является оптимальным для выделения (оценки) стационарного сиг- нала. Модулированные же сигналы имеют конечную длительность и не явля- ются стационарными. На основе метода переменных состояния (см. ~ 4.5) возможен другой под- ход, при котором определяют не сами характеристики оптимального фильтра, а дифференциальные уравнения, моделирующие этот фильтр. В теории нелиней- ной фильтрации такой подход был применен Р.Л.
Стратоновичем (1959 г.), а в теории линейной фильтрации — Калманом и Бьюси (1960 г.). Метод, перемен- ных состояния (дифференциальных уравнений) позволяет решить более общую 12 задачу — выделение с наименьшей погрешностью Цг) = Е'(г) = [В(г) — В(г)1 сооб- щения Ь(~) из наблюдаемого на конечном интервале времени сигнала Уф = з(г, Ь) + Аг(~). Условие стационарности сигнала и помехи в рамках этого метода не является обязательным. Относительно фильтруемого сообщения В(1) дополнительно предполагают, что оно порождается линейным стохастическим дифференциальным уравнением.
В частном случае используется уравнение, рассмотренное в ~ 2,9: — = -аЬ(г)+аЛ~,(г), пЬ (8.67) сЬ где Аг~(г) — БГШ (порождающий процесс) с нулевым средним значением Лф)=0 и односторонней СПМ Ф1. Физически зто означает, что сообщение рассматривают как результат прохождения стационарного белого шума ЛГ1(г) через линейную цепь, в данном случае через интегрирующую цепочку ЯС Для такой цепи постоянная а = 1/(ЯС).
Сформированное таким образом сообще- ние В(~) является гауссовским марковским процессом'1 с функцией корреляции (8.68) Спектральная плотность мощности такого сообщения а,(Х)=,',;,. (8.69) В более общем случае сообщение описывается системой линейных диффе- ренциальных уравнений. Большой практический интерес представляет тот факт, что методы дифференциальных уравнений позволяют синтезировать оп- тимальный фильтр рекуррентным способом, обеспечивая удобство его реализа- ции при использовании современных ЭВМ или микропроцессоров. Рассмотрим случай линейной фильтрации, когда наблюдаемый процесс на входе фильтра задан уравнением У(~) = Ь(Мг) + Ф(~), 0 с ~ < Т, (8.70) а сообщение Ь(г) — уравнением (8.67).
Здесь Яг) — известная функция (несущее колебание); Ь(г)Г(г) = л(~, Ь) — полезный сигнал; АГ(г) — белый гауссовский шум П Реальные сообщения, как правило, не являются марковскими, поскольку зависимость меж- ду отдельными сечениями более сложная. Тем нс менее, марковская аппроксимация описыва- ет реальное сообщение лучше, чем аппроксимация процессом с финигным спектром, у кото- рого сечения, разделенные котельниковским интервалом, вовсе не коррелированы.
г(») = Ь(»)яшозо» + Ф(»). Уравнение оценки согласно (8.71) !»Ь - 2Ф» — = — аЬ+ — ~г(»)я)по!о» вЂ” Ьяоп о!о»! Ь'о (8.74) (8.75) Рис.8.8. Реализация фильтра Калмаиа для гауссовского сообщения при линейной модуляции (а) в прв отсутствии модуляции (6) сигнала 330 (не обязательно стационарный) с нулевым средний значением Л~) =0 и односторонней спектральной плотностью Л»0.
Уравнение (8.70) является уравнением наблюдения, а (8.67) — уравнением состояния. Для получения уравнений фИЛЬтрацнн МОЖНО, КаК И В 8 8.6, ИСХодИтЬ ИЗ уСЛбВИя ОПтИМаЛЬНОй ЛИНЕйНОИ фильтрации (8.60). На основе зтого условия выводится рдкуррентное соотношение, которое позволяет получить следующее уравнение 1261: — = -аЬ(») + — 7'(»)[г(») -7 (»)Ь(»)), »й - 27» »уо (8.71) »»»»»!», 2 ! 2 У У 27»2 (8.72) Уравнения (8.71) и (8.72) принято называть уравнениями фильтра Калмана (ФК). Уравнение (8.71) определяет алгоритм формирования оценки, а следовательно, и структурную схему фильтра, а (8.72) — ошибку фильтрации 7» = Е'(») . Структурная схема, моделирующая уравнение (8.71), приведена на рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
